陜西 劉麥玲

山東 莊艷俠

湖南 歐陽巧林

江蘇 王懷學(xué)

函數(shù)題組訓(xùn)練
——函數(shù)的概念與性質(zhì)

陜西 劉麥玲

山東 莊艷俠

湖南 歐陽巧林

江蘇 王懷學(xué)

1.函數(shù)的概念

1.1函數(shù)是從非空數(shù)集A到數(shù)集B的單值對應(yīng)

【典例】高一(9)班1組有6位同學(xué)，在某次數(shù)學(xué)考試的成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

學(xué)號123456成績807579809880

根據(jù)上表回答問題：

(1)上述問題涉及到幾個(gè)變量？

(2)每個(gè)變量的取值范圍分別是多少？

(3)學(xué)號為4的同學(xué)的成績是否唯一確定？成績是80的同學(xué)是否唯一？

(4)設(shè)變量x是該組同學(xué)的學(xué)號，變量y是該班同學(xué)的成績，則y是x的函數(shù)嗎？

【解析】(1)上述問題涉及兩個(gè)變量，即學(xué)號與成績；

(2)學(xué)號的取值范圍是{1，2，3，4，5，6}；成績的取值范圍是{75，79，80，98}；

(3)學(xué)號為4的同學(xué)的成績是80，是確定的唯一的；成績是80的對應(yīng)3位同學(xué)；

(4)y是x的函數(shù).

【評注】兩個(gè)變量x，y都有自己的取值范圍，對于x每取一個(gè)值，相當(dāng)于在集合A中任取一個(gè)數(shù)；變量y都有且僅有唯一的值和它對應(yīng)，相當(dāng)于在集合B中有且僅有唯一的元素和它對應(yīng).

本題中，若設(shè)變量x是該組同學(xué)的學(xué)號，變量y是該班同學(xué)的姓名，顯然y也不是x的函數(shù).

【變式1】下列對應(yīng)關(guān)系是從A到B的函數(shù)的有________．

(1)A={1，2，3，4，5}，B={0，2，4，6，8}，x→2x，x∈R；

(2)A={x|x是矩形}，B={x|x為圓}，f:每個(gè)矩形的外接圓；

(3)A={1，2，3，4}，B={x|xlt;10，x∈N}，x→2x+1，x∈R；

(4)A=B=N*，x→x-1，x∈A.

【變式2】在下列對應(yīng)關(guān)系中，f(x)滿足函數(shù)關(guān)系的是

( )

A.f(sin2x)=sinx

B.f(sin2x)=x2+x

C.f(x2+1)=|x+1|

D.f(x2+2x)=|x+1|

1.2圖象一樣的函數(shù)就是同一函數(shù)

【典例】下列函數(shù)中一定是同一函數(shù)的是

( )

A.①④ B.②③

C.①③ D.②④

【解析】①中，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同；

對于④，兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不相同，定義域也不同．

故選B.

【變式1】下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是

( )

A.f(x)=sinx，g(x)=cosx

B．f(x)=2sinx，g(x)=2cosx

【變式2】下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是

( )

A.f(x)=sinx，g(x)=tanx

C．f(x)=x，g(x)=x+1

D．f(x)=sin2x+cos2x，x∈R與g(x)=1，x∈R

2函數(shù)的定義域

2.1簡單的不等式(組)的求法

【典例】解下列不等式組：

所以{x|-2≤x≤4}；

所以x2=1，x=±1，不等式解集是{-1，1}；

于是{x|x≤-2且x≠-4或x≥2且x≠4}；

由數(shù)軸可知，不等式組的解集是{x|-1≤xlt;2}.

【變式1】求下列函數(shù)的定義域.

2.2使解析式有意義的自變量取值集合是函數(shù)的定義域

所以函數(shù)f(x)的定義域是[-2,1)∪(1,2].

2.3復(fù)合函數(shù)的定義域也是自變量x的取值范圍

( )

A.[0,1] B.[0,1)

C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)

【解析】因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇0，2]，

所以對g(x),0≤2x≤2,且x≠1,

【變式1】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,0)，則函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)?/p>

( )

【變式2】已知f(x)的定義域?yàn)閇-2,3]，則函數(shù)f(x-2) 的定義域是________.

2.4求函數(shù)解析式遇到的函數(shù)定義域問題

【變式1】已知f(x2+1)=2x2+3，則f(x)=________．

2.5用區(qū)間或集合表示函數(shù)定義域

2.6對數(shù)函數(shù)定義域不能成為永遠(yuǎn)的痛

【典例1】求下列函數(shù)的定義域：

(2)y=log7(x2-2x-3)；

(3)y=log(x+1)(16-4x)；

(2)因?yàn)閤2-2x-3gt;0，即(x-3)(x+1)gt;0，解得xlt;-1或xgt;3，即函數(shù)的定義域是(-∞，-1)∪(3，+∞)；

【變式1】求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=log(x-1)(3-x)；

【典例2】已知函數(shù)f(x)=logax(agt;0，a≠1)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，則滿足f(|x-1|)lt;0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．

【解析】f(|x-1|)lt;0等價(jià)于loga|x-1|lt;loga1，

則0lt;|x-1|lt;1，

即-1lt;x-1lt;1且x≠1?0lt;xlt;2且x≠1，

所以實(shí)數(shù)x的取值范圍(0，1)∪(1，2)．

【變式1】“Mgt;N”是“l(fā)og2Mgt;log2N”成立的________條件(用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”填空)

【變式2】已知定義在集合A上的函數(shù)f(x)=log2(x-1)+log2(2x+1)，其值域?yàn)?-∞，1]，則A=________．

3.函數(shù)的值域

3.1先內(nèi)后外求復(fù)合函數(shù)的函數(shù)值

【解析】因?yàn)?lt;9，

所以f(7)=f[f(7+4)]=f[f(11)].

因?yàn)?1gt;9，所以f(11)=11-3=8，

所以f(7)=f(8)；

因?yàn)?lt;9，所以f(8)=f[f(8+4)]=f[f(12)]，

所以f(7)=f(8)=f[f(12)]；

因?yàn)?2gt;9，所以f(12)=12-3=9，

所以f(7)=f(8)=f(9)；

因?yàn)?=9，所以f(9)=9-3=6，

所以f(7)=f(8)=f(9)=6；

所以f(7)=6.

( )

A.-1 B.-2

C.1 D.2

( )

C.(1,+∞) D.[1,+∞)

3.2賦值法求函數(shù)的值

【解析】令g(x)=-3，1-2x=-3，x=2，g(2)=-3.

【變式1】已知f(x+2)=2x+3，則f(8)=________.

【變式2】已知f(x+1)=3(x-2 017)2+1，則f(2 018)=________.

3.3分離常數(shù)法求函數(shù)值域

【典例】求下列函數(shù)的值域：

3.4基本不等式法求函數(shù)值域

即y≤-1或y≥3.

所以所求函數(shù)的值域?yàn)?-∞,-1]∪[3,+∞).

( )

A．-3 B．3

C．4 D．-4

3.5三角換元法求函數(shù)值域

3.6函數(shù)單調(diào)性法求最值(值域)

【解析】此函數(shù)的定義域?yàn)閇1,+∞)，且是增函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，ymin=1，函數(shù)的值域?yàn)閇1,+∞).

3.7有界性法求函數(shù)的值域

所以-1lt;y≤1，即函數(shù)值域?yàn)?-1，1]．

3.8不等式性質(zhì)或函數(shù)圖象求值域

【典例1】求下列函數(shù)的值域：

所以f(x)≠1，所以函數(shù)值域是(-∞，1)∪(1，+∞)；

所以函數(shù)值域是{y|1lt;ylt;2}；

【變式1】函數(shù)f(x)=x2-2x+3的值域是________.

【變式2】函數(shù)f(x)=2-3-x(-1≤x≤2)的值域是________.

函數(shù)f(x)在[2，4]上單調(diào)遞增，

(1)求證：函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)；

(2)已知g(x)=log2f(x)，求函數(shù)g(x)=log2f(x)的值域.

4.函數(shù)的解析式

4.1已知函數(shù)的名稱用待定系數(shù)法求解析式

【典例】求一個(gè)實(shí)系數(shù)的一次函數(shù)f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7.

【解析】設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，

則f{f[f(x)]}=a[a(ax+b)+b]+b

=a3x+a2b+ab+b

=8x+7,

所以a3=8且a2b+ab+b=7,解得a=2,b=1.

故所求f(x)=2x+1.

【變式1】若一次函數(shù)f(x)滿足f[f(x)]=4x-3，則函數(shù)f(x)的解析式為________.

【變式2】已知函數(shù)f(x)=2x+3，g(x)=4x-5，求滿足f[h(x)]=g(x)的h(x)為________.

4.2構(gòu)造方程組用消去法求函數(shù)解析式

【變式2】已知函數(shù)f(x)滿足f(1-x)=2f(x)-x2，求函數(shù)f(x)的解析式.

【典例2】已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，求f(x),g(x).

【解析】由已知得f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1，

即f(x)+g(x)=-x3+x2+1，與f(x)-g(x)=x3+x2+1聯(lián)立解方程組，得f(x)=x2+1，g(x)=-x3．

【變式1】若函數(shù)f(x)，g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x)-g(x)=ex，則g(0),f(2),f(3)的大小關(guān)系是________.

4.3用換元法(配湊法)求函數(shù)f(x)的解析式

【典例1】求分別滿足下列條件的函數(shù)f(x)的解析式：

(1)f(x-1)=(x-1)2+1；

(2)f(x-1)=x2-2x+2；

(3)f(x-1)=3x-2；

(4)f(2x)=3x2+1.

【解析】(1)f(x)=x2+1；

(2)因?yàn)閒(x-1)=(x-1)2+1，所以f(x)=x2+1；

(3)因?yàn)閒(x-1)=3(x-1)+1，所以f(x)=3x+1；

【變式1】已知f(x+1)=x2-2x+2，則f(x+3)=________.

4.4根據(jù)兩函數(shù)圖象的關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法

( )

【解析】設(shè)函數(shù)g(x)的圖象上任意一點(diǎn)(x,y)，

因?yàn)辄c(diǎn)(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為(y,x)，

【變式1】已知函數(shù)f(x)=x2+2x-3，當(dāng)點(diǎn)(x，y)在y=g(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)(2x，3y)在函數(shù)y=f(x)圖象上運(yùn)動(dòng)，則y=g(x)的解析式是____________.

【變式2】已知函數(shù)y=ex的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則

( )

A．f(2x)=e2x(x∈R)

B．f(2x)=ln2·lnx(xgt;0)

C．f(2x)=2ex(x∈R)

D．f(2x)=lnx+ln2(xgt;0)

4.5判別式法求最值

【典例1】已知關(guān)于x的方程tx2+4x+t+3=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

【解析】當(dāng)t=0,4x+3=0有實(shí)數(shù)解；

當(dāng)t≠0，關(guān)于x的方程tx2+4x+t+3=0有實(shí)數(shù)解等價(jià)于二次函數(shù)f(x)=tx2+4x+t+3在R上必與x軸有交點(diǎn)，則Δ=16-4t(t+3)≥0,得t2+3t-4≤0，所以-4≤t≤1且t≠0．

綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍{t|-4≤t≤1}．

【變式1】已知關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x-3=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【變式2】關(guān)于x的方程(y+1)x2-6x-y+9=0在(0,1)上有解，求正數(shù)y的取值范圍.

【典例2】設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是________.

【解析】設(shè)2x+y=t，則y=t-2x，

代入4x2+y2+xy=1整理得6x2-3tx+t2-1=0，

【變式1】若x,y∈R，設(shè)M=x2-2xy+3y2-x+y，則M的最小值為________.

【變式2】設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若x2-3xy+y2=2，則x2+y2的最小值是________.

【解析】(y+1)x2-6x+9-y=0在(0，1)上有解，

也就是二次函數(shù)f(x)=(y+1)x2-6x+9-y(ygt;0)在(0，1)上與x軸有公共點(diǎn).

故函數(shù)的最小值為8.

【變式2】若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的取值范圍是________.

5.函數(shù)性質(zhì)

5.1函數(shù)的單調(diào)性

( )

A．f(-5)gt;f(3)

B．f(-5)lt;f(3)

C．f(-3)gt;f(-5)

D．f(-3)lt;f(-5)

【解析】f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，又為奇函數(shù)，故f(x)在(-∞，0)上也為增函數(shù)，因?yàn)?3gt;-5，所以f(-3)gt;f(-5)，故選C.

( )

B．f(x)=(x-1)2

C．f(x)=ex

D．f(x)=ln(x+1)

【典例2】已知函數(shù)y=f(x)的定義域是(0，2)，且對于任意的正數(shù)m，都有f(x+m)lt;f(x)，求滿足f(2-a)lt;f(a2)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】因?yàn)閷τ谌我獾恼龜?shù)m，都有f(x+m)lt;f(x)，所以函數(shù)y=f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減.

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，

且f(2-a)lt;f(a2)，所以2-agt;a2，

又函數(shù)定義域是(0，2)，

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是0lt;alt;1.

【變式1】已知函數(shù)y=f(x)在定義域R上是單調(diào)增函數(shù)，且f(x2+x)gt;f(2)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

【變式2】已知函數(shù)y=f(x)在[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，且f(x+1)gt;f(2x)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

【典例3】(1)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)=-1，則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是

( )

A．[-2，2] B．[-1，1]

C．[0，4] D．[1，3]

(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)圖象經(jīng)過(3，1)，求不等式f(x)≤1的解集.

【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)且f(1)=-1，

要滿足-1≤f(x-1)≤1，

即f(-1)≤f(x-1)≤f(1)，

又函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以-1≤x-1≤1，

得1≤x≤3，所以x∈[1，3]，故選D.

(2)函數(shù)圖象經(jīng)過(3，1)，則f(3)=1，

所以f(x)≤f(3)，

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)，所以x≤3，

不等式f(x)≤1的解集是{x|x≤3}.

【典例4】已知函數(shù)f(x)=x3+x對任意的m∈[-2，2]，有不等式f(mx-2)+f(x)lt;0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

【解析】因?yàn)閒′(x)=3x2+1gt;0，

所以f(x)=x3+x在R上單調(diào)遞增，

又f(x)=x3+x為奇函數(shù)，

因此不等式f(mx-2)+f(x)lt;0等價(jià)于mx-2lt;-x，

即(m+1)xlt;2對任意的m∈[-2，2]恒成立.

(法1)當(dāng)m=-1時(shí)，x∈R；

(法2)設(shè)g(m)=xm+x,

【變式1】已知函數(shù)f(x)=2x+sinx對任意的m∈[-2，2]，有不等式f(mx-3)+f(x)lt;0恒成立，則x的取值范圍是________.

5.2函數(shù)的奇偶性

【典例1】已知函數(shù)f(x)=asin3x+bx3+4(a∈R,b∈R)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(2 014)+f(-2 014)+f′(2 015)-f′(-2 015)=

( )

A．8 B．2 014

C．2 015 D．0

【解析】f(x)=asin3x+bx3+4(a∈R，b∈R)，

f(-x)=-asin3x-bx3+4，

所以f(2 014)+f(-2 014)=8.

又因?yàn)閒′(x)=3acos3x+3bx2為偶函數(shù)，

所以f′(2 015)-f′(-2 015)=0，

f(2 014)+f(-2 014)+f′(2 015)-f′(-2 015)=8.

故選A.

【變式1】函數(shù)f(x)=x3+sinx+1(x∈R)，若f(a)=2，則f(-a)的值為

( )

A.3 B.0

C.-1 D.-2

【解析】(法1)由于f(x)是偶函數(shù)，故f(|x|)=f(x)，

【變式1】定義在R上的偶函數(shù)g(x)，當(dāng)x≥0時(shí)g(x)單調(diào)遞減，若g(1-m)lt;g(m)，則m的取值范圍是________．

【解析】由f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)+f(-x)=0，

所以k2=1,k=±1．經(jīng)檢驗(yàn)符合.

5.3函數(shù)圖象的對稱性

定義域?yàn)閧x|x≠0且x≠-1}，

該函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，

故原來的函數(shù)對稱中心為(-1,0).

【典例2】函數(shù)f(x)=(x-3)3+x-1，數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14，求a1+a2+…+a7.

【解析】令g(x)=f(x)-2=(x-3)3+(x-3)，

所以g(x)圖象關(guān)于(3，0)對稱．

因?yàn)閒(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14，

所以f(a1)-2+f(a2)-2+…+f(a7)-2=0.

即g(a1)+g(a2)+…+g(a7)=0.

因?yàn)間(x)圖象上的點(diǎn)(a1,g(a1)),(a2,g(a2)),(a3,g(a3)),…,(a7,g(a7))與(a7,g(a7)),…,(a3,g(a3)),(a2,g(a2)),(a1,g(a1))關(guān)于(a4,g(a4))中心對稱，

即a4=3，故a1+a2+…+a7=7a4=21.

【變式1】將函數(shù)g(x)=x3-3x2的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求此時(shí)圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，則函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標(biāo)為________．

【變式2】已知f(x)=(x-1)3+1，則f(-4)+f(-3)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=________.

【變式3】已知函數(shù)f(x)=(x+a)3對任意x有f(1+x)=-f(1-x)，則f(-2 015)+f(2 017)的值為________．

5.4函數(shù)周期性

(2)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x+2)=13，若f(1)=2，則f(99)=________.

所以f(x)是周期為4的函數(shù)，f(5)=f(1)=-5，

【變式1】設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x+2)=13，若f(1)=2，則f(99)=

( )

A.13 B.2

【變式2】設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x+2)=2 016，若f(3)=2，則f(2 017)=________．

( )

A.-2 B.-1

C.0 D.1

【典例3】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+1)=-f(x-2)，且f(1)=1，則f(64)=________．

【解析】f(x+1)=-f(x-2),用x+2替換x,

得f(x+3)=-f(x),f(x+6)=f[(x+3)+3]

=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x),

所以函數(shù)f(x)的周期為6.

因?yàn)閒(1)=1,f(4)=-f(1)=-1,

所以f(64)=f(6×10+4)=f(4)=-1.

【變式1】已知奇函數(shù)f(x)圖象關(guān)于x=2對稱，且f(1)=1，則f(65)=________.

參考答案

1.函數(shù)的概念

1.1函數(shù)是從非空數(shù)集A到數(shù)集B的單值對應(yīng)

1．(3) 【解析】(1)集合A中的元素5，按照對應(yīng)法則，在B中應(yīng)該是對應(yīng)10，但沒有，不是從A到B的函數(shù)；

(2)集合A，B不是數(shù)集，不是函數(shù)；

(3)f(1)=3，f(2)=5，f(3)=7，f(4)=9，是從A到B的函數(shù)；

(4)當(dāng)x=1時(shí)，x-1=0?B，不是從A到B的函數(shù).

C.f(12+1)=f(2)=2,f((-1)2+1)=f(2)=0,則f(2)=|±1+1|=0,2;

即A，B，C選項(xiàng)均不滿足同一自變量所對應(yīng)的函數(shù)值是唯一的，故選D.

1.2圖象一樣的函數(shù)就是同一函數(shù)

2.D 【解析】A，B，C中函數(shù)的圖象不同，D中函數(shù)的圖象完全相同，故選D.

2函數(shù)的定義域

2.1簡單的不等式(組)的求法

2.2使解析式有意義的自變量取值集合是函數(shù)的定義域

1.[-3，1] 【解析】3-2x-x2≥0,解得-3≤x≤1,因此定義域?yàn)閇-3，1].

2.3復(fù)合函數(shù)的定義域也是自變量x的取值范圍

2.[0,5] 【解析】由f(x)的定義域?yàn)閇-2,3]得-2≤x≤3，用x-2替換x得-2≤x-2≤3即0≤x≤5.所以f(x)的定義域?yàn)閇0,5].

2.4求函數(shù)解析式遇到的函數(shù)定義域問題

1.f(x)=2x+1(x≥1) 【解析】(配湊法)f(x2+1)=2(x2+1)+1，所以f(x)=2x+1(x≥1).

2.6對數(shù)函數(shù)定義域不能成為永遠(yuǎn)的痛

【典例1】

3.【解析】A={x|x-2gt;0}=(2，+∞)，B={x|x-1≥0}=[1，+∞).A∪B=(2,+∞)∪[1，+∞)=[1，+∞)，A∩B=(2，+∞)∩[1，+∞)=(2，+∞).

【典例2】

1.必要不充分 【解析】由Mgt;N，不能得到log2Mgt;log2N，因?yàn)镸，N不一定大于0.反過來，由log2Mgt;log2N可得Mgt;N.

3.1先內(nèi)后外求復(fù)合函數(shù)函數(shù)的值

1.3 【解析】f(3)+f(6)=f(5)+1=f(7)+1=2+1=3.

2.B 【解析】由題f(x)=f(x-1)-f(x-2)，xgt;0，得f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)，f(0)=log2(4-0)=2，則-f(0)=-2，故選B.

3.2賦值法求函數(shù)的值

1.15 【解析】由8=x+2，x=6，由f(x+2)=2x+3得f(6+2)=2×6+3=15.

2.1 【解析】令x=2 017，f(x+1)=f(2 017+1)=f(2 018)，所以f(2 018)=f(2 017+1)=3(2 017-2 017)2+1=1.

3.4基本不等式法求函數(shù)值域

3.5三角換元法求函數(shù)值域

3.6函數(shù)單調(diào)性法求最值(值域)

3.7有界性法求函數(shù)的值域

3.8不等式性質(zhì)或函數(shù)圖象求值域

【典例1】

1.[2，+∞) 【解析】f(x)=(x-1)2+2≥2，所以函數(shù)f(x)=x2-2x+3的值域是[2，+∞).

【典例2】

(法2)因?yàn)閤gt;0,所以x+1gt;1，

可以得到函數(shù)f(x)的值域(0，2)，

所以g(x)=log2f(x)的值域是(-∞，1).

4.1已知函數(shù)的名稱用待定系數(shù)法求解析式

2..h(x)=2x-4 【解析】因?yàn)閒(x)和g(x)均為一次函數(shù)，所以h(x)為一次函數(shù)，設(shè)h(x)=ax+b，所以f[h(x)]=2h(x)+3=2(ax+b)+3=2ax+2b+3=4x-5，所以2a=4，2b+3=-5，解得a=2，b=-4，所以h(x)=ax+b=2x-4.

4.2構(gòu)造方程組用消去法求函數(shù)解析式

【典例1】

【典例2】

4.3用換元法(配湊法)求函數(shù)f(x)的解析式

1.f(x+3)=x2+2x+2 【解析】設(shè)t=x+1，x=t-1，則f(t)=(t-1)2-2(t-1)+2=t2-4t+5，所以f(x)=x2-4x+5，f(x+3)=(x+3)2-4(x+3)+5=x2+2x+2.

4.4根據(jù)兩函數(shù)圖象的關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法

2.D 【解析】設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)(x，y)，則因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為(y，x)，所以(y，x)滿足方程y=ex，即x=ey，兩邊取對數(shù)得，lnx=y，即f(x)=lnx，故f(2x)=ln2x=lnx+ln2(xgt;0)，故選D.

4.5判別式法求最值

【典例1】

【典例2】

【典例3】

5.函數(shù)性質(zhì)

5.1函數(shù)的單調(diào)性

【典例1】

【典例2】

1.xgt;1或xlt;-2 【解析】由題意得x2+xgt;2，(x-1)(x+2)gt;0，得xgt;1或xlt;-2，實(shí)數(shù)x的取值范圍xgt;1或xlt;-2.

【典例4】

5.2函數(shù)的奇偶性

【典例1】

1.B 【解析】f(a)=a3+sina+1，f(-a)=-a3-sina+1，f(a)+f(-a)=2，故f(-a)=0,故選B.

【典例2】

【典例3】

5.3函數(shù)圖象的對稱性

【典例1】

【典例2】

1.(1，-2) 【解析】平移后得g1(x)=(x+1)3-3(x+1)2+2，即g1(x)=x3-3x．由函數(shù)y=g1(x)為奇函數(shù)，它的對稱中心為O(0，0)，所以函數(shù)g(x)=x3-3x2的對稱中心為(1，-2)．

2.11 【解析】f(x)=(x-1)3+1是由y=x3平移得到的，因此f(x)的對稱中心為(1，1)，有f(x)+f(2-x)=2，所以f(-4)+f(-3)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=[f(-4)+f(6)]+[f(-3)+f(5)]+…+[f(0)+f(2)]+f(1)=5×2+1=11．

3.0 【解析】用1-x替換x得f(2-x)=-f(x)，即f(2-x)+f(x)=0，可知函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱，所以f(-2 015)+f(2 017)=0.

5.4函數(shù)周期性

【典例1】

【典例3】