安徽 阮 飛

研究解析幾何中直線平行的三個(gè)視角

安徽 阮 飛

解析幾何中的兩直線平行問題是一類既基本而又綜合性強(qiáng)的高考熱點(diǎn)問題.如果同學(xué)們能夠做到正確理解概念，弄清相關(guān)結(jié)論的推導(dǎo)過程、功能及使用條件，就能輕松快速的解決此類問題.本文主要介紹處理此類問題的三個(gè)視角，僅供大家參考.

一、利用兩條直線的斜率

【例1】如圖，已知兩條拋物線E1:y2=2p1x(p1gt;0)和E2:y2=2p2x(p2gt;0)，過原點(diǎn)O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點(diǎn)，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點(diǎn)．求證：A1B1∥A2B2．

【證明】A1，A2兩點(diǎn)在過原點(diǎn)的直線l1上，

可設(shè)A1(x1，y1)，A2(mx1，my1)(x1gt;0，mgt;0)，

同理可設(shè)B1(x2，y2)，B2(nx2，ny2)(x2gt;0,ngt;0)，

所以kA1B1=kA2B2，即A1B1∥A2B2.

②當(dāng)x2-x1=0時(shí)，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，

故A1B1∥A2B2.

綜合①②可知，A1B1∥A2B2.

【評(píng)注】對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1，l2，即若l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，則l1∥l2?k1=k2，b1≠b2；特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在且不重合時(shí)，l1與l2平行.此視角思路清晰，關(guān)鍵在斜率是否存在的討論和點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率的計(jì)算.

【變式】若直線x+(2a-1)y-1=0與(2a-2)x-(4a-2)y+3=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為________．

二、利用兩條直線的方向向量或法向量

【證明】A1，A2兩點(diǎn)在直線l1上，

可設(shè)A1(x1，y1)，A2(mx1，my1)(mgt;0)，

同理可設(shè)B1(x2，y2)，B2(nx2，ny2)(ngt;0)，且n=λ，

所以A2(λx1，λy1)，B2(λx2，λy2)，

我們把與直線垂直的非零向量叫做直線的法向量，直線的法向量不唯一.直線Ax+By+C=0一定有一個(gè)法向量是(A，B)；直線y=kx+b一定有一個(gè)法向量是(k，-1).不重合的兩條直線平行的充要條件是它們的法向量平行.

向量視角處理解析幾何問題往往自然簡潔.張奠宙先生說：“我們知道‘點(diǎn)’是不能‘計(jì)算’的.但是引入了坐標(biāo)，并把點(diǎn)看作位置向量，就可以計(jì)算了；向量可以和‘?dāng)?shù)’相乘，兩個(gè)向量可以加減，以及有數(shù)量積等等，引入向量，能夠精中求簡，‘以簡馭繁’……”

【變式】已知直線l1:nx+8y+2=0和直線l2:2x+ny+1=0平行，求n的值.

【解析】(法1)直線l1:nx+8y+2=0，l2:2x+ny+1=0的一個(gè)法向量分別是n1=(n，8)，n2=(2，n)，

因?yàn)閘1∥l2，所以n1∥n2，則n2-16=0，所以n=±4，

當(dāng)n=4時(shí)，直線l1:4x+8y+2=0與直線l2:2x+4y+1=0重合，故n=-4.

當(dāng)n=4時(shí)，直線l1:4x+8y+2=0與直線l2:2x+4y+1=0重合，故n=-4.

三、利用平面幾何知識(shí)

同理可得曲線E2的極坐標(biāo)方程：

又A1，A2兩點(diǎn)在直線l1上，

可設(shè)A1(ρ1，α1)，A2(ρ2，α1)，ρ1=|OA1|，ρ2=|OA2|.

即ρ2=λρ1

所以|OA2|=λ|OA1|，同理可得|OB2|=λ|OB1|，

由平面幾何知識(shí)易知A1B1∥A2B2．

【評(píng)注】引理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.證明兩直線平行還可以通過證它們同垂直(或同平行)于第三條直線、被第三條直線截得的同位角相等(或內(nèi)錯(cuò)角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ))等平面幾何方法.

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，但解題時(shí)不能僅使用代數(shù)方法，應(yīng)重視運(yùn)用平面幾何知識(shí)簡化和轉(zhuǎn)化題目中的條件，這也是近年高考試題考查的一個(gè)方向.

【變式】已知兩條曲線E1：x2+y2=1(xgt;0)和E2：x2+y2=4(xgt;0)，過原點(diǎn)O的兩條不同直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點(diǎn)，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點(diǎn)．求證：A1B1∥A2B2.

【證明】依題意|OA1|=|OB1|=1，|OA2|=|OB2|=2，

在△OA2B2中，由平面幾何知識(shí)知A1B1∥A2B2．

安徽省太和中學(xué))