江蘇 王延全

抓本質(zhì) 重模型
——對(duì)古典概型的幾種常見模型的歸納

江蘇 王延全

1.基本事件個(gè)數(shù)少的問(wèn)題可以采用枚舉法

【典例】甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

(Ⅰ)若從甲、乙兩校報(bào)名的6名教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；

(Ⅱ)若從甲、乙兩校報(bào)名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率.

【解析】(Ⅰ)從甲、乙兩校報(bào)名的6名教師中各任選1名，所有可能的結(jié)果為：(甲男1，乙男)，(甲男1，乙女1)，(甲男1，乙女2)，(甲男2，乙男)，(甲男2，乙女1)，(甲男2，乙女2)，(甲女，乙男)，(甲女，乙女1)，(甲女，乙女2)，共計(jì)9個(gè)基本事件；

(Ⅱ)從甲、乙兩校報(bào)名的6名教師中任選2名，所有可能的結(jié)果為：(甲男1，甲男2)，(甲男1，甲女)，(甲男1，乙男)，(甲男1，乙女1)，(甲男1，乙女2)，(甲男2，甲女)，(甲男2，乙男)，(甲男2，乙女1)，(甲男2，乙女2)，(甲女，乙男)，(甲女，乙女1)，(甲女，乙女2)，(乙男，乙女1)，(乙男，乙女2)，(乙女1，乙女2)，共計(jì)15個(gè)基本事件；

記“選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)?！睘槭录﨎，事件B含有以下6個(gè)基本事件：

【變式】小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M,I,N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是

( )

2.同一事件涉及多個(gè)因素可用樹狀圖

【典例】經(jīng)過(guò)某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能左轉(zhuǎn)或右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，同向而行的三輛汽車都經(jīng)過(guò)這個(gè)十字路口時(shí)，求下列事件的概率：

(Ⅰ)三輛車全部繼續(xù)直行；

(Ⅱ)兩輛車右轉(zhuǎn)，一輛車左轉(zhuǎn).

【解析】畫出三輛汽車先后經(jīng)過(guò)一個(gè)十字路口轉(zhuǎn)向的樹狀圖，可以發(fā)現(xiàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有27個(gè)，它們出現(xiàn)的可能性相等，即共有27個(gè)基本事件.

【評(píng)注】當(dāng)一次試驗(yàn)涉及三個(gè)或三個(gè)以上的因素時(shí)，通常借助樹狀圖不重不漏地計(jì)算基本事件的總數(shù).樹狀圖一般從上至下或從左至右進(jìn)行“枝葉”展開，注意“不重不漏”的進(jìn)行列舉.

【變式】“石頭、剪刀、布”是個(gè)廣為流傳的游戲，游戲時(shí)甲乙雙方每次做“石頭”“剪刀”“布”三種手勢(shì)中的一種，規(guī)定：“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”，同種手勢(shì)不分勝負(fù)須繼續(xù)比賽.假定甲乙兩人每次都是等可能地做這三種手勢(shì)，那么一次比賽時(shí)兩人分出勝負(fù)的概率是多少？甲勝的概率是多少？請(qǐng)用樹狀圖的方法解決.

3.每個(gè)事件涉及兩個(gè)因素可用列表法

【典例】隨機(jī)地?cái)S一枚骰子兩次(或拋擲兩枚骰子一次)，計(jì)算：

(Ⅰ)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)的概率；

(Ⅱ)點(diǎn)數(shù)之和是7點(diǎn)的概率.

【解析】隨機(jī)地?cái)S一枚骰子兩次(或拋擲兩枚骰子一次)，所有結(jié)果如下表所示：

第一次第二次1點(diǎn)2點(diǎn)3點(diǎn)4點(diǎn)5點(diǎn)6點(diǎn)1點(diǎn)(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2點(diǎn)(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3點(diǎn)(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4點(diǎn)(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5點(diǎn)(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6點(diǎn)(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)

由上表可知，隨機(jī)地拋擲兩枚骰子的基本事件總數(shù)是36種.

【評(píng)注】當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素，且可能出現(xiàn)的結(jié)果較多時(shí)，為不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，通常用列表法.本題運(yùn)用表格將36種情形一 一列舉，具體形象，一目了然.

【變式】某中學(xué)一年級(jí)有12個(gè)班,要從中選2個(gè)班代表學(xué)校參加某項(xiàng)活動(dòng),由于某種原因,一班必須參加,另外再?gòu)亩潦嘀羞x1個(gè)班,有人提議用如下方法:擲兩個(gè)骰子得到的點(diǎn)數(shù)和是幾(見下表),就選幾班,你認(rèn)為這種方法公平嗎?

1點(diǎn)2點(diǎn)3點(diǎn)4點(diǎn)5點(diǎn)6點(diǎn)1點(diǎn)2345672點(diǎn)3456783點(diǎn)4567894點(diǎn)56789105點(diǎn)678910116點(diǎn)789101112

4.不放回問(wèn)題可用半表計(jì)算基本事件

【典例】一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的標(biāo)簽，今隨機(jī)地選取兩張標(biāo)簽.如果標(biāo)簽選取是無(wú)放回的，求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率.

【解析】隨機(jī)地從盒子里選取兩張標(biāo)簽，如果不放回，則有如下45個(gè)基本事件(例如：摸到1,2號(hào)標(biāo)簽用{1,2}表示)：

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{1,8},{1,9},{1,10}

{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{2,7},{2,8},{2,9},{2,10}

{3,4},{3,5},{3,6},{3,7},{3,8},{3,9},{3,10}

{4,5},{4,6},{4,7},{4,8},{4,9},{4,10}

{5,6},{5,7},{5,8},{5,9},{5,10}

{6,7},{6,8},{6,9},{6,10}

{7,8},{7,9},{7,10}

{8,9},{8,10}

{9,10}

【評(píng)注】當(dāng)從有限個(gè)總體中不放回地抽取兩個(gè)樣本時(shí)，可以不考慮抽取的順序，通過(guò)列出半表來(lái)計(jì)算基本事件，這樣就簡(jiǎn)化了計(jì)算.

【變式】一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出兩個(gè)球.

(Ⅰ)共有多少個(gè)基本事件？

(Ⅱ)摸出的兩個(gè)都是白球的概率是多少？

【解析】(Ⅰ)分別記白球?yàn)?，2，3號(hào)，黑球?yàn)?，5號(hào)，從中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1，2號(hào)球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).因此，共有10個(gè)基本事件.

江蘇省連云港市贛馬高級(jí)中學(xué))