陜西 呂二動(dòng) 姬亞鵬

一道課本例題的研究及應(yīng)用

陜西 呂二動(dòng) 姬亞鵬

本文就此不等式的證明及其應(yīng)用進(jìn)行討論.

一、不等式的證明

【證法1】用比較法(教材證明方法)

又a，b，m∈R+且alt;b，所以b+mgt;0,b-agt;0，

【證法2】用分析法

即證明b(a+m)gt;a(b+m),

即證明bmgt;am,

即證明m(b-a)gt;0.

由于mgt;0,alt;b,所以上式成立.

【證法3】定比分點(diǎn)公式法

【證法4】斜率法

由不等式兩邊都是分式形式，可尋覓到這個(gè)式子隱含的幾何背景——直線的斜率：

【證法5】構(gòu)造函數(shù)法

又因?yàn)閎gt;a,所以f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù).

除此之外，還有其他的解法，不再贅述.

二、不等式的應(yīng)用

【解析】由“糖水變甜不等式”得

【例2】建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%.并且這個(gè)比例越大，采光條件越好，問(wèn)同時(shí)增加相同的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了還是變壞了？

故住宅的采光條件是變好了.

【例3】一只口袋里裝有4個(gè)紅球和6個(gè)白球.

(Ⅰ)從口袋里任意摸出一個(gè)球，恰是紅球的概率是多少？

(Ⅱ)再向口袋里放入2個(gè)紅球，則從口袋里任意摸出一個(gè)球，恰好是紅球的概率是變大還是變?。空f(shuō)明理由.

故該事件的概率變大了.

【證明】由于不等式右邊是常數(shù)，為了便于求和，最好能把分母化為一致，

【證明】因?yàn)?lt;i≤mlt;n,所以n-i+1gt;m-i+1gt;0.

由“糖水變甜不等式”，有

三、小試牛刀

【證明】在△ABC中，a+b-cgt;0.

【證明】由“糖水變甜不等式”得

【證明】由題設(shè)及“糖水變甜不等式”得

陜西省西安高新第三中學(xué))