湖北 廖慶偉

二項(xiàng)式定理題型掃描

湖北 廖慶偉

二項(xiàng)式定理是高考必考的，?？碱}型是選擇題或填空題，屬容易題或中等題，二項(xiàng)式定理常考題型如下.

一、求常數(shù)項(xiàng)

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A.360 B.180 C.90 D.45

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A.6 B.9 C.12 D.18

二、求指定項(xiàng)的系數(shù)

點(diǎn)評：求二項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)的系數(shù)問題，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡后，令字母的指數(shù)符合要求，解出Tr+1中的r，再代回通項(xiàng)公式即可.注意求指定項(xiàng)的系數(shù)與求指定項(xiàng)是不同的.

【變式2】(2017·山西大學(xué)附中高三二模測試)(x-2y)6的展開式中，x4y2的系數(shù)為

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A.15 B.-15 C.60 D.-60

( )

A.-4 B.-2 C.2 D.4

三、求指定項(xiàng)

【例3】(2016·四川理)設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x+i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為

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A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4

【變式1】設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x-i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為

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A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4

四、求有理項(xiàng)

點(diǎn)評：求二項(xiàng)展開式的有理項(xiàng)問題一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行，化簡通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)為整數(shù)，解出Tr+1中的r，注意0≤r≤n,r,n∈N，再代回通項(xiàng)公式即可.

A.2 B.3 C.4 D.5

五、求參數(shù)的值

點(diǎn)評：二項(xiàng)式定理中的求參數(shù)問題，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡后，令字母的指數(shù)符合要求，解出Tr+1中的r，再代回通項(xiàng)公式即可.

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隨著燃料乙醇和食品加工中伴生的液體副產(chǎn)品產(chǎn)量增加、果蔬種植規(guī)模化伴生的鮮基飼用資源增加，加上環(huán)保要求趨嚴(yán)、飼料成本上升，促進(jìn)了液體農(nóng)副產(chǎn)品、鮮基地源飼料和發(fā)酵液體飼料的應(yīng)用和推廣，液體飼料具有廣闊的發(fā)展前景[1]。

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六、求展開式系數(shù)和

【例5】已知(x2-3x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，則a1+a2+a3+…+a10=

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A.-1 B.1 C.-2 D.0

【解析】因?yàn)?x2-3x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，令x=0，可得a0=1，令x=1,可得a0+a1+a2+…+a10=-1，所以a1+a2+…+a10=-2,故選C.

點(diǎn)評：求解本題應(yīng)先令x=0，求a0，再令x=1，求a0+a1+a2+…+a10，最后求a1+a2+a3+…+a10.用二項(xiàng)式定理展開時，要注意按字母x的指數(shù)從小到大或從大到小排列. 同時應(yīng)注意二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律.

【變式1】若(1+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，則a1+a2+…+a7的值是

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【答案】C 【解析】由題意可知a8=(-2)7=-128，令x=0得a0=1，令x=1得a0+a1+a2+…+a7+a8=-2，所以a1+a2+…+a7=125，故選C.

【變式2】已知展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為

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A.212B.211C.210D.29

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【變式4】設(shè)(2-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，則 |a1|+|a2|+…+|a6|的值是

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A.729 B.665 C.728 D.636

【答案】B 【解析】令x=0,則a0=26=64,而(2+x)6=a0+|a1|x+|a2|x2+…+|a6|x6,令x=1可得a0+|a1|+|a2|+…+|a6|=36=729,故|a1|+|a2|+…+|a6|=729-64=665,故選B.

七、求最值

( )

A.3 B.4 C.5 D.6

【變式1】已知 (x+1)2012=a1+a2x+a3x2+…+a2013x2012，若數(shù)列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤2 013,k∈Z)是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是

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A.1 005 B.1 006 C.1 007 D.1 008

【變式2】二項(xiàng)式(1-x)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第________項(xiàng).

【答案】6 【解析】展開式共11項(xiàng)，中間項(xiàng)為第6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大.

【變式3】若(x-2y)n展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第5項(xiàng)，則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是________.

【答案】1 【解析】因?yàn)?x-2y)n展開式中系數(shù)最大的是第5項(xiàng)，所以n=8，所以(x-2y)8的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和(-1)8=1.

八、整除問題

【例7】求7777-7被19除所得的余數(shù).

點(diǎn)評：用二項(xiàng)式定理處理整除性問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項(xiàng)式定理展開，只考慮后面(或者前面)一、二項(xiàng)就可以了.

【變式1】設(shè)a∈Z，且0≤alt;13，若512012+a能被13整除，則實(shí)數(shù)a= .

【變式2】已知m是一個給定的正整數(shù)，如果兩個整數(shù)a，b除以m所得的余數(shù)相同，則稱a與b對模m同余，記作a≡b(modm)，例如：5≡13(mod4).若22015≡r(mod7)，則r可能等于

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A.2 013 B.2 014 C.2 015 D.2 016

【變式3】用二項(xiàng)式定理證明(n+1)n-1可以被n2整除(n∈N*).

【證明】用二項(xiàng)式定理和組合數(shù)的性質(zhì)，得到

當(dāng)n=1時，(1+1)1-1能被12整除.

所以(n+1)n-1是n2的倍數(shù)，即可以被n2整除.

九、交匯題

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A.-80 B.80 C.40 D.-20

點(diǎn)評：二項(xiàng)式定理常與函數(shù)、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)等知識交匯.求解本題的關(guān)鍵是利用線性規(guī)劃的知識求出滿足條件的n，再利用二項(xiàng)式定理的知識求解.

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A.-20 B.20 C.-15 D.15

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A.240 B.-240 C.-60 D.60

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A.第7項(xiàng) B.第8項(xiàng)

C.第9項(xiàng) D.第10項(xiàng)

湖北省巴東縣第三高級中學(xué))