王志南

【摘 要】本文對(duì)“蘇教版”小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“軸對(duì)稱圖形”一課的兩種教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了詳細(xì)比較，教學(xué)設(shè)計(jì)的差異反映出教師對(duì)教材內(nèi)涵的不同理解。要讓學(xué)生走向數(shù)學(xué)意義的深入理解，教師就要讓教學(xué)更加貼近學(xué)生，將教學(xué)的節(jié)奏放慢下來，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程做完整、做豐富。

【關(guān)鍵詞】“蘇教版”；軸對(duì)稱圖形；教學(xué)設(shè)計(jì)；比較

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2017）28-0055-03

近期參加市級(jí)教學(xué)研討活動(dòng)，聽了兩位老師同課異構(gòu)的“軸對(duì)稱圖形”一課。本課是“蘇教版”小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，也是學(xué)生初次認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形。兩位老師的設(shè)計(jì)在教學(xué)思路是一致的，但細(xì)節(jié)的處理卻迥然不同。教學(xué)設(shè)計(jì)的差異反映出教師對(duì)教材內(nèi)涵的不同理解，而在兩種教法的比較和思考中，筆者也獲得了許多有益的啟發(fā)。

【教學(xué)設(shè)計(jì)一】

1. 認(rèn)識(shí)物體對(duì)稱

教師引導(dǎo)學(xué)生欣賞自然界中的對(duì)稱現(xiàn)象后，出示例3中的蝴蝶、祈年殿、飛機(jī)模型的實(shí)物圖片。請(qǐng)學(xué)生觀察圖片，找出這些物體的特點(diǎn)，再在組內(nèi)交流它們的共同特征。

交流：這些物體有什么共同特征？

指出：我們觀察這些物體的兩邊，經(jīng)過比較，發(fā)現(xiàn)它們的形狀、大小都一樣，是完全相同的，我們就說這樣的物體是對(duì)稱的。

你還見到哪些物體也具有這樣對(duì)稱的特征？

2. 認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形

引導(dǎo)：我們把蝴蝶、祈年殿和飛機(jī)沿著輪廓畫好剪下來，可以得到你們手中的3個(gè)圖形。

提出要求：請(qǐng)同學(xué)們拿出這幾個(gè)圖形。對(duì)折，比一比，看一看，你能發(fā)現(xiàn)什么，把你的發(fā)現(xiàn)和同組的同學(xué)說一說。

指出：對(duì)折后兩邊大小相等、形狀相同，可以說成“完全重合”。

揭示：像這樣，對(duì)折后能完全重合的圖形，是軸對(duì)稱圖形。

3. 操作深化：出示例4，明確要求

（1）教師演示剪松樹圖的完整過程。

（2）讓學(xué)生用一張紙對(duì)折，再照樣子畫一畫、剪一剪。

（3）讓學(xué)生按上面的方法再剪一個(gè)軸對(duì)稱圖形。

4. 教學(xué)“試一試”

幾何圖形中也有一些是軸對(duì)稱圖形，你能一眼看出哪些是軸對(duì)稱圖形嗎？

每組從材料袋中拿出材料驗(yàn)證，填寫記錄單。

【教學(xué)設(shè)計(jì)二】

1. 談話導(dǎo)入，引發(fā)思考

談話：小朋友們玩過剪紙嗎？猜一猜，這張紙剪下來的圖片是什么？它們有什么共同的特點(diǎn)？在我們身邊，你還見過哪些具有類似特征的東西嗎？

2. 操作感悟，探究新知

（1）探究軸對(duì)稱圖形。

談話：剛才同學(xué)們說到了蝴蝶、飛機(jī)、房子……我們把它畫成圖形，如果給你這些圖形，怎樣才能看出它們是對(duì)稱的呢？

學(xué)生活動(dòng)，對(duì)折例題三幅圖。

對(duì)折時(shí)觀察：對(duì)折后的圖形的邊線和圖形會(huì)怎樣？

組織匯報(bào)：你是怎么折的？（上下、左右）你發(fā)現(xiàn)什么？

交流概括：總體上看，只能看到圖形的一半，細(xì)節(jié)上看，對(duì)折后左右兩邊（或上下兩邊）邊線和線條都完全重合。

小結(jié)：對(duì)折后圖形兩側(cè)不多不少地“完全重合”在一起。（板書：完全重合）像這樣對(duì)折后能完全重合的圖形就是軸對(duì)稱圖形。

（2）識(shí)別軸對(duì)稱圖形。

談話：如果老師現(xiàn)在給你一些圖形圖案，你能不能很快說出哪些是軸對(duì)稱圖形？

展示課件中的圖，判斷哪些是軸對(duì)稱圖形：

①猜一猜：看看哪些是軸對(duì)稱圖形，哪些不是？

②折一折：六人合作，驗(yàn)證猜想。

③填一填：完成答題紙。

學(xué)生活動(dòng)，教師巡視。

組織匯報(bào)。隨機(jī)談話：怎樣驗(yàn)證的？說說你判斷的依據(jù)。

【兩種設(shè)計(jì)的比較與思考】

在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)從生活中的對(duì)稱現(xiàn)象中積累了許多對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn)，因此兩位老師的設(shè)計(jì)有著許多共同之處。如都注重引導(dǎo)學(xué)生在生活中感知對(duì)稱性，在觀察、操作中研究軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱性，都注重學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力培養(yǎng)。尤其是，兩位老師都注重對(duì)本課核心概念的意義建構(gòu)，即“什么是軸對(duì)稱圖形？”“軸對(duì)稱圖形的本質(zhì)特征是什么？”應(yīng)該說，兩位老師的設(shè)計(jì)各有特色，都凸顯了自己對(duì)教學(xué)內(nèi)容的思考。

但是，細(xì)細(xì)品味兩節(jié)課的設(shè)計(jì)，在欣賞之余，卻又感覺缺失了什么。比如：兩位老師在設(shè)計(jì)中均未提及軸對(duì)稱圖形的“軸”在哪里？學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形的理解也局限于“對(duì)折后兩邊能夠完全重合的圖形”，缺少必要的變式。在軸對(duì)稱圖形的判斷上方式單一，主要依靠動(dòng)手操作進(jìn)行判斷和驗(yàn)證。因而，站在更高的視角來看，在這熱鬧的課堂背后又始終感覺少了點(diǎn)什么，我們必須冷靜地思考，課堂中學(xué)生究竟該學(xué)習(xí)什么？又該怎樣開展數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)活動(dòng)？教師又如何在學(xué)生的探究活動(dòng)中發(fā)揮應(yīng)有的主導(dǎo)作用？

事實(shí)上，要讓學(xué)生走向數(shù)學(xué)意義的深入理解，教師就要讓教學(xué)更貼近學(xué)生，將教學(xué)的節(jié)奏放慢下來，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程做完整、做豐富。如本課的教學(xué)，教師需要教學(xué)“軸對(duì)稱圖形”這一核心概念時(shí)放慢節(jié)奏，組織學(xué)生進(jìn)行充分、深入地探究。基于這樣的認(rèn)識(shí)，筆者在此探討三個(gè)問題。

1. 對(duì)稱軸“呼之欲出”，為何卻沒有出現(xiàn)？

三年級(jí)的學(xué)生，教師教學(xué)軸對(duì)稱圖形時(shí)為什么沒有揭示“對(duì)稱軸”這一核心概念？應(yīng)該說，整節(jié)課研究的是軸對(duì)稱圖形，在學(xué)生通過對(duì)折、觀察等探究活動(dòng)，明確軸對(duì)稱圖形的含義后，揭示“對(duì)稱軸”的含義本應(yīng)是水到渠成，呼之欲出，但兩位教師在處理時(shí)均未明確揭示“對(duì)稱軸”這一概念。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？仔細(xì)研讀教材不難發(fā)現(xiàn)，教材在圖中給出了標(biāo)有“對(duì)稱軸”的圖形，但沒有給“對(duì)稱軸”下定義或做出描述。因此，許多教師就誤以為，教學(xué)軸對(duì)稱圖形，讓學(xué)生在觀察和操作中體會(huì)軸對(duì)稱圖形的基本特征就可以了，至于“對(duì)稱軸”，只要讓學(xué)生有一個(gè)直觀的感受就可以了。因?yàn)?，有關(guān)對(duì)稱軸的概念，到四年級(jí)下冊(cè)還要具體學(xué)習(xí)。那么，對(duì)于這樣的觀點(diǎn)，我們又該持怎樣的態(tài)度呢？endprint

事實(shí)上，平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”內(nèi)容中最為生動(dòng)的部分，是在“圖形的運(yùn)動(dòng)”這個(gè)標(biāo)題下給出的。而判斷一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)是需要參照物的，我們?cè)诶狭苏诠獍宓娘w機(jī)上無法感知飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)。史寧中教授這樣定義軸對(duì)稱：“參照物是一條直線。稱圖形翻轉(zhuǎn)到直線的另一側(cè)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到直線距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線與直線垂直的運(yùn)動(dòng)為軸對(duì)稱?！睆谋举|(zhì)上講，應(yīng)當(dāng)是先有參照物然后再規(guī)定圖形的運(yùn)動(dòng)。由此可見，軸對(duì)稱圖形可謂是“因軸而生”，脫離對(duì)稱軸來學(xué)習(xí)軸對(duì)稱圖形，或?qū)?duì)稱軸這一概念避而不談，顯然是對(duì)教材的誤解。

在“蘇教版”小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，雖然不以概念的形式定義“對(duì)稱軸”，不代表可以忽略對(duì)稱軸的存在。事實(shí)上，我們判斷一個(gè)圖形是否是軸對(duì)稱圖形，就是要尋找一條神奇的線（對(duì)稱軸），沿著此線對(duì)折后，圖形的兩邊能夠完全重合則就是軸對(duì)稱圖形。忽視了“對(duì)稱軸”的存在，談何“完全重合”呢？事實(shí)上，由于圖形的不同，學(xué)生在進(jìn)行操作活動(dòng)時(shí)首先需在腦海上進(jìn)行預(yù)設(shè)，按怎樣的方向（或說沿著哪一條線）進(jìn)行對(duì)折。只要對(duì)折活動(dòng)的存在，就必須思考沿著什么對(duì)折的問題，如能完全重合，這條線即這個(gè)圖形的對(duì)稱軸。另一個(gè)角度而言，在引導(dǎo)學(xué)生理解軸對(duì)稱圖形的概念以后，就此揭示對(duì)稱軸的概念對(duì)學(xué)生來說是水到渠成的事，學(xué)生在具體數(shù)學(xué)活動(dòng)中也易于理解對(duì)稱軸的含義。而在后續(xù)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，要求學(xué)生剪出一個(gè)軸對(duì)稱圖形時(shí)，先讓學(xué)生將一張紙對(duì)折然后再剪，其實(shí)也暗含了軸對(duì)稱圖形是“因軸而生”的。

2.“完全重合”怎樣理解，如何走出誤區(qū)？

在教學(xué)中我們不難發(fā)現(xiàn)，很多時(shí)候由于教師對(duì)數(shù)學(xué)基本概念鉆研不夠深入，理解不夠到位，往往使得概念的教學(xué)游離于表層意義，不能引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵。而就學(xué)生而言，數(shù)學(xué)概念的深入理解和掌握是推動(dòng)其數(shù)學(xué)思考的關(guān)鍵因素，一些成人看似簡單的數(shù)學(xué)概念學(xué)生在理解時(shí)卻是復(fù)雜和抽象的。如果學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本概念掌握得不夠深刻，那么一段時(shí)間以后，學(xué)生對(duì)這些基本概念的理解將會(huì)變得模糊，記憶中的相關(guān)知識(shí)將不再牢靠。在本課中，理解軸對(duì)稱圖形的特征是本課教學(xué)的核心目標(biāo)，只有學(xué)生真正理解，才能在后續(xù)練習(xí)中正確地判斷。而軸對(duì)稱圖形的特征教學(xué)的關(guān)鍵在于：一是什么是“完全重合”，其本質(zhì)屬性是什么？二是怎樣引導(dǎo)學(xué)生深入理解“完全重合”的含義？

具體地說，設(shè)計(jì)一中師生對(duì)“完全重合”的理解是存在偏差的。在學(xué)生交流后教師指出：“對(duì)折后兩邊大小相等、形狀相同，可以說成‘完全重合?！边@樣的表述科學(xué)嗎？還有學(xué)生在表述什么是完全重合時(shí)，這樣表述：對(duì)折后的圖形是原圖形的一半，對(duì)折后的圖形兩邊完全相同。這樣的表述揭示了完全重合的本質(zhì)屬性嗎？顯然，這樣表述“完全重合”是錯(cuò)誤的，將一個(gè)平行四邊形沿對(duì)角線對(duì)折所得的兩個(gè)三角形也是完全相同，對(duì)折后的圖形也是原圖形的一半，但平行四邊形并不是軸對(duì)稱圖形。

我們知道，數(shù)學(xué)語言講究精確，尤其是當(dāng)學(xué)生表達(dá)存在錯(cuò)誤或偏差時(shí)，教師要正視問題而不是簡單地加以肯定。教師可以啟發(fā)學(xué)生：你們同意他的觀點(diǎn)嗎？你們還有什么補(bǔ)充嗎？引導(dǎo)學(xué)生在交流中糾偏糾錯(cuò)，不斷地逼近正確結(jié)論。當(dāng)然，這也需要教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)更充分地理解和鉆研教材，由表及里，逐層深入，理解“完全重合”的本質(zhì)內(nèi)涵。相比而言，設(shè)計(jì)二中教師的處理則準(zhǔn)確地把握了“完全重合”的本質(zhì)內(nèi)涵。教師提問：你是怎么折的？觀察對(duì)折后的圖形的邊線和線條會(huì)怎樣？進(jìn)而學(xué)生發(fā)現(xiàn)：總體上看，對(duì)折后只能看到圖形的一半，細(xì)節(jié)上看，對(duì)折后左右兩邊（或上下兩邊）邊線和線條都完全重合。進(jìn)而教師揭示：像這樣，對(duì)折后圖形兩側(cè)不多不少地重合了就是“完全重合”。顯然，這樣的教學(xué)處理比較精細(xì)，準(zhǔn)確地揭示了“完全重合”的數(shù)學(xué)含義。

更進(jìn)一步而言，第二種設(shè)計(jì)教師還可適當(dāng)?shù)丶右愿倪M(jìn)，深化學(xué)生對(duì)“完全重合”的理解。即在學(xué)生對(duì)折發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱圖形對(duì)折時(shí)完全重合后，教師給學(xué)生提供若干圖形，有的是軸對(duì)稱，有的不是軸對(duì)稱，讓學(xué)生先判斷再動(dòng)手操作驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)有的圖形對(duì)折后是“部分重合”，進(jìn)而加深“完全重合”的理解。這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)放慢了教學(xué)節(jié)奏，促進(jìn)學(xué)生對(duì)“完全重合”含義的深刻理解和內(nèi)化。有了這樣的認(rèn)識(shí)，學(xué)生在判斷平行四邊形是否是軸對(duì)稱圖形時(shí)就不會(huì)再糾結(jié)和困惑了，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)，雖然平行四邊形對(duì)折后“圖形兩部分相等”，但是顯然圖形兩部分沒有“完全重合”，因而不是軸對(duì)稱圖形。

3.“動(dòng)手操作”的確實(shí)用，是否是判斷的唯一路徑？

研究表明，幾何表象不僅僅是事物或事件的知覺表征，它一方面反映的是圖形的相關(guān)概念，具有思維的特征；另一方面又具有一定的形象性，可以在頭腦中對(duì)它進(jìn)行各種操作，如旋轉(zhuǎn)、切割、黏合、折疊、拓展等。那么，需要思考的是，判斷軸對(duì)稱圖形的方法只能依賴于動(dòng)手操作嗎？除了動(dòng)手操作進(jìn)行驗(yàn)證，是否可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖形在頭腦中展開想象，判斷其是否“完全重合”呢？

案例中，兩位教師在組織學(xué)生判斷一些平面圖形是否是軸對(duì)稱圖形時(shí)，都采用讓學(xué)生先猜想再驗(yàn)證的教學(xué)思路，而驗(yàn)證的主要方式就是動(dòng)手操作。雖然教師在操作驗(yàn)證前也讓學(xué)生進(jìn)行猜想，但問題是：判斷一個(gè)圖形是否是軸對(duì)稱圖形，引導(dǎo)學(xué)生猜想時(shí)，教師是否可以進(jìn)行必要地指導(dǎo)，而使猜想不再單純依靠學(xué)生的直覺？

因而，教師在認(rèn)可動(dòng)手操作的實(shí)用性的同時(shí)，還需認(rèn)識(shí)到，判斷圖形是否對(duì)稱的方法是多樣的。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生在觀察活動(dòng)中充分感知和建構(gòu)軸對(duì)稱圖形的形象、位置、關(guān)系等特征，形成相應(yīng)的幾何表象。在判斷長方形、平行四邊形、三角形等是否是軸對(duì)稱圖形時(shí)，假設(shè)以某一條線為對(duì)稱軸，在頭腦中展開想象，將圖形的一邊進(jìn)行“翻折”，想象“翻折”后其是否能夠“完全重合”。有了想象“翻折”活動(dòng)的參與，學(xué)生的判斷才顯得更可靠。當(dāng)然，對(duì)于學(xué)生想象“翻折”后仍無法確定是否“完全重合”的圖形，教師可引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)圖形進(jìn)行想象“翻折”獲得初步結(jié)論后再進(jìn)行操作驗(yàn)證，驗(yàn)證自己的判斷是否正確。而這一從糾結(jié)到確認(rèn)的認(rèn)知過程，有助于學(xué)生建立豐富的、精準(zhǔn)的平面圖形“翻折”的幾何表象，促進(jìn)學(xué)生相應(yīng)空間觀念的形成。

在教材的編排中，也滲透了一些需要想象“翻折”活動(dòng)參與的習(xí)題，如圖：下面的圖案分別是從哪張對(duì)折的紙上剪下來的？連一連。這樣的題型也可以引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中想象將上一行的圖形進(jìn)行“翻折”的過程，找到相對(duì)應(yīng)的對(duì)折的紙。當(dāng)然，對(duì)于極少數(shù)想象有困難的學(xué)生，教師還可以讓其在想象后再動(dòng)手剪一剪，驗(yàn)證想象是否正確，同時(shí)幫助他們逐步建立相應(yīng)的幾何表象，促進(jìn)學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形的空間形式和關(guān)系的深刻理解。

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（編輯：趙 悅）endprint