蘇華飛

（江門市培英高級中學(xué),廣東 江門 529000）

內(nèi)高班預(yù)科與高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)的研究
——對“一元二次函數(shù)”教學(xué)中的幾點(diǎn)思考

蘇華飛

（江門市培英高級中學(xué),廣東 江門 529000）

內(nèi)高班預(yù)科數(shù)學(xué)教學(xué)一直沒有統(tǒng)一。為更好地開展預(yù)科與高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)，總結(jié)2年預(yù)科班教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以一元二次函數(shù)教學(xué)為切入點(diǎn)，分析教學(xué)內(nèi)容在銜接課程中的作用，提出預(yù)科班數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的原則。

內(nèi)高班；預(yù)科；數(shù)學(xué)教學(xué)

一、問題的緣起

內(nèi)地新疆高中班（內(nèi)高班）辦班已有17年歷史，但內(nèi)高班預(yù)科的課程教學(xué)普遍處于混亂狀態(tài)，一方面沒有統(tǒng)一教材，課程內(nèi)容主要是承辦學(xué)?！懊魇健敝v授；另一方面，內(nèi)高班生源的素質(zhì)良莠不齊，兩極分化嚴(yán)重，給預(yù)科班教學(xué)帶來很大的挑戰(zhàn)?？偨Y(jié)2年預(yù)科班教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以一元二次函數(shù)為載體，例談如何更好地開展內(nèi)高班預(yù)科與高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)，以期為相關(guān)教學(xué)提供借鑒。

二、本部分內(nèi)容在銜接課程中的地位與作用

作為初中數(shù)學(xué)三大函數(shù)模型之一，一元二次函數(shù)有著廣泛的生活應(yīng)用，是初中函數(shù)模塊的核心內(nèi)容，更是高中數(shù)學(xué)課程的重要載體。人教版必修一以一元二次函數(shù)為主要載體，從數(shù)形結(jié)合的角度闡述函數(shù)的基本性質(zhì)，同時(shí)二次函數(shù)的載體應(yīng)用價(jià)值在“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”內(nèi)容中得到進(jìn)一步的突出，一元二次函數(shù)也是一元二次方程與一元二次不等式之間的橋梁，與代數(shù)、幾何等緊密相關(guān)。事實(shí)上，一元二次函數(shù)的載體應(yīng)用價(jià)值貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程，所以，本部分內(nèi)容作為預(yù)科班初中與高中銜接課程內(nèi)容，不僅要求學(xué)生熟練掌握一元二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，更重要的潛在課程目標(biāo)是培養(yǎng)新疆學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，為高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

三、本部分教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的原則

（一）基礎(chǔ)性

內(nèi)高班的學(xué)生多數(shù)來自新疆各地區(qū)偏遠(yuǎn)農(nóng)村，數(shù)學(xué)水平差距較大，部分學(xué)生不具備漢語審題能力。在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上首先要立足基礎(chǔ)，抓住基本概念，突出基本方法，滲透基本思想。

例1求滿足下列條件的一元二次函數(shù)的解析式：

（1）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)，且過點(diǎn)(4,3)；

（2）已知拋物線與x軸交于(1,0)，(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)(0,9)；

（3）已知拋物線過A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)3點(diǎn)；

（4）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足f(x+2)=f(-x+2),又f(0)=3,f(2)=1。

解析：（1）y=(x-2)2-1;（2）y=3(x-1)(x-3);

點(diǎn)評：（1）一元二次函數(shù)的解析式是初中數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，而靈活運(yùn)用二次函數(shù)的3種表示法是解題的關(guān)鍵；（2）待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的常用方法。

例2求函數(shù)y=-2x2-12x-10圖象的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最小值、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（增函數(shù)），當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而減?。p函數(shù)）？并畫出該函數(shù)的圖象。

解：y=-2(x2+6x)-10=-2(x+3)2+8拋物線的開口向下；對稱軸是直線x=-3;頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-3,8);

當(dāng)x=-3時(shí)，函數(shù)有最大值y=8;

當(dāng)x＜-3時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞-3時(shí)，y隨著x的增大而減小；

令-2(x+3)2+8=0,解得x=-5或x=-1;

令x=0,得y=-10;與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是B(-5,0)和C(-1,0),與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是D(0,-10)。

采用描點(diǎn)法作圖，取關(guān)鍵點(diǎn)A、B、C、D4點(diǎn)，以及點(diǎn)D(0,-10)關(guān)于對稱軸x=-3的對稱點(diǎn)E(-6,-10),通過這5點(diǎn)就可以畫出二次函數(shù)的簡圖（圖像略）。

點(diǎn)評：（1）配方后易得二次函數(shù)的性質(zhì)，配方法也是解一元二次方程的方法之一；（2）描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的核心在于選取關(guān)鍵點(diǎn)（頂點(diǎn)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，端點(diǎn)等）。

（二）新穎性

在題型的選擇上注重與其它知識(shí)的結(jié)合，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，這是新課程中考和高考命題的新特征：（1）題型新：在傳統(tǒng)題型上融入新元素，充分發(fā)揮其載體功能；（2）視角新：在知識(shí)的交匯處尋找考點(diǎn)，重視考查思維靈活性和接受新信息能力。

圖1 例3示意圖

A.8 B.6 C.10 D.4

解析：兩條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，1），（0，－1），觀察圖像易得，陰影部分的面積等于由4條直線x=-2、x=2、y=-1和y=1圍成的矩形的面積，S陰影=4×2=8故選A。

例4定義新運(yùn)算：a×b=a×(1-b),若(a,0),(b,0)是拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則b×b-a×a的值為( )。

A.0 B.1 C.2 D.與m有關(guān)

解析：由題意得a,b是方程的2個(gè)根，所以b×b-a×a=b(1-b)-a(1-a)=(b-a)-(b2-a2)=(b-a)[1-(b+a)] =0。

點(diǎn)評：（1）以二次函數(shù)為載體考查陰影部分面積的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生的觀察力；（2）信息題成為新中考、高考的亮點(diǎn)，考查學(xué)生接受新知識(shí)的能力，給人耳目一新的感覺。

（三）銜接性

預(yù)科班的復(fù)習(xí)既要鞏固舊知識(shí)，更重要的是為高中的數(shù)學(xué)教學(xué)打基礎(chǔ)。所以，在教學(xué)內(nèi)容上要考慮銜接性，融入高中數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)，滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想與方法技能。

圖2 例5示意圖

例5觀察函數(shù)y=x2+mx+n的圖象（示意圖見圖2），探究下列問題：

（1）m=_______，n=_______；

（2）函數(shù)的最小值是_______，最大值_______；

（3）當(dāng)4≤x≤6時(shí)，函數(shù)的最小值是_______，最大值是_______；

當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)的最小值是_______，最大值是_______；

當(dāng)0≤x≤5時(shí)，函數(shù)的最小值是_______，最大值是_______。

（4）當(dāng)t≤x≤t+1時(shí)，討論函數(shù)的最小值情況：

①當(dāng)對稱軸在所給范圍左側(cè)時(shí)，t_______，y最小= ____________；

②當(dāng)對稱軸在所給范圍之間時(shí)，t_______，y最小= ____________；

③當(dāng)對稱軸在所給范圍右側(cè)時(shí)，t_______，y最小= ____________。

總結(jié)歸納求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在某一范圍內(nèi)的極值的步驟：

第一步。先通過配方，求出函數(shù)圖象的對稱軸；

第二步。畫簡圖，根據(jù)自變量范圍，找相應(yīng)部分的圖像（含字母的一般分3種情況討論）。

（5）當(dāng)x=____________時(shí)，y=0,即方程x2+mx+n=0的根是____________；

當(dāng)x＞___或x＜___時(shí)，y＞0,即不等式x2+mx+n＞0的由韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）得解集是__________；

當(dāng)___＜x＜___時(shí)，y＜0,即不等式x2+mx+n＜0的解集是____________。

注：由拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可以確定對應(yīng)的二次方程的解和一元二次不等式的解集。

（6）展示二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種圖像，探究二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0(a≠0)的解集。

總結(jié)歸納：求二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0的解集的步驟：

第一步。計(jì)算判別式△=b2-4ac,若△≥0,求出相應(yīng)方程的根；

第二步。畫二次函數(shù)簡圖，借助圖像得出二次不等式的解集。

例6已知方程x2+(2m-1)x+4-2m=0,求滿足下列條件的m的取值范圍。

（1）2個(gè)正根；

（2）1個(gè)根大于2，1個(gè)根小于2；

（3）1個(gè)根在（-2，0）內(nèi)，另1個(gè)根在（0，3）內(nèi)。

解析：

解法一：利用韋達(dá)定理（略）。

解法二：借助二次函數(shù)圖象，設(shè)f(x)=x2+(2m-1)x+4-2m

點(diǎn)評：（1）數(shù)形結(jié)合是處理函數(shù)問題的重要思想方法，是求二次函數(shù)的最值問題、二次不等式的解集問題的共性通法；（2）把方程的根的分布轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，這正是必修一“函數(shù)與方程”要突出的數(shù)學(xué)思想方法。

（四）綜合性

二次函數(shù)集觀察分析、作圖計(jì)算、推理論證于一體，蘊(yùn)含著形數(shù)結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)換化歸等豐富的數(shù)學(xué)思想，它與代數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識(shí)有著千絲萬縷的聯(lián)系，教學(xué)中要考慮把相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地串聯(lián)起來，全面考查學(xué)生的應(yīng)用能力。

圖3 例7示意圖

（1）直接寫出A、B、C的坐標(biāo)；

（2）在拋物線對稱軸上確定一點(diǎn)Q,使△QBC的周長最小，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）求△PCD面積的最大值。

解析：

（1）A(4,0)、B(-2,0)、C(0,-4);

（2）設(shè)拋物線的對稱軸交AC于點(diǎn)Q,則Q點(diǎn)即為所求。

因?qū)ΨQ軸為x=1,直線AC的解析式為y=x-4,所以所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,-3)。

（3）設(shè)P(x,0)(-2＜x＜4),

因?yàn)镻D∥AC,所以解得

邊PD上的高等于P到AC的距離d=PA×sin45°=

△PCD的面積所以△PCD面積的最大值是3。

點(diǎn)評：（1）面積（距離）的變化問題歸根到底是函數(shù)的極值問題，關(guān)鍵是確定面積（距離）函數(shù)；（2）重視數(shù)形結(jié)合，充分挖掘圖形中隱含的條件。

[1] 蘇華飛.一道課后習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)[J].中學(xué)教學(xué)參考，2009（02）：14-15.

[2] 黃之.正確解讀教材文本，準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2016（04）：13-16.

[3] 黃飛躍，李昌貴.在空間品“角”論“距”[J].廣東教育：高中版，2008（06）：17-19.

（責(zé)任編輯：張寶杰）

蘇華飛，男，廣東省江門市培英高級中學(xué)，數(shù)學(xué)中學(xué)一級教師。