郭建英， 白艷艷

(1. 太原理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，太原 030024； 2. 太原理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)層合金屬厚壁短管振動(dòng)模態(tài)的影響

郭建英1， 白艷艷2

(1. 太原理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，太原 030024； 2. 太原理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

對(duì)層合金屬厚壁短管進(jìn)行振動(dòng)分析必須考慮非勻質(zhì)、剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量效應(yīng)?；赥imoshenko理論，推導(dǎo)了兩端簡(jiǎn)支、兩端固支、兩端自由和懸臂四種邊界條件下，層合金屬厚壁短管彎曲振動(dòng)的頻率函數(shù)與模態(tài)振型函數(shù)的表達(dá)式。采用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)MAPLE對(duì)四種邊界條件下銅鋼層合厚壁短管的固有頻率進(jìn)行求解，并繪制振型曲線。采用錘擊實(shí)驗(yàn)法并結(jié)合有限元模態(tài)分析法，測(cè)得了銅鋼層合厚壁短管在兩端自由條件下彎曲振動(dòng)的固有頻率。理論解與實(shí)測(cè)值相比的最大誤差為-4.56%，理論解與有限元解相比的最大誤差為-0.76%。求解了剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)銅鋼層合厚壁短管固有頻率的影響系數(shù)，并分析了該頻率影響系數(shù)與管子的振型曲線隨邊界條件、階序、層合管長(zhǎng)徑比、以及壁厚比等參數(shù)的變化規(guī)律。

層合金屬厚壁短管；剪切變形；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；頻率影響系數(shù)；模態(tài)振型

工業(yè)技術(shù)的發(fā)展對(duì)流體輸送與傳熱管件的高強(qiáng)度、抗腐蝕、耐磨損等綜合性能的要求逐漸提高，層合金屬管代替單一金屬管已成為發(fā)展趨勢(shì)和研究熱點(diǎn)[1-4]，并在石油、化工及核工業(yè)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[5-6]。管件在流體環(huán)境中極易發(fā)生流體誘導(dǎo)振動(dòng)破壞，準(zhǔn)確分析層合金屬管的彎曲振動(dòng)特性，使其固有頻率遠(yuǎn)離流體的漩渦脫落頻率或紊流抖振頻率，對(duì)預(yù)防和控制該結(jié)構(gòu)的振動(dòng)破壞有重要意義[7-9]。

層合金屬管屬于層合圓柱殼結(jié)構(gòu)，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)該結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究，如李驍?shù)萚10]建立了軸向運(yùn)動(dòng)層合圓柱殼體的橫向振動(dòng)方程，分析了軸向速度、長(zhǎng)徑比和厚徑比等對(duì)殼體振動(dòng)特性的影響。張宇飛等[11]對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)層合薄壁圓柱殼內(nèi)共振特性進(jìn)行了數(shù)值分析。Winfield等[12]采用梁模型對(duì)層合厚壁長(zhǎng)錐形管的自由振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。

由于圓柱殼沿軸向分布的彎曲振型接近于相應(yīng)邊界條件下的梁振型函數(shù)[13]，因此分析細(xì)長(zhǎng)薄壁層合金屬管的彎曲振動(dòng)特性時(shí)，可以采用經(jīng)典Euler-Bernoulli梁振動(dòng)理論進(jìn)行求解，并用截面組合剛度和等效質(zhì)量加以反應(yīng)其在厚度方向的非勻質(zhì)特性[14]。但對(duì)于外徑與壁厚之比小于20，長(zhǎng)度與直徑之比小于等于10的層合金屬厚壁短管，不但要考慮其非勻質(zhì)特性、還應(yīng)考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，即采用Timoshenko深梁振動(dòng)理論對(duì)其彎曲振動(dòng)特性進(jìn)行分析。Timoshenko梁振動(dòng)微分方程的特征值問題比較復(fù)雜，很難獲得振動(dòng)頻率的顯式解析表達(dá)式，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者提出了多樣性指導(dǎo)演化算法、模態(tài)攝動(dòng)法、歸一化波數(shù)法等[15-19]許多種解決方法，但這些方法如用于管子的工程振動(dòng)設(shè)計(jì)則稍顯復(fù)雜。

本文擬推導(dǎo)出常用四種邊界條件下，Timoshenko梁振動(dòng)頻率函數(shù)和振型函數(shù)的顯式表達(dá)式，利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)求解固有頻率并繪制振型曲線。確定剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)層合金屬厚壁短管的頻率影響系數(shù)，分析該頻率影響系數(shù)及管子振型曲線隨階序、長(zhǎng)徑比、及管子非勻質(zhì)參數(shù)的變化規(guī)律，為層合金屬厚壁短管的工程振動(dòng)設(shè)計(jì)提供參考。

1 Timoshenko梁彎曲振動(dòng)頻率函數(shù)和振型函數(shù)

(1)

則考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響的Timoshenko梁振動(dòng)微分方程的特征值問題為[20]

kGA[Φ′(x)-Y″(x)]-ω2ρAY(x)=0

(2)

kGA[Φ(x)-Y′(x)]-EIΦ″(x)-ω2JΦ(x)=0

(3)

其中，Y(x)和Φ(x)應(yīng)滿足的邊界條件為

簡(jiǎn)支端x=0或x=l，Y(x)=0，EIΦ′(x)=0

(4)

自由端x=0或x=l，EIΦ′(x)=0，kGA[Φ(x)-Y′(x)]=0

(5)

固支端x=0或x=l，Y(x)=0，Φ(x)=0

(6)

對(duì)等截面梁，由式(2)、(3)可得

(7)

式中，Y″(x)系數(shù)中的兩項(xiàng)分別反映了剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，而最后一項(xiàng)則反映了剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的耦合作用。

令梁振動(dòng)的主模態(tài)函數(shù)為Y(x)=Cjerx，將其代入式(7)得

(8)

解該方程可得

(i=1, 2, 3, 4)

(9)

這樣，梁振動(dòng)的主模態(tài)函數(shù)為

ω<ωc時(shí)，Y(x)=C1sin(αx)+C2cos(αx)+

C3sinh(βx)+C4cosh(βx)

(10)

(11)

本文要確定截面剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響特性，獲得層合金屬厚壁短管固有頻率的簡(jiǎn)捷計(jì)算公式。因此參考文獻(xiàn)[16]的方法，將式(11)中Timoshenko梁的固有圓頻率ωi表示為

ωi=λiωio，(i=1, 2, 3, …)

(12)

式中：λi為截面剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響系數(shù)，ωio為Euler-Bernoulli梁的固有圓頻率。

下面推導(dǎo)四種邊界條件下，Timoshenko梁振動(dòng)頻率函數(shù)和振型函數(shù)的解析表達(dá)式。

1.1兩端簡(jiǎn)支

將主模態(tài)函數(shù)式(10)代入兩端簡(jiǎn)支邊界條件式(4)，可得Timoshenko梁的頻率方程為

(13)

因此有

(14)

(15)

令方程(15)中的系數(shù)為

(16)

又已知0≤λi≤1，這樣方程(15)的解可表示為

(17)

這樣，可得兩端簡(jiǎn)支Timoshenko梁固有頻率的顯式計(jì)算公式為

(18)

式中：λi為頻率影響系數(shù)；Λ和Δi為計(jì)算系數(shù)，i為頻率階序。

兩端簡(jiǎn)支時(shí)，可推導(dǎo)出Timoshenko梁彎曲振動(dòng)的振型函數(shù)為

Y(x)=sin(iπx)，0≤x≤l

(19)

1.2兩端自由

由式(5)并結(jié)合式(2)和式(3)可得兩端自由Timoshenko梁的邊界條件為

(20)

令式(20)中的計(jì)算參數(shù)為B1，B2，B3，其中

(21)

將式(21)代入式(11)和(20)，并將主模態(tài)函數(shù)式(10)代入式(20)，可推導(dǎo)出兩端自由時(shí)Timoshenko梁的頻率函數(shù)為

cos(αl)cosh(βl)-1

(22)

其中計(jì)算參數(shù)C，D分別為

(23)

另外，由前面條件推導(dǎo)出兩端自由時(shí)Timoshenko梁的振型函數(shù)為

ξisinh(βx)+cosh(βx)

(24)

(25)

由于兩端固支、一端固支一端自由邊界條件時(shí)的推導(dǎo)過程與兩端自由類似，因此本文將這兩種邊界條件下Timoshenko梁的頻率函數(shù)與振型函數(shù)的結(jié)果列于表1中。

2 層合金屬厚壁短管非勻質(zhì)特性

層合金屬管是由兩種不同金屬材料管沿壁厚疊合而成。圖1所示為銅鋼層合管，其結(jié)構(gòu)材料參數(shù)見表2。

按照郭建英等對(duì)層合金屬管沿厚度方向的非勻質(zhì)特性，可用截面組合剛度、等效組合質(zhì)量、和等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加以反應(yīng)。這樣，單位長(zhǎng)度層合金屬厚壁短管的等效質(zhì)量為

m=ρ1A1+ρ2A2

(26)

結(jié)構(gòu)的截面組合彎曲剛度EI與截面組合剪切剛度kGA分別為

EI=E1I1+E2I2

(27)

kGA=k1G1A1+k2G2A2

(28)

式中，A1，A2，I1，I2分別為內(nèi)層銅管和外層鋼管的截面積，及其截面對(duì)中性軸的慣性矩。k1、k2分別為內(nèi)層銅管和外層鋼管的截面剪切修正系數(shù)，采用Cowper法[22]來確定

(29)

式中：ν1、ν2分別為內(nèi)、外層管材料的泊松比；m1=D1/D2，m2=D2/D3分別為內(nèi)、外層管的內(nèi)外徑之比。

(30)

圖1 銅鋼層合管

結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)值D1/mm42D2/mm44D3/mm50密度ρ1/(kg·m-3)8930楊氏彈性模量E1/GPa110剪切彈性模量G1/GPa40．7密度ρ2/(kg·m-3)7850楊氏彈性模量E2/GPa206剪切彈性模量G2/GPa79．2長(zhǎng)度l/mm500，300，200

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試與模態(tài)分析

為了驗(yàn)證前面理論分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，本文用北京東方振動(dòng)和噪聲技術(shù)研究所的INV3018A和DASP-V10振動(dòng)信號(hào)采集分析系統(tǒng)，對(duì)銅鋼層合厚壁管(結(jié)構(gòu)材料參數(shù)見表2)的固有頻率進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試。實(shí)驗(yàn)中，用兩條高彈性皮筋懸掛管子以實(shí)現(xiàn)兩端自由支撐。為了更準(zhǔn)確的獲得各階頻率的測(cè)試值，沿管子軸線方向，在距離管子兩端各1/4處分別安裝兩個(gè)加速度傳感器，將兩個(gè)傳感器的實(shí)測(cè)頻譜圖對(duì)比之后獲得最終的實(shí)測(cè)結(jié)果。另外，沿管子軸線方向等間距設(shè)置10個(gè)測(cè)點(diǎn)，采用力錘對(duì)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行逐點(diǎn)敲擊。

圖2(a)～圖2(c)分別顯示了兩端自由狀態(tài)下，不同長(zhǎng)度銅鋼層合管固有頻率的實(shí)測(cè)自譜-FFT幅值譜圖。

由圓柱殼振動(dòng)理論可知，直徑較大的管子在受到徑向沖擊力時(shí)，會(huì)產(chǎn)生橫向彎曲振動(dòng)，也會(huì)產(chǎn)生周向振動(dòng)。因此，實(shí)驗(yàn)測(cè)到的管子振動(dòng)特性應(yīng)包括管子的橫向彎曲振動(dòng)和周向振動(dòng)兩種模態(tài)。由于管子在流體環(huán)境中主要發(fā)生的是橫向彎曲共振破壞，因此本文分析的是層合金屬厚壁短管的橫向彎曲振動(dòng)頻率，這需要結(jié)合模態(tài)分析來識(shí)別圖2中管子的橫向彎曲振動(dòng)頻率的數(shù)值。

本文用有限元軟件ANSYS對(duì)實(shí)測(cè)用的銅鋼層合管進(jìn)行了模態(tài)分析。圖3顯示了長(zhǎng)度為500 mm的管子在兩端自由時(shí)的前8階固有頻率和模態(tài)。

(a) l=500 mm

(b) l=300 mm

(c) l=200 mm

(a) f=1 059.2 Hz

(b) f=2 667.0 Hz

(c) f=4 331.0 Hz

(d) f=4 506.4 Hz

(e) f=4 694.3 Hz

(f) f=4 878.3 Hz

(g) f=5 506.4 Hz

(h) f=6 394.7 Hz

比較圖2(a)與圖3(a)～圖3(h)可以發(fā)現(xiàn)，圖2(a)中實(shí)測(cè)的第1、2峰值對(duì)應(yīng)的頻率1 072.1 Hz和2 673.1 Hz應(yīng)為層合管的1、2階橫向彎曲振動(dòng)固有頻率，模態(tài)振型如圖3(a)和圖3(b)所示；由于傳感器正好位于圖3(c)所示的1階周向模態(tài)振型的節(jié)點(diǎn)處，因此該特征值并未被檢測(cè)到；圖2(a)中實(shí)測(cè)第3峰值對(duì)應(yīng)頻率4 510.8 Hz為層合管的2階周向振動(dòng)模態(tài)特征值，模態(tài)振型如圖3(d)所示；實(shí)測(cè)的第4峰對(duì)應(yīng)頻率值4 653.85 Hz為層合管的3階彎曲振動(dòng)頻率，模態(tài)振型如圖3e所示；之后實(shí)測(cè)的第5、6、7峰值的頻率值4 830.5 Hz、5 342.6 Hz、6 655.1 Hz分別對(duì)應(yīng)圖3(f)～圖3(h)中管子的3，4，5階周向振動(dòng)模態(tài)特征值。采用同樣方法可以識(shí)別圖2(b)和圖2(c)中長(zhǎng)度分別為300 mm和200 mm的層合管的橫向彎曲振動(dòng)頻率。

4 結(jié)果與討論

4.1理論解、有限元解與實(shí)測(cè)值的比較

已知ωi=2πfi，fi為結(jié)構(gòu)固有頻率，Hz。將該式代入頻率函數(shù)式(22)和(23)，利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple編程繪制該頻率函數(shù)曲線，其與橫坐標(biāo)軸的各交點(diǎn)即為兩端自由條件下層合管橫向彎曲振動(dòng)的固有頻率值。圖4顯示了長(zhǎng)度為500 mm的銅鋼層合管的頻率函數(shù)曲線及前三階固有頻率的數(shù)值。

表3列出了在兩端自由條件下，長(zhǎng)度分別為500 mm、300 mm和200 mm的銅鋼層合管前3階彎曲振動(dòng)固有頻率的理論解、有限元解和實(shí)測(cè)值及誤差。在表3中，誤差1為理論解與實(shí)測(cè)值相比的誤差，其最大值為-4.56%；誤差2為理論解與有限元解相比的誤差，其最大值僅為-0.76%。該結(jié)果表明上述理論方法可以對(duì)層合金屬厚壁短管的彎曲振動(dòng)固有頻率和振型進(jìn)行準(zhǔn)確求解。誤差分析發(fā)現(xiàn)，誤差1主要來源于實(shí)測(cè)管件的加工不均勻。例如，長(zhǎng)為300 mm的復(fù)合管，其實(shí)測(cè)重量為1.432 kg，而按照其結(jié)構(gòu)參數(shù)計(jì)算得重量為1.405 kg，誤差為-1.92%；這種加工不均勻同時(shí)也會(huì)影響結(jié)構(gòu)的剛度，最終使結(jié)構(gòu)固有頻率的理論解與實(shí)測(cè)值存在偏差。

圖4 兩端自由時(shí)銅鋼層合管頻率函數(shù)曲線(l=500 mm)

長(zhǎng)度l/mm頻率/Hz實(shí)測(cè)值/Hz理論解/Hz有限元解/Hz誤差1/%誤差2/%500300200f11072．11057．21059．2-1．39-0．19f22673．12652．82667．0-0．76-0．53f34655．14658．74694．30．080．76f12831．32710．92721．3-4．25-0．38f26450．56156．46199．7-4．56-0．70f3103509996．510022．2-3．42-0．26f15537．55416．25439．9-2．19-0．44f2112121095810962．9-2．27-0．05

4.2頻率影響系數(shù)λi及其變化特性

由式(12)可知，將基于Timoshenko理論求解得層合管的固有頻率值與基于Euler-Bernoulli梁理論求解的固有頻率值相比，可獲得剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)管子固有頻率的影響系數(shù)λi。另由式(18)可知，頻率影響系數(shù)λi與階序i、層合管長(zhǎng)徑比l/Rg、及其非勻質(zhì)參數(shù)E/kG有直接關(guān)系，因此下面分析該頻率影響系數(shù)λi隨這些因素的變化特性。

4.2.1λi隨長(zhǎng)徑比l/Rg、階序i、及邊界條件的變化

圖5顯示了四種邊界條件下，剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)銅鋼層合管固有頻率的影響系數(shù)λi隨長(zhǎng)徑比和階序的變化規(guī)律。由圖5可知，剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)降低管子的固有頻率，這是由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)增加管子的慣性，而剪切變形會(huì)降低管子的剛度。另外，四種邊界條件下，頻率影響系數(shù)λi的數(shù)值均隨長(zhǎng)徑比l/Rg的增大而增大，隨階序i的增大而減?。贿@表明結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)徑比越小，剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)其固有頻率的影響越大，而且對(duì)高階頻率的影響尤為顯著。該結(jié)果與振動(dòng)力學(xué)研究結(jié)論相符。

從圖5還可看出，邊界條件對(duì)λi有較大影響。例如，對(duì)工程振動(dòng)設(shè)計(jì)中重點(diǎn)關(guān)注的1階頻率影響系數(shù)λ1而言：當(dāng)結(jié)構(gòu)長(zhǎng)徑比l/Rg由6.125增到61.25時(shí)，兩端固支時(shí)λ1由0.232 3增大到0.967 5，見圖5(a)；兩端自由時(shí)λ1由0.548 8增大到0.985 8，見圖5(b)；兩端簡(jiǎn)支時(shí)λ1由0.641 5增大到0.992 2，見圖5(c)；一端固支一端自由的頻率影響系數(shù)λ1由0.741 0增大到0.998 8，見圖5(d)。該結(jié)果表明，剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)層合管彎曲振動(dòng)固有頻率的影響，在兩端固支時(shí)最大，兩端自由、兩端簡(jiǎn)支次之，一端固支一端自由時(shí)的影響最小。這是由于邊界支撐條件對(duì)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)剛度有較大影響，系統(tǒng)剛度的改變引起模態(tài)特征值的變化。

4.2.2λi隨層合管結(jié)構(gòu)與材料組合的變化

層合金屬管的結(jié)構(gòu)變化是指其內(nèi)、外層管的不同壁厚組合，材料變化是指其內(nèi)、外層管的不同材料組合。圖6(a)和圖6(b)分別顯示了兩端簡(jiǎn)支條件下，銅鋼層合管和鋁鋼層合管的剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)其彎曲振動(dòng)固有頻率的影響系數(shù)λi，隨其壁厚比n和階序i的變化特性。層合管的壁厚比n是指內(nèi)層管壁厚與總管壁厚之比。

由圖6(a)可以看出，對(duì)于銅鋼層合管，當(dāng)其壁厚比n由0.0(這時(shí)為純鋼管)增大到1.0(這時(shí)為純銅管)時(shí)，其前8階頻率影響系數(shù)λi(i=1～8)的均有微弱減小，但最大減小幅度僅為1.37%。由圖6(b)可以看出，對(duì)于鋁鋼層合管，當(dāng)其壁厚比n由0.0(這時(shí)為純鋼管)增大到1.0(這時(shí)為純鋁管)時(shí)，其1階頻率影響系數(shù)λ1由0.970增大到0.980，增幅1.03%；而第8階頻率影響系數(shù)λ8則由0.475增大到0.545，增幅14.73%。

對(duì)上述結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)，剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)復(fù)合管的頻率影響系數(shù)λi隨其結(jié)構(gòu)與材料組合的變化特性，是由管子的非勻質(zhì)無量綱參數(shù)E/kG引起的，該參數(shù)可表明層合管系統(tǒng)剛度的大小。如果層合管的系統(tǒng)剛度隨其壁厚比n的變化幅值較小，則其各階頻率影響系數(shù)λi的變化幅度均會(huì)較??；反之，如果層合管的系統(tǒng)剛度隨其壁厚比n的變化幅值較大，則其頻率影響系數(shù)λi的變化幅度也會(huì)增大，尤其是高階頻率影響系數(shù)會(huì)隨壁厚比n增大而明顯變化。

(a) 兩端固支

(b) 兩端自由

(c) 兩端簡(jiǎn)支

(d) 一端固支一端簡(jiǎn)支

(a) 銅鋼層合管

(b) 鋁鋼層合管

上述結(jié)論可以由圖7得到進(jìn)一步驗(yàn)證。圖7顯示了銅鋼層合管與鋁鋼層合管的參數(shù)E/kG隨其壁厚比

圖7 E/kG～n

4.3振型曲線的變化特性

由前面理論推導(dǎo)可知，兩端簡(jiǎn)支時(shí)，Euler-Bernoulli與Timoshenko梁理論的振型函數(shù)相同，且不受層合管的非勻質(zhì)無量綱參數(shù)E/kG的影響。而其他三種邊界條件時(shí)，二者的振型函數(shù)不相同，且可能會(huì)受參數(shù)E/kG的影響，即振型曲線可能會(huì)隨層合管壁厚比n的變化而變化。為此，本文用MAPLE編程繪制了不同壁厚比(n=0.25，n=0.5，n=0.75)時(shí)，分別基于Euler-Bernoulli與Timoshenko理論的銅鋼層合管(長(zhǎng)度為500 mm，總壁厚為4 mm)的前4階振型曲線，見圖8～圖10。

(a) 1階

(b) 2階

(c) 3階

(d) 4階

由圖8可知，兩端自由時(shí)，基于Euler-Bernoulli理論與Timoshenko理論所解得的振型曲線波形相同，節(jié)點(diǎn)位置也相同；而且對(duì)層合金屬管而言，其前4階振型曲線不隨壁厚比n的變化而變化。由圖9可知，兩端固支時(shí)，上述兩種理論所解得的振型曲線波形也相同，但隨階數(shù)的增加其節(jié)點(diǎn)位置不再相同；對(duì)銅鋼層合管而言，其三階之后的振型曲線幅值隨壁厚比n的增大而增大，這是由于管子的剛度變大隨n的增大而變大。由圖10可知，一端固支一端自由時(shí)，由這兩種理論所解得的振型曲線的節(jié)點(diǎn)位置也不同，而且振動(dòng)幅值也會(huì)隨層合金屬管壁厚比n的不同而變化。

總之，在兩端自由和兩端簡(jiǎn)支邊界條件下，截面剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)層合管的振型曲線沒有影響，但在兩端固支和一端固支一端自由邊界條件下，其對(duì)層合管振型曲線的影響則比較顯著。

5 結(jié) 論

(1) 剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)降低層合金屬管的固有頻率，因此其對(duì)管子的各階頻率影響系數(shù)0.0≤λi≤1.0。而且，階序越高，層合管長(zhǎng)徑比l/Rg越小，λi值越小。另外，當(dāng)層合管長(zhǎng)徑比l/Rg減小時(shí)，一端固支一端自由時(shí)的1階頻率影響系數(shù)λ1的減小幅度最小，兩端簡(jiǎn)支和兩端自由時(shí)次之，而兩端固支時(shí)的減小幅度最大。

(a) 1階

(b) 2階

(c) 3階

(d) 4階

(a) 1階

(b) 2階

(c) 3階

(d) 4階

(2) 層合金屬管的剛度參數(shù)E/kG會(huì)對(duì)其頻率影響系數(shù)λi產(chǎn)生影響，但影響程度不同。例如，隨著壁厚比n增大，銅鋼層合管的頻率影響系數(shù)λi變化幅度非常小，而鋁鋼層合管的頻率影響系數(shù)λi變化幅度卻較大。

(3) 在兩端自由和兩端簡(jiǎn)支邊界條件下，剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)層合金屬管的振型曲線沒有影響；但在兩端固支和一端固支一端自由邊界條件下，其影響則比較顯著，使管子振型曲線的節(jié)點(diǎn)位置發(fā)生變化。

[1] KNEZEVIC M, JAHEDI M, KORKOLIS Y P, et al. Material-based design of the extrusion of bimetallic tubes[J]. Computational Materials Science, 2014, 95: 63-73.

[2] MROZ S, STRADOMSKI G, DYJA H, et al. Using the explosive cladding method for production of Mg-Al bimetallic bars[J]. Archives of Civil and Mechanical Engineering, 2015, 15(2): 317-323.

[3] LAPOVOK R, NG H P, TOMUS D, et al. Bimetallic copper-aluminium tube by severe plastic deformation[J]. Scripta Materialia, 2012, 66(12): 1081-1084.

[4] CHITKARA N R, ALEEM A. Extrusion of axi-symmetric bi-metallic tubes: some experiments using hollow billets and the application of a generalised slab method of analysis[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2001, 43(12): 2857-2882.

[5] 程可,徐文斌,陸曉峰. 20/316L雙金屬復(fù)合管旋壓成形數(shù)值模擬與分析[J]. 塑性工程學(xué)報(bào), 2015, 22(1): 119-125.

CHENG Ke, XU Wenbin, LU Xiaofeng. Numerical simulation and analysis on spinning of 20/316L bimetallic clad pipe[J]. Journal of Plasticity Engineering, 2015, 22(1): 119-125.

[6] KHANNA S, SHARMA V, SINGH S, et al. Explicit expression for temperature distribution of receiver of parabolic trough concentrator considering bimetallic absorber tube[J]. Applied Thermal Engineering, 2016, 103: 323-332.

[7] BOUZIDI S E, HASSAN M, RIZNIC J. A comprehensive flow-induced vibration model to predict crack growth and leakage potential in steam generator tubes[J]. Nuclear Engineering and Design, 2015, 292: 17-31.

[8] 楊超,范士娟. 管材參數(shù)對(duì)輸液管流固耦合振動(dòng)的影響[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2011, 30(7): 210-213.

YANG Chao, FAN Shijuan. Influence of pipe parameters on fluid-structure coupled vibration of a fluid-conveying pipe[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(7): 210-213.

[9] 羅忠,朱云鵬,韓清凱,等. 復(fù)合材料層合薄壁短圓柱殼動(dòng)力學(xué)相似模型幾何適用區(qū)間確定方法[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2015, 51(17): 43-51.

LUO Zhong, ZHU Yunpeng, HAN Qingkai, et al. Structure size interval of similar test model of the laminated composite thin-wall short cylinder shell[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2015, 51(17): 43-51.

[10] 李驍,李映輝,趙華. 軸向運(yùn)動(dòng)層合圓柱殼體的振動(dòng)特性[J]. 力學(xué)季刊, 2016, 37(2): 266-273.

LI Xiao, LI Yinghui, ZHAO Hua. Vibration characteristics of axially moving laminated cylindrical shells[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2016, 37(2): 266-273.

[11] 張宇飛,王延慶,聞邦椿. 軸向運(yùn)動(dòng)層合薄壁圓柱殼內(nèi)共振的數(shù)值分析[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2015, 34(22): 82-86.

ZHANG Yufei，WANG Yanqing，WEN Bangchun. Internal resonance of axially moving laminated thin cylindrical shells[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(22): 82-86.

[12] WINFIELD D C, LU C H, MAO R. Beam-type modeling for the free vibration of a long thick laminated conical tube[J]. Composites Part B: Engineering, 1997, 28(5/6): 555-563.

[13] 曹志遠(yuǎn). 板殼振動(dòng)理論[M]. 北京: 中國(guó)鐵道出版社, 1989.

[14] 郭建英,馬騰飛,劉生寶,等. 雙金屬復(fù)合管的靜動(dòng)態(tài)力學(xué)特性[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 33(1): 168-174.

GUO Jianying, MA Tengfei, LIU Shengbao, et al. Static and dynamic mechanical characteristics of bimetallic tubes[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2016, 33(1): 168-174.

[15] EFTEKHARI M, MAHZOON M, ZIAIE RAD S. An evolutionary search technique to determine natural frequencies and mode shapes of composite Timoshenko beams[J]. Mechanics Research Communications, 2011, 38(3): 220-225.

[16] 樓夢(mèng)麟,石樹中. Timoshenko固端梁特征值問題近似計(jì)算方法[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào), 2003, 20(1): 140-143.

LOU Menglin, SHI Shuzhong. An approach for solving the eigenvalue problem of Timoshenko clamped beam[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2003, 20(1): 140-143.

[17] HAN S M, BENAROYA H, WEI T. Dynamics of transversely vibrating beams using four engineering theories[J]. Journal of Sound and Vibration, 1999, 225(5): 935-988.

[18] XU Suming, WANG Xinwei. Free vibration analyses of Timoshenko beams with free edges by using the discrete singular convolution[J]. Advances in Engineering Software, 2011, 42(10): 797-806.

[19] 金晶,邢譽(yù)峰. 鐵木辛柯梁振動(dòng)固有頻率的邊界元解法[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 38(7): 976-980.

JIN Jing, XING Yufeng. Boundary element solution method of free vibration of Timoshenko beam[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2012, 38(7): 976-980.

[20] 倪振華. 振動(dòng)力學(xué)[M]. 西安: 西安交通大學(xué)出版社, 1989.

[21] 郭建英,馬騰飛,劉生寶,等. 雙金屬復(fù)合翅片管振動(dòng)特性的研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2016, 35(5): 201-206.

GUO Jianying, MA Tengfei, LIU Shengbao, et al. Vibration characteristics of bimetallic finned tube[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(5): 201-206.

[22] COWPER G R. The shear coefficient in Timoshenko’s beam theory[J]. Journal of Applied Mechanics,1966, 33(3): 393-398．

Effectsofsheardeformationandrotaryinertiaonthevibrationoflaminatedthick-walledshorttubes

GUOJianying1,BAIYanyan2

(1. College of Mining Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China; 2. College of Mechanical Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

The effects of non-homogeneit, shear deformation and rotary inertia are necessary to be taken into account in the vibration analysis of laminated metal thick-walled short tubes. Based on the Timoshenko’s beam theory, the analytical expressions of the frequencies and modal functions of laminated metal tubes were deduced under four kinds of boundary conditions: hinged-hinged, clamped-clamped, free-free and clamped-free. The natural frequencies of copper-steel laminated tubes were solved and the mode shapes were mapped by use of the computer algebra system MAPLE for these four cases. The natural frequencies of three copper-steel laminated tubes with different lengths were also measured by using both the method of hammer tests and the finite element modal analysis. The theoretical solutions of the first three natural frequencies of the copper-steel tubes were compared with the measured values, the maximum error being -4.56%, and also compared with the finite element results, the maximum error being -0.76%. The influential coefficients of shear deformation and rotary inertia on the frequencies of laminated metal thick-walled short tubes were solved. The variations of the frequency influential coefficients and modal shapes along with the boundary condition, frequency order, aspect ratio, non-homogeneous material parameter of laminated metal tubes were also investigated.

laminated metal thick-walled short tubes; shear deformation; rotary inertia; frequency influential coefficient; mode shape

TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.017

山西省自然科學(xué)基金(2013011025-2)；山西省研究生教育改革研究課題(2016JG40)

2016-05-23 修改稿收到日期：2016-09-06

郭建英 女，博士，副教授，1972年11月生