謝偉平， 馮金鵬， 何 衛(wèi)

(1.武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070; 2.武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430070)

基于自激勵(lì)人體模型的人-結(jié)構(gòu)豎向相互作用研究

謝偉平1， 馮金鵬1， 何 衛(wèi)2

(1.武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070; 2.武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430070)

基于自激勵(lì)人體模型，建立了考慮人-結(jié)構(gòu)豎向相互作用下行人過橋運(yùn)動(dòng)方程，提出了考慮步頻主諧和亞諧分量的單人步行力模型，并通過單人過橋試驗(yàn)對(duì)該模型進(jìn)行了驗(yàn)證；分析了人-橋豎向相互作用的變化規(guī)律及影響因素。結(jié)果表明，人體步頻亞諧可能與結(jié)構(gòu)的基頻相近，從而引起較大的結(jié)構(gòu)響應(yīng)；結(jié)構(gòu)固有頻率和人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比對(duì)人-結(jié)構(gòu)相互作用影響較大，當(dāng)結(jié)構(gòu)頻率與步頻及其主諧波分量頻率接近時(shí)，耦合效應(yīng)最顯著，其對(duì)人體足底力影響最大。隨著人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比的增加，人-結(jié)構(gòu)相互作用逐漸增強(qiáng)。

人致振動(dòng)；豎向人體動(dòng)力學(xué)模型；人-結(jié)構(gòu)相互作用；足底力

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展及高性能建筑材料的出現(xiàn)，造型獨(dú)特、結(jié)構(gòu)新穎的大跨度公用建筑大量涌現(xiàn)，如大跨人行天橋、大型車站、體育場(chǎng)館等。這些大跨度結(jié)構(gòu)大都具有自振頻率低，人群密度大等特點(diǎn)，所以其人致振動(dòng)響應(yīng)問題引起了工程界和學(xué)術(shù)界的極大關(guān)注。這類結(jié)構(gòu)的人致振動(dòng)問題并不是簡(jiǎn)單意義上的強(qiáng)迫振動(dòng)，而是由強(qiáng)迫振動(dòng)引發(fā)的、包含人-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的一種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)振動(dòng)形式。然而，由于缺乏對(duì)人-結(jié)構(gòu)相互作用效應(yīng)深層次的認(rèn)識(shí)，近年來學(xué)者們?cè)诜治龃祟惤Y(jié)構(gòu)的人致振動(dòng)響應(yīng)時(shí)多采用基于剛性測(cè)力平臺(tái)實(shí)測(cè)的足底反力提出的傅里葉級(jí)數(shù)模型[1-3]進(jìn)行求解，而該模型并未考慮人與結(jié)構(gòu)間的相互作用對(duì)人體行走時(shí)足底反力的影響[4]，從而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值相偏離。因此，研究人-結(jié)構(gòu)相互作用對(duì)分析結(jié)構(gòu)的人致振動(dòng)問題顯得尤為重要，這一問題的解決將有助于提高人致振動(dòng)計(jì)算理論的準(zhǔn)確性和可靠性。

有研究表明當(dāng)行人在剛度較小、基頻較低的結(jié)構(gòu)上行走時(shí)，產(chǎn)生的足底反力與在剛性測(cè)力平臺(tái)上產(chǎn)生的足底反力相比有所變化[5]。Ohlsson[6]測(cè)得大跨輕型樓板上的豎向步行力不同于在剛性地面；Pimentel[7]研究發(fā)現(xiàn)實(shí)際人行橋測(cè)得的人行荷載動(dòng)載因子不同于剛性地面的測(cè)試結(jié)果；Yao等[8]在研究人體跑步、跳躍荷載時(shí)發(fā)現(xiàn)在柔性結(jié)構(gòu)上測(cè)得的人行荷載小于在剛性地面的數(shù)據(jù)。在國(guó)內(nèi)，秦敬偉等[9]基于雙足模型對(duì)考慮人-橋豎向耦合作用下的過橋過程進(jìn)行了模擬，發(fā)現(xiàn)人體于柔性結(jié)構(gòu)上行走時(shí)，產(chǎn)生的足底反力小于剛性地面時(shí)的結(jié)果。謝偉平等[10]就人-結(jié)構(gòu)相互作用對(duì)人體行走時(shí)足底反力的影響做了初步的探索。綜上所述，目前學(xué)界對(duì)于人-結(jié)構(gòu)相互作用會(huì)影響人體行走時(shí)的足底反力這一結(jié)論已形成共識(shí)，但對(duì)于考慮耦合作用下足底反力的影響因素及變化規(guī)律的研究還有待開展。

本文采用單自由度人體模型，將人體簡(jiǎn)化為帶有生物自激勵(lì)的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，建立考慮人-結(jié)構(gòu)豎向耦合作用下行人過橋時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程，提出了考慮步頻主諧和亞諧分量的單人步行力模型，并通過在人行鋼橋上進(jìn)行試驗(yàn)實(shí)測(cè)，與模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，從而驗(yàn)證模型的合理性與有效性。同時(shí)還進(jìn)一步分析人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比和結(jié)構(gòu)固有頻率等因素對(duì)行人足底反力的影響，揭示人-橋相互作用的影響因素及變化規(guī)律。

1 人-結(jié)構(gòu)豎向相互作用模型

1.1運(yùn)動(dòng)方程的建立

假設(shè)結(jié)構(gòu)為等截面，即抗彎剛度EI為常數(shù)，線密度為mb，阻尼系數(shù)為c，梁上的外加激勵(lì)是由人體行走而引起的，如圖1所示。

圖1 人-結(jié)構(gòu)相互作用模型

行人激勵(lì)下，梁的運(yùn)動(dòng)方程表達(dá)式為[11]

(1)

式中：w為梁的撓度;Fp(x,t)為人對(duì)梁的作用力，表達(dá)式為

Fp(x,t)=fp(t)·δ(x-xp(t))

(2)

fp(t)為足底作用力時(shí)程，利用人體質(zhì)心加速度表示如下

fp(t)=-mpg-mpac(t)

(3)

式中：mp為人體質(zhì)量;ac(t)為人體質(zhì)心加速度。梁振動(dòng)時(shí)，人體的質(zhì)心加速度分為兩個(gè)部分：相對(duì)于結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的相對(duì)加速度acr(t)和隨結(jié)構(gòu)共同運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的牽連加速度ace(t)，即

ac(t)=acr(t)+ace(t)

(4)

ace(t)指人所處位置梁的振動(dòng)加速度，可表示為

(5)

不考慮結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)人體行走步態(tài)的影響，則有

(6)

(7)

可見式(7)實(shí)質(zhì)上將行人過橋時(shí)的作用力等效為剛性地面足底力與橋面振動(dòng)引起的慣性力之和。利用振型疊加法求解式(7)，簡(jiǎn)支歐拉-伯努利梁振型函數(shù)為

(8)

則有

φi(x)

(9)

將式(9)代入式(7)則有

(10)

將式(10)中的每一項(xiàng)乘以第j個(gè)振型函數(shù)φj(x)，并沿梁的全長(zhǎng)進(jìn)行積分，右端的結(jié)果為

(11)

則廣義力為

(12)

將式(12)代入式(10)整理可得

(13)

則有

(14)

這是一個(gè)無窮多自由度的聯(lián)立方程組。如果位移級(jí)數(shù)取N項(xiàng)，則結(jié)構(gòu)的廣義自由度為N，系統(tǒng)的N階矩陣表達(dá)式為

(15)

式中,廣義位移向量U=[q1,q2,…,qN]T，廣義的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣以及力向量分別如式(16)～(19)所示。

(16)

(17)

(18)

F=[ρFφ1,ρFφ2,…ρFφN]T

(19)

人體在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)時(shí)，方程中的系數(shù)會(huì)不斷變化，因此式(15)為時(shí)變系統(tǒng)的多階微分方程組，應(yīng)采用非線性的動(dòng)力分析方法。本文基于Newmark-β法對(duì)上述方程進(jìn)行求解。

1.2單人步行力模型的建立

(20)

2 荷載模型的驗(yàn)證

本文通過在一輕柔單跨人行鋼橋上進(jìn)行單人行走實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證模型的有效性。該人行橋全長(zhǎng)10.5 m，有效長(zhǎng)度10.3 m，兩邊簡(jiǎn)支，線密度為73.7 kg/m，經(jīng)實(shí)測(cè)，該橋一階豎彎頻率為2.734 Hz。如圖2所示。

圖2 人行鋼橋

開展單人過橋試驗(yàn)時(shí)令體重為85 kg的行人在節(jié)拍器的提示下以不同步頻通過人行橋，圖3為步頻為1.83 Hz時(shí)實(shí)測(cè)跨中加速度時(shí)程曲線和文中模擬結(jié)果對(duì)比，圖4為兩者的頻譜對(duì)比。

(a) 實(shí)測(cè)結(jié)果

(b) 本文模擬結(jié)果

由圖3可以看出，模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)響應(yīng)波形走勢(shì)基本吻合。從頻域上來說，兩者的頻率成分基本吻合，都可以明顯的看出結(jié)構(gòu)的一階頻率和人體的前三階步頻。實(shí)測(cè)頻率成分相對(duì)更為豐富，包含了結(jié)構(gòu)的高階模態(tài)和人體的高階步頻成分。實(shí)測(cè)頻譜在結(jié)構(gòu)一階頻率處達(dá)到最大峰值，原因是人體行走步頻的二階亞諧(1.5fs)與該階頻率相近，從而導(dǎo)致此處響應(yīng)較大。模擬頻譜中步頻二階亞諧處也出現(xiàn)了一個(gè)峰值，原因同上。此外，實(shí)測(cè)結(jié)果的幅值略小于模擬結(jié)果，這是由于實(shí)測(cè)的頻率成分更加豐富，能量分布更加分散。

(a) 實(shí)測(cè)結(jié)果

(b) 本文模擬結(jié)果

表1則給出了不同步頻下跨中均方根加速度、峰值加速度的實(shí)測(cè)結(jié)果與模擬結(jié)果對(duì)比，從表中可以看出，模擬結(jié)果最大誤差不超過10%，基本滿足精度要求。

表1 不同步頻下模擬與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比

通過上述分析可知，文中的人-橋豎向耦合系統(tǒng)的動(dòng)力分析和求解程序基本正確，可用于研究人-橋豎向耦合系統(tǒng)的人致振動(dòng)相關(guān)問題。

3 足底反力影響因素分析

目前在對(duì)人行橋進(jìn)行振動(dòng)分析時(shí)，選用的人體步行荷載多為傅里葉級(jí)數(shù)模型荷載或單步落足荷載，然而這些模型幾乎都是基于固定地面或剛性結(jié)構(gòu)上的測(cè)試結(jié)果提出來的，與實(shí)際存在差異。近年來隨著柔性結(jié)構(gòu)的逐漸增多，人們?cè)絹碓秸J(rèn)識(shí)到人與結(jié)構(gòu)之間存在相互作用影響。有學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)人體在柔性結(jié)構(gòu)上行走時(shí)的足底力與剛性地面所測(cè)得足底力有所不同，并且兩者的差異與相互作用的大小有關(guān)。

為分析人-結(jié)構(gòu)豎向相互作用對(duì)足底力的影響，將人體于柔性結(jié)構(gòu)上行走時(shí)的足底力與剛性測(cè)力平臺(tái)上所測(cè)足底力的差值進(jìn)行無量綱化處理，定義相互作用力影響函數(shù)[13]

(21)

由式(10)可知，式(21)可表示為

(22)

即DI(t)為行人所在位置處結(jié)構(gòu)加速度和重力加速度的比值。

3.1人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比對(duì)足底反力的影響

算例梁長(zhǎng)9 m，寬0.8 m，高0.12 m，阻尼比0.003，基頻為2 Hz，為研究人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比對(duì)足底反力的影響，令人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比為u，保持結(jié)構(gòu)基頻不變，令人體步頻與結(jié)構(gòu)基頻相同，并通過對(duì)梁體的材料參數(shù)(密度和彈性模量)進(jìn)行改變以實(shí)現(xiàn)不同的人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比。

圖5所示為不同人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比下無量綱相互作用力影響函數(shù)曲線。

相互作用力影響函數(shù)DI曲線反映了人運(yùn)動(dòng)位置處結(jié)構(gòu)的加速度狀況，由圖5可以看出，當(dāng)行人由梁端部向跨中行走時(shí)，DI逐漸增大，隨著行人逐漸遠(yuǎn)離，DI逐漸減小直到行人離開結(jié)構(gòu)。DI達(dá)到最大值的位置并不在結(jié)構(gòu)的跨中，而是在其附近的某一位置，具體位置與人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比有關(guān)，原因是人體行走時(shí)人-橋耦合系統(tǒng)為一時(shí)變體系，結(jié)構(gòu)的振型跡線在不斷發(fā)生變化；當(dāng)人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比較小時(shí)，人/結(jié)構(gòu)相互作用隨著質(zhì)量比的增加逐漸增強(qiáng)，相互作用力影響系數(shù)逐漸增大，但是當(dāng)質(zhì)量比增大到一定程度時(shí)，人-結(jié)構(gòu)相互作用力反而減小，原因是較大的質(zhì)量比使此時(shí)結(jié)構(gòu)的自振頻率發(fā)生了改變，導(dǎo)致激振頻率遠(yuǎn)離了結(jié)構(gòu)的自振頻率。

(a) u=0.01

(b) u=0.05

(c) u=0.1

Fig.5 The interaction force time-history curve of different human/structure mass ratio

3.2結(jié)構(gòu)頻率對(duì)足底反力的影響

算例保持3.1節(jié)算例中梁的截面參數(shù)及阻尼特性不變，線密度為230.4 kg/m，梁1楊氏模量E=30 GPa，基頻f=2.375 Hz；梁2楊氏模量E=14.5 GPa，基頻f=1.65 Hz。人體質(zhì)量80 kg，步頻取2 Hz。

圖6所示為人體分別在梁1和梁2上行走時(shí)的歸一化足底反力(足底力/人體體重)時(shí)程圖，通過圖中可以看出，人體在柔性結(jié)構(gòu)上行走時(shí)的足底反力與剛性地面的有所不同，隨著人體向跨中移動(dòng)，足底反力增大或減小，具體變化規(guī)律與結(jié)構(gòu)頻率有關(guān)?？紤]到人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比很小，為3.7%，因此可以認(rèn)為：當(dāng)結(jié)構(gòu)剛度較小，基頻較低時(shí)，人與結(jié)構(gòu)件的相互作用較為顯著，結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)人行荷載產(chǎn)生的影響也較為明顯。

為進(jìn)一步研究結(jié)構(gòu)頻率對(duì)足底反力的影響，定義DI的幅值為相互作用力影響系數(shù)，記為DF

DF=DI(t)max

(a) 梁1(f=2.375 Hz)

(b) 梁2(f=1.65 Hz)

(23)

圖7為不同人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比時(shí)相互作用力影響系數(shù)DF與結(jié)構(gòu)頻率的關(guān)系曲線。

圖7 相互作用力影響系數(shù)與結(jié)構(gòu)頻率的關(guān)系

Fig.7 The relationship between the influence coefficient of the interaction force and the frequency of the structure

由圖7可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)頻率與激振頻率(2 Hz)及其某階主諧波頻率相近時(shí)，人-結(jié)構(gòu)耦合效應(yīng)十分顯著，此時(shí)行人足底反力與剛性地面相比有顯著變化，而隨著結(jié)構(gòu)頻率的增大，相互作用力影響系數(shù)下降較快且趨于平緩。當(dāng)結(jié)構(gòu)頻率大于8 Hz時(shí)，人-結(jié)構(gòu)相互作用已經(jīng)很弱，表明行人足底力與在剛性地面行走時(shí)差別很小，此時(shí)在人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比較小的情況下可以不考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用的影響，而將行人動(dòng)荷載作為外激勵(lì)；隨著人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比的增加，相互作用力影響系數(shù)逐漸增大，這主要是由于人體參振質(zhì)量增大從而使人-結(jié)構(gòu)相互作用逐漸增強(qiáng)。因此對(duì)于大跨度輕質(zhì)、柔性結(jié)構(gòu)(如大跨人行橋等)，當(dāng)結(jié)構(gòu)上人員密度較大時(shí)，需考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用的影響。

4 結(jié) 論

本文基于自激勵(lì)彈簧-質(zhì)量-阻尼模型，建立了人-結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，與實(shí)測(cè)對(duì)比驗(yàn)證了模型有效性后，進(jìn)行了數(shù)值分析，結(jié)果表明：

(1)人體于結(jié)構(gòu)上行走時(shí)，步頻亞諧(0.5fs，1.5fs，2.5fs)可能與結(jié)構(gòu)的基頻相近，從而引起較大的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

(2)結(jié)構(gòu)固有頻率和人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比對(duì)人-結(jié)構(gòu)相互作用有較大影響。當(dāng)結(jié)構(gòu)頻率與步頻及其主諧波分量頻率接近時(shí)，耦合效應(yīng)最顯著，其對(duì)人體足底反力影響最大。結(jié)構(gòu)頻率越大，人-結(jié)構(gòu)相互作用就越弱，此時(shí)對(duì)于人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比較小的情況，可將結(jié)構(gòu)上的人行荷載視為外激勵(lì)。隨著人/結(jié)構(gòu)質(zhì)量比的增加，相互作用力系數(shù)逐漸增大，人-結(jié)構(gòu)相互作用逐漸增強(qiáng)。因此對(duì)于大跨度輕質(zhì)柔性結(jié)構(gòu)在人員密度較大時(shí)，需考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用的影響。

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Verticalhuman-structureinteractionbasedonaself-excitinghumanmodel

XIEWeiping1,FENGJinpeng1,HEWei2

(1. School of Civil Engineering and Architecture, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China; 2. School of Science, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China)

Based on a self-exciting human model, the motion equation of a footbridge was established in considering the vertical human-structure interaction and a walk force model was proposed in considering the main harmonic and subharmonic frequencies of walking. The model was verified by measuring the footbridge vibration responses caused by single person walking. The variation of vertical human-structure interaction and its influencing factors were analyzed. The results indicate that the walking subharmonic frequency may be close to the fundamental frequency of the structure, resulting in large structural responses. The natural frequency of the structure and the human/structure mass ratio have a great influence on the human-structure interaction. When the structural frequency is closer to the walking frequency or its main harmonic components, the coupling effect is significant and has the greatest impact on footfall forces. Moreover, with the increasing of human/structure mass ratio, the interaction will strengthen gradually.

human-induced vibration; vertical human dynamic model; human-structure interaction; footfall force

TU311.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.005

國(guó)家自然科學(xué)基金(51508431);中國(guó)博士后科學(xué)基金(2015M582288)

2016-02-02 修改稿收到日期：2016-06-15

謝偉平 男，博士，教授，1965年6月