盧廣闊

(中國(guó)西南電子技術(shù)研究所,成都 610036)

基于短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的譜分割算法

盧廣闊

(中國(guó)西南電子技術(shù)研究所,成都 610036)

多分量非線性調(diào)頻信號(hào)在現(xiàn)代通信和雷達(dá)系統(tǒng)中應(yīng)用越來越廣泛,而對(duì)其進(jìn)行有效分析識(shí)別的常用算法就是短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Short Time Fractional Fourier Transform, STFRFT)．文章首先討論了STFRFT的圓特性,證明了它基于高斯旋轉(zhuǎn)窗的非圓性并給出了修正的圓的STFRFT定義;在此基礎(chǔ)上研究了時(shí)頻變換后不同時(shí)頻點(diǎn)的譜峭度,進(jìn)而推導(dǎo)出了區(qū)域集的譜峭度,并將該區(qū)域譜峭度作為譜圖上某區(qū)域內(nèi)是否含有信號(hào)點(diǎn)的檢測(cè)因子;最后基于區(qū)域集譜峭度的區(qū)域增長(zhǎng)算法被用于從譜圖中盲分割識(shí)別出各個(gè)非線性調(diào)頻分量信號(hào)．仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性和魯棒性．

短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(STFRFT);非線性調(diào)頻信號(hào);區(qū)域增長(zhǎng)算法;譜峭度

引 言

非線性調(diào)頻(Nonlinear Frequency Modulation, NLFM)[1]信號(hào)指的是瞬時(shí)頻率隨時(shí)間非線性變化的一類非平穩(wěn)信號(hào),它廣泛存在于現(xiàn)代雷達(dá)、語音、生電和地震物理等領(lǐng)域中．由于多個(gè)NLFM信號(hào)的分析識(shí)別技術(shù)具有重大的實(shí)用價(jià)值,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量的研究和探索．但該類信號(hào)的形式復(fù)雜多變,且常常被淹沒在噪聲之中,這使得對(duì)該類信號(hào)的分析識(shí)別首先需要將信號(hào)分量從噪聲中檢測(cè)出來,其次需要將多個(gè)NLFM信號(hào)分離開來．顯然,這是一個(gè)非常有難度的問題,因?yàn)楝F(xiàn)有的各類時(shí)頻分析方法在此類應(yīng)用中常常存在這樣那樣的缺陷和不足[2]．短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Short Time Fractional Fourier Transform, STFRFT)[3]是一種新提出的較為有效的時(shí)頻表示方法,它對(duì)于NLFM信號(hào)具有較好的時(shí)頻聚焦性,并對(duì)交叉項(xiàng)也具有較強(qiáng)的抑制作用．另外,基于短時(shí)傅里葉變換(Short Time Fourier Transform, STFT)的譜分割算法作為一種有效地從譜圖中自適應(yīng)提取信號(hào)分量的新算法[4],已經(jīng)成功地應(yīng)用于自適應(yīng)語音識(shí)別之中．在本文中,為了將STFRFT用于多分量NLFM信號(hào)的盲分析識(shí)別,本文擬將譜分割算法[5]引入其中,研究基于STFRFT的譜分割新算法．

本文的第一部分給出了將多分量NLFM信號(hào)建模成確定性信號(hào)分量的混合模型,并討論了為什么時(shí)頻變換要滿足圓特性．第二部分主要研究了STFRFT的變換特性,給出了高斯白噪聲和NLFM信號(hào)分量經(jīng)過變換后的統(tǒng)計(jì)特性;為了更好地用于譜分割,我們給出了一個(gè)修正的圓的STFRFT,它使得變換后的所有復(fù)高斯噪聲變量都是圓的．第三部分進(jìn)一步討論了修正STFRFT后噪聲點(diǎn)和含信號(hào)分量點(diǎn)的譜峭度差異,并推導(dǎo)出了區(qū)域譜峭度的表達(dá)式．最后給出了基于區(qū)域增長(zhǎng)的STFRFT譜分割算法,并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證．

1 信號(hào)模型

x(n) =s(n)+w(n)

n=0,1,…,N-1.

(1)

式中:s(n)為混合信號(hào)分量;l為各分量信號(hào)的對(duì)應(yīng)序號(hào);bl為各分量信號(hào)的幅度;ail(i=0,1,2,3)為第l個(gè)NLFM信號(hào)的相位系數(shù);N為采樣點(diǎn)數(shù)．

(2)

(3)

2 STFRFT的圓特性

作為分析NLFM信號(hào)的一種有效方法,STFRFT算法可以通過改變其窗函數(shù)的寬度和調(diào)頻斜率來提高時(shí)頻聚焦性．其基于時(shí)頻域的一般定義為[9]

(4)

式中:u為分?jǐn)?shù)階傅里葉域的索引;hα,σ(τ)為高斯旋轉(zhuǎn)窗函數(shù),該窗函數(shù)可以通過改變參數(shù)σ和α來分別控制窗的寬度和調(diào)頻斜率,進(jìn)而改變STFRFT算法對(duì)時(shí)頻域多分量信號(hào)的分析識(shí)別性能．

顯然,選擇一個(gè)最優(yōu)的窗參數(shù)是該變換算法的核心,為此研究人員提出了各種選取準(zhǔn)則．其中從時(shí)頻聯(lián)合分布的角度出發(fā),選擇最優(yōu)窗參數(shù)一般是基于最大時(shí)頻分辨率和最小時(shí)頻支撐兩種準(zhǔn)則[6]．在理論分析中,由第一種準(zhǔn)則可推出,當(dāng)且僅當(dāng)窗函數(shù)為高斯窗時(shí),STFRFT具有最大時(shí)頻分辨率2/|sinα|;而考慮第二種準(zhǔn)則,當(dāng)信號(hào)具有最小時(shí)頻支撐時(shí),可得窗函數(shù)[10]

exp-Bαt2/(2T|sinα|)．

(5)

式中:T為時(shí)寬;Bα為信號(hào)在α階分?jǐn)?shù)階傅里葉域的頻寬．

2.1旋轉(zhuǎn)高斯窗的譜密度

對(duì)離散時(shí)間序列x(n)進(jìn)行M次STFRFT,則其時(shí)頻譜可以認(rèn)為由M次復(fù)值傅里葉變換構(gòu)成,取冗余點(diǎn)數(shù)為0,則表示為

(6)

(7)

=wTγ[m,k]w

(8)

式中:0矩陣的大小可以調(diào)節(jié)與窗寬配對(duì);C和S來自變換核的正弦和余弦,且有

Ω=diag(hα,σ(n))(Cm,k+Sm,k)i,j

(9)

向量w=[w0,w1,…,wNh-1]是由零均值高斯分布

函數(shù)構(gòu)成的協(xié)方差矩陣向量;Wα,σ[m,k]和Hα,σ[m,k]分別表示噪聲信號(hào)w(n)和分析窗函數(shù)hα,σ(n)的離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT);*表示卷積．

對(duì)于高斯旋轉(zhuǎn)窗,定義γ[m,k]矩陣滿足

(10)

對(duì)γ[m,k]進(jìn)行特征值分解,可得其非零特征值λα,σ滿足[8]

(11)

為了描述旋轉(zhuǎn)高斯窗的非零特征值隨時(shí)間和頻率的變化情況,進(jìn)一步取λα,σ(γ[m,k])=max(λ1,λ2),并對(duì)其做仿真,仿真結(jié)果如圖1所示．其中,橫坐標(biāo)為采樣點(diǎn)數(shù)m,縱坐標(biāo)為頻點(diǎn)k,不同顏色表示不同時(shí)頻點(diǎn)的非零特征值λα,σ(γ[m,k]),其中深紅色表示值為1,白色表示值為0.5．

圖1 旋轉(zhuǎn)高斯窗的λα,σ[m,k]隨參數(shù) m和k的變化

從圖1可以看出:越是接近旋轉(zhuǎn)高斯窗頻域中間的點(diǎn),其非零特征值越逼近0.5,則(λ1,λ2)越對(duì)稱;相反,越是遠(yuǎn)離旋轉(zhuǎn)高斯窗頻域中心的點(diǎn),其非零特征值越逼近1,則(λ1,λ2)越不對(duì)稱．

(12)

式中:U(·)表示均勻分布;I0為貝塞爾函數(shù)．

2.2基于旋轉(zhuǎn)高斯窗的STFRFT的非圓特性及修正

(cos(-2πkn/Nh))2;

綜上所述，我國(guó)城市化進(jìn)程的不斷加快，極大地帶動(dòng)了我國(guó)建筑行業(yè)的發(fā)展。為了緩解城市交通壓力，使我國(guó)地鐵工程大力發(fā)展，地鐵隧道工程施工也得到了越來越多人們的關(guān)注。本文通過對(duì)某市地鐵施工工程進(jìn)行分析，從超前支護(hù)技術(shù)、二次襯砌技術(shù)、隧道開挖技術(shù)、初期支護(hù)技術(shù)4個(gè)方面對(duì)地鐵隧道施工技術(shù)進(jìn)行了全面的分析，進(jìn)而不斷提高我國(guó)地鐵隧道施工技術(shù)的應(yīng)用水平，并且在此基礎(chǔ)上不斷創(chuàng)新，促進(jìn)地鐵施工技術(shù)的發(fā)展。

(13)

(sin(-2πkn/Nh))2.

(14)

式中,var(·)表示取方差．

(15)

(16)

同樣的,上述兩式可以重寫成:

(17)

式中,函數(shù)Φα,σ[m,k]滿足

(18)

顯然,對(duì)于任何一個(gè)時(shí)頻點(diǎn)[m,k],當(dāng)且僅當(dāng)Φα,σ[m,k]等于0時(shí),才有λα,σ[m,k]等于1/2,ρα,σ[m,k]等于0,此時(shí)才有離散STFRFT的系數(shù)Wα,σ[m,k]是圓的,這也就意味著基于高斯旋轉(zhuǎn)窗的STFRFT在該時(shí)頻點(diǎn)上是圓的．因此,討論函數(shù)Φα,σ[m,k]的性質(zhì)非常有必要．

由式(18)可得,Φα,σ[m,k]由兩部分構(gòu)成:相位系數(shù)e(-4jπkm/Nh)和離散窗函數(shù)平方(hα,σ(n))2的DFT．對(duì)于確定的m和k,相位系數(shù)的值是保持不變的,因此函數(shù)Φα,σ[m,k]的特性主要取決于離散窗函數(shù)的特性．而高斯旋轉(zhuǎn)窗的特性在2.1節(jié)中詳細(xì)討論過,不幸地是,其在大部分點(diǎn)上不滿足λα,σ[m,k]等于1/2．此時(shí),即使有ρα,σ[m,k]等于0,函數(shù)Φα,σ[m,k]的實(shí)部也不等于0,則函數(shù)Φα,σ[m,k]也不為0．因此,基于旋轉(zhuǎn)高斯窗函數(shù)hα,σ(n)的STFRFT在大部分點(diǎn)上都是非圓的．

由第一節(jié)可知,當(dāng)且僅當(dāng)離散STFRFT是圓的時(shí),零均值高斯白噪聲w(n)的功率譜系數(shù)才滿足中心χ2分布,含有信號(hào)能量的噪聲點(diǎn)的功率譜系數(shù)才滿足非中心χ2分布．因此,只有離散STFRFT滿足圓特性,這種不同時(shí)頻點(diǎn)的概率分布不同的特性才能被應(yīng)用于分離信號(hào)和噪聲．為此,我們需要重新定義STFRFT如下[10]:

(19)

式中,hα,σ(n)為奇數(shù)窗．此時(shí),Φα,σ[m,k]變?yōu)?/p>

Φα,σ[m,k] =Φα,σ[0,k]

(20)

(21)

此時(shí),當(dāng)修正STFRFT取奇數(shù)窗時(shí),在除邊緣點(diǎn)以外的所有點(diǎn)上都是圓的,因此有Φα,σ[m,k]等于0,對(duì)其做仿真,結(jié)果如圖2所示．不同顏色表示不同時(shí)頻點(diǎn)的Φα,σ[m,k]值,圖中深紅色表示值為1,白色表示值為0．由圖2可看出:除了邊緣點(diǎn)的值逼近1之外,其他點(diǎn)的值都逼近0,這證明了該修正定義的有效性和修正后STFRFT的圓性;邊緣點(diǎn)為1,是因?yàn)榇颂幍脑肼暈閷?shí)高斯變量,不滿足圓性．

圖2 修正后Φα,σ[m,k]隨著參數(shù)m和k的變化

(22)

3 修正STFRFT的譜峭度

一般來說,時(shí)頻圖上的每個(gè)點(diǎn)都可以視為具有能量值的點(diǎn),相鄰的點(diǎn)聚集起來可以視為某個(gè)信號(hào)的能量譜．而要想將需要的信號(hào)分量從噪聲或者其他分量信號(hào)中分離提取出來,只需要在時(shí)頻圖上將該信號(hào)分量的點(diǎn)區(qū)域分割出來,這就是時(shí)頻分割算法的用途．時(shí)頻分割就是通過分辨哪些點(diǎn)含有確定性信號(hào)分量、哪些點(diǎn)只含有噪聲來分割信號(hào)和噪聲區(qū)域的,甚至根據(jù)其他信息可以分割不同的信號(hào)分量．顯然,要想有效分割噪聲和信號(hào)以及信號(hào)和信號(hào),只有能量值信息是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,這是因?yàn)?/p>

1) Heisenberg-Gabor不等式使得信號(hào)在時(shí)頻點(diǎn)的能量值受到該點(diǎn)鄰域的影響,因此該點(diǎn)的時(shí)頻變換系數(shù)無法完全描述信號(hào)在該點(diǎn)的所有信息;

2) 信號(hào)的功率譜是隨機(jī)嵌入噪聲功率的,這使得該點(diǎn)的能量值具有隨機(jī)因素．

綜上所述,需要考慮使用其它的統(tǒng)計(jì)特征量來代替能量值作為時(shí)頻分割的檢測(cè)因子．另外,考慮到時(shí)頻表示不確定原理,一個(gè)點(diǎn)的譜系數(shù)無法完全表示該點(diǎn)的全部信息,因此需要考慮一組點(diǎn)的譜系數(shù),也就是說需要考慮一個(gè)包含點(diǎn)數(shù)目相對(duì)較小卻能描述某個(gè)時(shí)頻點(diǎn)所有信息的區(qū)域集．研究該區(qū)域的統(tǒng)計(jì)特征來作為新的區(qū)分噪聲或者加噪信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn),從而將信號(hào)分量從周圍噪聲中以及其他信號(hào)分量中分離出來．這就是本文的研究思路,而在本文中,選取的統(tǒng)計(jì)特征就是區(qū)域集的譜峭度．

由2.2節(jié)可得

ρα,σ[m,k]=0.

(23)

(24)

(25)

進(jìn)一步的,選取一個(gè)擁有Nh個(gè)點(diǎn)的區(qū)域,并假定該區(qū)域內(nèi)里有Uα點(diǎn)含有信號(hào)的能量,其他點(diǎn)為噪聲點(diǎn),那么有

(26)

(27)

(28)

4 基于STFRFT譜的譜分割算法

4.1算法原理

多個(gè)NLFM信號(hào)的分析識(shí)別主要分為兩部分,首先運(yùn)用第二節(jié)所提修正STFRFT算法將混合信號(hào)變換到時(shí)頻域,然后運(yùn)用基于區(qū)域譜峭度的譜分割算法將所含噪信號(hào)點(diǎn)和噪聲點(diǎn)一一分離,最終提取出想要的分量信號(hào),其算法流程具體如下[3]:

Nh=6σfs,

(29)

式中,mα、ωα和pα分別表示旋轉(zhuǎn)α后的一階矩、二階

矩和二階中心矩．

(30)

式中,MK為含有信號(hào)能量的點(diǎn)數(shù)．然后,給定噪聲方差的較大估計(jì)值并將觀測(cè)信號(hào)的STFRFT譜分割成H0和H1兩部分．其中H1部分對(duì)應(yīng)二階統(tǒng)計(jì)量大于給定門限值的時(shí)頻區(qū)域,其余部分為H0．在初次迭代中,H0部分中大部分點(diǎn)為噪聲點(diǎn),但有部分點(diǎn)含有信號(hào)成分．再次給定較小的噪聲方差估計(jì)值,對(duì)H0部分進(jìn)行二次分割．隨著迭代進(jìn)行,給定的噪聲方差估計(jì)值越來越小,越來越逼近真正的噪聲方差．

3) 由第三節(jié)可得,時(shí)頻圖中混合區(qū)域的譜峭度為正,噪聲區(qū)域的譜峭度為0,因此可用譜峭度作為時(shí)頻分割算法的迭代終止準(zhǔn)則．此時(shí),選取區(qū)域譜峭度的二次標(biāo)準(zhǔn)偏差為門限值[4]:

(31)

式中,MiKi為第i次迭代時(shí)噪聲的點(diǎn)數(shù)．當(dāng)H0部分的譜峭度小于門限值tFRFSK時(shí)迭代停止,此時(shí)可以認(rèn)為剩余點(diǎn)只有復(fù)圓高斯分布的噪聲了,而相對(duì)的H1部分可以認(rèn)為只剩下信號(hào)分量了．

4) 最后,對(duì)H1部分應(yīng)用圖像分割算法[14]中的區(qū)域增長(zhǎng)算法[15]．首先選取H1部分中二階統(tǒng)計(jì)量最大的點(diǎn)作為種子,搜索其周圍8-鄰域的相似點(diǎn),當(dāng)所有相似點(diǎn)搜索完畢后將其標(biāo)記為 label 1;然后再設(shè)置另一個(gè)種子,繼續(xù)搜索標(biāo)記為label 2,最后將時(shí)頻圖內(nèi)所有的信號(hào)分量一一進(jìn)行識(shí)別標(biāo)記．

4.2仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證所提算法,選取多個(gè)NLFM信號(hào)組成的多分量信號(hào)疊加高斯白噪聲作為混合信號(hào),其中加性高斯白噪聲w(n)的均值為0、方差為1,信噪比為0 dB．顯然,NLFM多分量信號(hào)形式非常復(fù)雜,需要時(shí)頻聚焦性較高的時(shí)頻變換算法才能分辨．下面分別用STFT、魏格納-威廉分布(Wigner-Ville Distribution, WVD)、改進(jìn)B分布以及本章所提STFRFT算法對(duì)其進(jìn)行時(shí)頻分析,仿真結(jié)果如圖3所示．

(a) STFT (b) WVD

(c) 改進(jìn)B分布 (d) STFRFT圖3 多個(gè)NLFM信號(hào)分量的時(shí)頻圖

從圖3可以看出:STFT算法雖然沒有受到交叉項(xiàng)的影響,但對(duì)信號(hào)的聚焦性一般;而WVD算法可以達(dá)到時(shí)頻聚焦性的下限,但它產(chǎn)生了大量的自交叉項(xiàng)和互交叉項(xiàng)且對(duì)噪聲極為敏感;作為保留時(shí)頻聚焦性的同時(shí)去除噪聲和交叉項(xiàng)的一個(gè)折衷算法,改進(jìn)B分布是目前核函數(shù)類時(shí)頻分析方法中最好的變換,但是仍然比不上STFRFT算法的聚焦性,因此這證明了本文所提算法時(shí)頻聚焦性優(yōu)于其它算法．

在對(duì)多分量混合信號(hào)進(jìn)行STFRFT后,得到了該混合信號(hào)的時(shí)頻圖．接著,運(yùn)用基于區(qū)域譜峭度的譜分割算法來提取時(shí)頻圖中的信號(hào)分量,并用不同的顏色分別進(jìn)行標(biāo)記．具體步驟見4.1節(jié),仿真結(jié)果如圖4所示,三個(gè)不同的信號(hào)分量被成功提出,并且用不同顏色一一標(biāo)記．其中,大部分噪聲被濾除,且估計(jì)噪聲方差為1.004;當(dāng)?shù)K止時(shí),H0部分的譜峭度為0.042,而門限值為0.045．

圖4 多個(gè)NLFM信號(hào)分量的STFRFT譜分割結(jié)果

接著,為了比較所提算法在多種信噪比情況下性能,對(duì)NLFM分量信號(hào)的瞬時(shí)頻率進(jìn)行估計(jì),取其均方誤差(Mean Squared Error, MSE)為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn),仿真結(jié)果如圖5所示.顯然所提算法的仿真性能優(yōu)于其他算法,且在低至-5 dB信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)下仍然有效．

圖5 NLFM信號(hào)分量的瞬時(shí)頻率估計(jì)MSE值

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于STFRFT和譜峭度的譜分割新算法,并將其成功用于多個(gè)NLFM信號(hào)的檢測(cè)和識(shí)別中．本文首先研究了高斯白噪聲的離散STFRFT的功率譜概率密度和非圓性,給出了一種滿足圓性的修正STFRFT算法;接著,研究了變換后噪聲點(diǎn)和信號(hào)點(diǎn)的譜峭度差異,并推導(dǎo)出了區(qū)域譜峭度的公式;然后區(qū)域譜峭度被用于譜分割迭代算法的終止準(zhǔn)則,并通過區(qū)域增長(zhǎng)算法成功地提取混合信號(hào)中所需的信號(hào)分量．最后,仿真驗(yàn)證了本文所提算法的有效性和自適應(yīng)性．

另外,本文算法盡管提高了NLFM信號(hào)的盲識(shí)別性能,但同時(shí)也增加了算法的復(fù)雜度,畢竟非線性、自適應(yīng)性以及更好估計(jì)性能都需要更大的計(jì)算成本．尤其是隨著NLFM信號(hào)數(shù)量的增加,H1部分的點(diǎn)數(shù)會(huì)增加,后續(xù)圖像分割算法的迭代次數(shù)也會(huì)增加,最終會(huì)增加整個(gè)算法的計(jì)算復(fù)雜度．而在提高算法性能的同時(shí)降低算法的復(fù)雜度是本文進(jìn)一步的研究方向．

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盧廣闊(1983—),男,河北人,2016年獲電子科技大學(xué)信號(hào)與信息處理博士學(xué)位,主要研究方向?yàn)橥ㄐ判盘?hào)偵察、多分量信號(hào)分析識(shí)別等．

AnewspectralsegmentationalgorithmbasedonshorttimefractionalFouriertransform

LUGuangkuo

(SouthwestChinaInstituteofElectronicTechnology,Chengdu610036,China)

The short time fractional Fourier transform (STFRFT) is a useful tool for the research on analysis and recognition of multi-component non-linear frequency modulation (NLFM) signals, which have been presented on a lot of communication systems and radar systems. This paper investigates the non-circularity of STFRFT coefficients, and proposes a modified STFRFT such that all coefficients coming from white Gaussian noise are circular. In order to use the spectral kurtosis (SK) as a Gaussian test to check if signal points are present in a set of STFRFT points, we study the SK of different points in the time-frequency transform figure, and propose the definition of the local SK. Finally, a time-frequency segmentation algorithm based on the region growing by the local SK is proposed to separate the multi-component NLFM signals. The effectiveness and robustness of this algorithm are evaluated via simulations.

short time fractional Fourier transform; non-linear frequency modulation signals; region growing algorithm; spectral kurtosis

盧廣闊. 基于短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的譜分割算法[J]．電波科學(xué)學(xué)報(bào),2017,32(4):474-481.

10.13443/j.cjors.2017030702

LU G K. A new spectral segmentation algorithm based on short time fractional Fourier transform [J]. Chinese journal of radio science,2017,32(4):474-481. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2017030702

TN958.93

A

1005-0388(2017)04-0474-08

DOI10.13443/j.cjors.2017030702

2017-03-07

聯(lián)系人： 盧廣闊 E-mail: guangkuolu@gmail.com