姚志富

(安徽省蕪湖市六洲中學(xué)，安徽 蕪湖 238321)

復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)的分析與思考
——以“含參函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

姚志富

(安徽省蕪湖市六洲中學(xué)，安徽 蕪湖 238321)

“含參函數(shù)的單調(diào)性”是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，其中對(duì)于參數(shù)的分類討論是一個(gè)永恒的難點(diǎn).在學(xué)習(xí)分類理論的指導(dǎo)下，把策略性知識(shí)化身高級(jí)規(guī)則知識(shí)，對(duì)此難點(diǎn)進(jìn)行了適度突破.同時(shí)結(jié)合課例，研究了數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)的一般思路與方法.

學(xué)習(xí)分類；分類討論；含參函數(shù)的單調(diào)性；復(fù)習(xí)課

如何提升單位時(shí)間內(nèi)復(fù)習(xí)課的效率一直是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)，根據(jù)學(xué)習(xí)分類理論，在其指導(dǎo)下，老師要明確復(fù)習(xí)的基本任務(wù)、復(fù)習(xí)內(nèi)容蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)和學(xué)生的學(xué)習(xí)力，與學(xué)生當(dāng)前學(xué)習(xí)的實(shí)際情況進(jìn)行結(jié)合，進(jìn)入提升復(fù)習(xí)效率.

一、 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課型分析

數(shù)學(xué)概念與解題的規(guī)則技巧是復(fù)習(xí)課型中的基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)學(xué)概念、解題策略性的知識(shí)是復(fù)習(xí)課型中的重難點(diǎn).復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)過程具體分為三個(gè)部分：首先，將復(fù)習(xí)包含的基本概念和規(guī)則進(jìn)行歸納梳理，通過強(qiáng)化記憶降低知識(shí)遺忘率；其次，針對(duì)重難點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，通過典型例題的解題分析和同類型解題訓(xùn)練形成技能；最后，強(qiáng)化解題訓(xùn)練，靈活應(yīng)用，通過提供題型類似與不同的數(shù)學(xué)題型進(jìn)行解答，促進(jìn)知識(shí)的理解和應(yīng)用，提升復(fù)習(xí)課效果.

二、數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)案例

學(xué)習(xí)分類理論指出：針對(duì)不同的知識(shí)學(xué)習(xí)要點(diǎn)，采取不同的與之相適應(yīng)的教學(xué)方法和復(fù)習(xí)方法，能夠提升復(fù)習(xí)的效果.因?yàn)椴煌愋偷膶W(xué)習(xí)結(jié)果，學(xué)習(xí)的過程及條件也不相同.以學(xué)習(xí)分類理論為指導(dǎo)，結(jié)合復(fù)習(xí)課型的特點(diǎn)，本文以“含參函數(shù)的單調(diào)性”一課為例，從教學(xué)分析和具體的教學(xué)設(shè)計(jì)案例兩個(gè)方面進(jìn)論論述，意在說明完整的設(shè)計(jì)過程及思路.

1.教學(xué)分析

(1)學(xué)習(xí)任務(wù)分析.根據(jù)課程要求，“含參函數(shù)的單調(diào)性”章節(jié)學(xué)習(xí)主要內(nèi)容為：函數(shù)單調(diào)性的求解、參數(shù)分類討論.其中教學(xué)難點(diǎn)是參數(shù)分類討論，因?yàn)橛辛藚?shù)就有了變化，對(duì)于知識(shí)的理解應(yīng)用有較高的要求.通過分析，分類討論需要通過長(zhǎng)時(shí)間的解題經(jīng)驗(yàn)積累，很難通過一節(jié)課的學(xué)習(xí)達(dá)成既定的教學(xué)目標(biāo)，因此在這一章節(jié)的這一節(jié)課的教學(xué)中，把分類討論當(dāng)成是一個(gè)高級(jí)規(guī)則來學(xué)習(xí)，對(duì)于學(xué)生來說更容易掌握.

根據(jù)上述分析，本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：①掌握函數(shù)單調(diào)性求解的規(guī)范步驟；理解并能完成規(guī)范步驟的求解；②理解參數(shù)在函數(shù)單調(diào)性判斷中的重要性，借助導(dǎo)函數(shù)圖象突破含參函數(shù)單調(diào)性中的參數(shù)討論；③學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行判斷，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.重點(diǎn)是目標(biāo)①，②；難點(diǎn)是目標(biāo)②.

(2)學(xué)生學(xué)情分析. 經(jīng)過前一階段的學(xué)習(xí)，掌握了函數(shù)單調(diào)性的求解步驟，有一定的概念和習(xí)題練習(xí)，圖像法有一定的基礎(chǔ)，通過分析，主要問題如下：①解題中書寫不規(guī)范.例如忽略定義域的討論，區(qū)間書寫不規(guī)范用并集表示； ②解題步驟缺乏靈活性，在求解過程中習(xí)慣分離參數(shù)，忽略X的范圍； ③畏難和粗心并存，害怕分類和不清楚分類的方法.

(3)學(xué)習(xí)策略分析.根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)，結(jié)合學(xué)生學(xué)情，制定教學(xué)策略如下： ①規(guī)范求解步驟，并將關(guān)鍵步驟重點(diǎn)指出，以便于學(xué)生理解，通過同類題型解題分析，使學(xué)生形成求解的規(guī)范步驟習(xí)慣.同時(shí)給出解題的書寫范例和步驟示范，解決學(xué)生解題過程中解題步驟混亂、書寫不規(guī)范等問題； ②函數(shù)單調(diào)性的判斷主要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的值來進(jìn)行判斷.若導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)，因參數(shù)的變化性，則判定會(huì)更困難.教學(xué)中要提煉歸納參數(shù)分類討論的基本方向和討論類型，形成高價(jià)規(guī)則，便于學(xué)生理解和記憶；③在學(xué)生的解題過程中多指導(dǎo)，及時(shí)的進(jìn)行鼓勵(lì)和表揚(yáng)，幫助學(xué)生樹立信心；④教學(xué)互動(dòng)：教師示范、學(xué)生嘗試解題、教師指導(dǎo)，直至學(xué)生獨(dú)立完成.

2.教學(xué)設(shè)計(jì)案例

【學(xué)生學(xué)情分析】

學(xué)生對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的求解有一個(gè)基本認(rèn)識(shí)，也熟悉求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟，但是對(duì)于含參的函數(shù)求單調(diào)性有困難，主要在于參數(shù)的分類討論缺乏方向，體現(xiàn)在何時(shí)需要分類討論，以及如何進(jìn)行分類討論并不清楚，學(xué)生亂分類、怕分類.

【三維目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能目標(biāo)

理解“含參函數(shù)單調(diào)性”中突破分類討論的兩個(gè)基本步驟——“數(shù)零點(diǎn)”與“畫草圖”，并在此過程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.

2.過程與方法目標(biāo)

運(yùn)用函數(shù)圖象的直觀性，讓學(xué)生通過觀察、分析，并在教師指導(dǎo)下進(jìn)行歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合解題思想和活用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的數(shù)學(xué)思維.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)求知欲，對(duì)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合等解題方式的好奇心，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從一般到特殊，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)解題的趣味性和科學(xué)性；在教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生多種方式解題的創(chuàng)新思想.

【教學(xué)重點(diǎn)】：掌握函數(shù)單調(diào)性求解的規(guī)范步驟、書寫規(guī)范；借助導(dǎo)函數(shù)圖象解題方式進(jìn)行含參函數(shù)單調(diào)性的討論；

【教學(xué)難點(diǎn)】：借助導(dǎo)函數(shù)圖象突破含參函數(shù)單調(diào)性中的參數(shù)討論.

【教學(xué)方法】：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)

【課時(shí)安排】：1 課時(shí)

【教學(xué)準(zhǔn)備】：多媒體課件，幾何畫板

【教學(xué)設(shè)計(jì)說明】

根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)及核心素養(yǎng)培養(yǎng)的要求，本節(jié)課的知識(shí)目標(biāo)定在兩個(gè)方面：一是分析問題、告知目標(biāo)；二是探究新知、形成技能.

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)也是圍繞這些目標(biāo)，利用多媒體和信息技術(shù)讓學(xué)生自主探究，充分參與課堂，并從中體會(huì)學(xué)習(xí)的成功和快樂.

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)回顧

提出問題:(1)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：①確定定義域；②求導(dǎo)；③化乘除；④令f′(x)>0(f′(x)<0)；⑤解出x；⑥得單調(diào)性.(2)參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的基本影響.

二、探究新知、形成技能

目標(biāo)1：掌握函數(shù)單調(diào)性的規(guī)范求解步驟及書寫規(guī)范

【設(shè)計(jì)意圖】 從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解出發(fā)，總結(jié)和歸納規(guī)范的解題步驟和書寫規(guī)范，從例題講解規(guī)范求解著手，使學(xué)生形成規(guī)范步驟求解和書寫規(guī)范. (例 1 是例 2 的特殊求解之一，在分析例 2 時(shí)容易代入，學(xué)生也容易理解)

課堂策略：老師講解后學(xué)生做例題，然后師生討論過程，對(duì)解題步驟和書寫進(jìn)行糾錯(cuò)，最后討論歸納出基本步驟，形成規(guī)范，并在關(guān)鍵求解步驟重點(diǎn)提示，以免出錯(cuò).

課堂生成：

步驟總結(jié)：①明確定義域；②求導(dǎo)；③化乘除；④令f′(x)>0(f′(x)<0)；⑤解出x；⑥得單調(diào)性

口訣提煉：定域求導(dǎo)化乘除，令導(dǎo)正負(fù)解x.

解：f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，

令f′(x)>0，得x>2或0

令f′(x)<0，得1

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，(2，+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2)

學(xué)生書寫容易出錯(cuò)，要對(duì)區(qū)間的正確書寫方式進(jìn)行提示，例如：多個(gè)區(qū)間的書寫之間用“，”連接，區(qū)間括號(hào)內(nèi)也是用“，”.

目標(biāo)2：參數(shù)分類討論的基本方法及步驟

【設(shè)計(jì)意圖】借助例2的求解，鞏固函數(shù)單調(diào)性求解的規(guī)范步驟和書寫規(guī)范；其次引導(dǎo)學(xué)生對(duì)參數(shù)分類討論建立基本的概念；然后在解題示范中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解，讓學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想(目標(biāo)3)建立認(rèn)知，教師要做好解題示范和引導(dǎo)討論，然后，通過一定的變式練習(xí)，如變式1(二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù))、變式2(二次函數(shù)變?yōu)橐话愕闹笖?shù)函數(shù))、變式3(定義域含參數(shù))等來促進(jìn)已學(xué)規(guī)則的掌握，并形成一定的應(yīng)用解題能力.課后練習(xí)布置兩道難度略低于課堂例題及變式的作業(yè)，鞏固本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn).

變式2：求函數(shù)f(x)=ex+ax(a∈R)的單調(diào)性.

【設(shè)計(jì)意圖】題型拓展到其他函數(shù)(一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)、三角函數(shù)均可)，強(qiáng)化訓(xùn)練用函數(shù)圖象來找零點(diǎn)的方法.

變式3：已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)+x2，討論f(x)的單調(diào)性

【設(shè)計(jì)意圖】定義域從確定的(不含參數(shù))到變化的(含參數(shù))，畫函數(shù)圖形草圖的圖形結(jié)合解題方法都適用.當(dāng)定義域及零點(diǎn)都未知時(shí)，要靈活運(yùn)用分類討論的方法，通過比較定義域端點(diǎn)及零點(diǎn)的大小進(jìn)行解題.

課堂策略：老師示范解題步驟時(shí)做好板書，提醒學(xué)生做筆記和分析，梳理分類討論的基本方法.

三、課堂小結(jié)

分類討論的基本方法與步驟：⑴確定分類對(duì)象；⑵確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，做到不重不漏；⑶對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；⑷進(jìn)行歸納總結(jié)，綜合得出結(jié)論.

四、課后作業(yè)

2. 已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R)，討論f(x)的單調(diào)性.

3.對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)難點(diǎn)突破的思考

參數(shù)的分類討論是教學(xué)中的難點(diǎn)問題，為了達(dá)到更好的教學(xué)效果，在教學(xué)設(shè)計(jì)中以學(xué)習(xí)分類理論為指導(dǎo)，把策略性知識(shí)化作高級(jí)規(guī)則，讓學(xué)生便于理解和掌握.把分類討論方向用找零點(diǎn)和畫草圖兩種程序化方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)建立不同的分類，當(dāng)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定時(shí)，根據(jù)圖象建立不同的分類等具象化的圖形結(jié)合方法進(jìn)行求解，以此突破分類討論中對(duì)參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)問題.

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))M.北京：人民教育出版社，2003.

[2]李偉.基于學(xué)習(xí)分類理論的高中數(shù)學(xué)解題課設(shè)計(jì)[J].中國數(shù)學(xué)教育(高中版)，2014(10):34-38.

[3]王珂.數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的返璞歸真[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2014(7).

[4]吳成海.高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育應(yīng)著力于思維培養(yǎng)[J].新課程(教育學(xué)術(shù))，2011(7).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-07-01

姚志富(1979.9-)，男，安徽省蕪湖市，中學(xué)一級(jí)，本科，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

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