谷晶晶

[摘 要] “MKT理論”指向?qū)W科知識(shí)與學(xué)科教學(xué)知識(shí)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要指導(dǎo)理論. 在實(shí)際教學(xué)中，結(jié)合MKT理論對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行成分分析，并在實(shí)際教學(xué)中以MKT視角認(rèn)識(shí)、分析教學(xué)過(guò)程，可以讓教師在數(shù)學(xué)內(nèi)容、學(xué)生之間搭建更好的認(rèn)知橋梁，從而提高課堂教學(xué)的有效性.

[關(guān)鍵詞] MKT理論；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)實(shí)踐；教學(xué)理解

MKT教學(xué)理論是Mathematical Knowledge for Teaching，意思是“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)”，這一面向?qū)W科知識(shí)（SMK）與學(xué)科教學(xué)知識(shí)（PCK）的教學(xué)理論，最早由鮑耳提出，譯至中國(guó)后受到中國(guó)教育理論界的高度重視. 其中一個(gè)重要原因，就是數(shù)學(xué)學(xué)科歷來(lái)是中國(guó)基礎(chǔ)教育界重要的支撐性學(xué)科，很多教育理論的提出與實(shí)踐，均在數(shù)學(xué)學(xué)科中先行先試，同時(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育對(duì)中西方先進(jìn)教育理論也非常敏感，因此當(dāng)關(guān)注學(xué)科知識(shí)與學(xué)科教學(xué)知識(shí)的理論同時(shí)映入數(shù)學(xué)教育者的視野時(shí)，其往往能夠在實(shí)踐中表現(xiàn)出一定的生命力——事實(shí)上，今天MKT理論對(duì)學(xué)科教學(xué)的影響早已超越了數(shù)學(xué)學(xué)科而指向幾乎所有的學(xué)科，甚至是教師教育.

筆者作為一名普通的初中數(shù)學(xué)教師，更關(guān)注MKT理論在實(shí)際教學(xué)中的引領(lǐng)作用，因此采取了最為常見(jiàn)的研究范式——理論聯(lián)系實(shí)際、經(jīng)驗(yàn)加反思，進(jìn)行了持續(xù)的思考與實(shí)踐.

教學(xué)內(nèi)容中的MKT成分解析

從MKT理論來(lái)看，該理論引領(lǐng)下的教學(xué)模型并不復(fù)雜，在認(rèn)識(shí)到其由學(xué)科知識(shí)與學(xué)科教學(xué)知識(shí)組成的同時(shí)，還需要認(rèn)識(shí)到學(xué)科知識(shí)又是由一般內(nèi)容知識(shí)、專門內(nèi)容知識(shí)、數(shù)學(xué)水準(zhǔn)知識(shí)等三部分組成；而學(xué)科教學(xué)知識(shí)則是由內(nèi)容與學(xué)生的知識(shí)、內(nèi)容與教學(xué)的知識(shí)以及內(nèi)容與課程的知識(shí)組成，通常情況下，將這些組成部分稱之為“MKT成分”. 所以在以MKT理論指導(dǎo)教學(xué)的時(shí)候，一個(gè)重要的基礎(chǔ)性工作，就是在該理論的指導(dǎo)下，分析教學(xué)內(nèi)容中的MKT成分.

以蘇教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)“等腰三角形的性質(zhì)和判定”教學(xué)內(nèi)容為例，從MKT成分分析的角度來(lái)看，其一般性內(nèi)容知識(shí)就是作為數(shù)學(xué)知識(shí)形式存在的等腰三角形的性質(zhì)與判定兩個(gè)主要內(nèi)容，其是面向?qū)W生的，常常被稱之為“常識(shí)性的數(shù)學(xué)知識(shí)”，其以專業(yè)的數(shù)學(xué)表述呈現(xiàn)，如“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”，在這一表述中，“等腰三角形”是描述主體，“兩個(gè)底角”是描述對(duì)象，“相等”是描述結(jié)果，多一字嫌多，少一字嫌少，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔性的特點(diǎn)；而專門內(nèi)容知識(shí)則是指向教師的，說(shuō)得更具體一點(diǎn)，是指向教師的教學(xué)邏輯與語(yǔ)言的，數(shù)學(xué)教師只有通過(guò)自己的邏輯與語(yǔ)言，才能在數(shù)學(xué)語(yǔ)言與學(xué)生認(rèn)知之間搭建一座有效的橋梁. 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子就是，初學(xué)“等腰三角形”的時(shí)候，只有結(jié)合等腰三角形的圖形，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到何為“腰”，何為“等腰”，何為“底角”，才能引導(dǎo)學(xué)生形成清晰的等腰三角形表象，也只有以此為基礎(chǔ)，“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的關(guān)系才能建立；數(shù)學(xué)水準(zhǔn)知識(shí)指向?qū)W術(shù)視角下的數(shù)學(xué)理解，說(shuō)得通俗一點(diǎn)，就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解程度，這個(gè)程度決定了課堂教學(xué)的高度. “等腰三角形”是生活中常見(jiàn)的圖形，同時(shí)也蘊(yùn)含著從生活實(shí)例抽象成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，基于這一過(guò)程去創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，往往能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì).

在上面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生認(rèn)知的關(guān)系時(shí)，實(shí)際上已經(jīng)體現(xiàn)了內(nèi)容與學(xué)生的知識(shí)的意蘊(yùn)，只有教師清晰地掌握學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，才能提高教師在課堂上的“預(yù)見(jiàn)”能力，從而實(shí)現(xiàn)奧蘇泊爾所說(shuō)的“弄清學(xué)生已經(jīng)知道了什么，然后據(jù)此進(jìn)行教學(xué)”. 如學(xué)生對(duì)“等腰三角形”的認(rèn)知，就是“性質(zhì)”建立的基礎(chǔ)，而“性質(zhì)”又是“判定”的基礎(chǔ)，理清基礎(chǔ)關(guān)系，就成功地分析出了“內(nèi)容與學(xué)生的知識(shí)”；內(nèi)容與教學(xué)的知識(shí)，強(qiáng)調(diào)的是教師以自身的教學(xué)視角理解所需要教學(xué)的內(nèi)容，如“等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線重合”是教師證明給學(xué)生看，還是讓學(xué)生自己探究，就體現(xiàn)出了教師認(rèn)知的不同視角；內(nèi)容與課程的知識(shí)則是強(qiáng)調(diào)從課程的視角認(rèn)識(shí)學(xué)科教學(xué)，這需要教師研究課程標(biāo)準(zhǔn)及其相關(guān)解讀，以讓自己的教學(xué)層次性更高一些.

MKT視角下有效的教學(xué)實(shí)踐

實(shí)際上，根據(jù)上一點(diǎn)的闡述，相信同行已經(jīng)明白了一點(diǎn)，那就是基于MKT理論的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，只要在成分分析上做足了功夫，那教學(xué)的流程與細(xì)節(jié)就會(huì)把握得比較好. 因此，MKT成分分析實(shí)際上是教學(xué)的重要基礎(chǔ). 筆者嘗試以MKT理論指導(dǎo)自己的教學(xué)，還是取得了豐富的認(rèn)識(shí)的，此處以“直角三角形全等的判定”教學(xué)為例，選擇其中兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)來(lái)分別說(shuō)明.

1. 教學(xué)環(huán)節(jié)一：“斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”定理的證明

根據(jù)給出的命題，學(xué)生構(gòu)思已知與求證的表述形式. 這里，需要學(xué)生以已有的“學(xué)科知識(shí)”（直角三角形中邊與角的概念界定，全等的界定與判定方法的重現(xiàn)等）去衍生新的學(xué)科知識(shí)（HL），而教師則是利用自身的“專門內(nèi)容知識(shí)”去引領(lǐng)不同層次的學(xué)生成功地調(diào)用已有的學(xué)科知識(shí)，比如當(dāng)學(xué)生忽視了命題中的“對(duì)應(yīng)相等”這一關(guān)鍵詞時(shí)，教師可以基于學(xué)生已經(jīng)畫(huà)出的兩個(gè)直角三角形圖形，去引導(dǎo)其認(rèn)識(shí)（實(shí)際上是回顧）何為對(duì)應(yīng)相等；而對(duì)于無(wú)法將HL（斜邊、直角邊）與SAS（邊角邊）對(duì)應(yīng)的學(xué)生，實(shí)際上只是需要捅破認(rèn)知上的一層紙而已. 教師可以從學(xué)生思維遷移的角度，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)為何HL判定方法中沒(méi)有A（角）的存在，進(jìn)而迅速意識(shí)到直角三角形這個(gè)大前提的存在.

在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師一方面放手讓學(xué)生根據(jù)已有命題自己組織“已知”與“求證”的內(nèi)容，這是充分利用學(xué)生已有的學(xué)科知識(shí)，同時(shí)也是從“內(nèi)容與學(xué)生的知識(shí)”角度，以自主學(xué)習(xí)的方式培養(yǎng)學(xué)生自組織數(shù)學(xué)知識(shí)的能力；而在證明的過(guò)程中，教師則用自身“內(nèi)容與課程的知識(shí)”以及“專門內(nèi)容知識(shí)”去確定教學(xué)方式（針對(duì)性的分層與引導(dǎo)），從而盡可能地讓學(xué)生處于自我建構(gòu)狀態(tài). 顯然，這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程更利于學(xué)生對(duì)新學(xué)知識(shí)產(chǎn)生深刻認(rèn)識(shí).

2. 教學(xué)環(huán)節(jié)二：“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等”定理的證明

這里最有意思的一個(gè)環(huán)節(jié)是起始環(huán)節(jié)，當(dāng)教師將這個(gè)命題給學(xué)生時(shí)，學(xué)生感覺(jué)有些茫然，因?yàn)樗麄儧](méi)有一下子認(rèn)識(shí)到這個(gè)命題與所學(xué)的直角三角形有什么關(guān)系. 而筆者也發(fā)現(xiàn)這樣的茫然其實(shí)是一個(gè)教學(xué)契機(jī)（這里其實(shí)就是內(nèi)容與學(xué)生的知識(shí)、內(nèi)容與教學(xué)的知識(shí)以及內(nèi)容與課程的知識(shí)的體現(xiàn)）：既然感到茫然，那就讓這個(gè)感覺(jué)持續(xù)一會(huì)兒. 于是筆者讓學(xué)生根據(jù)命題自主描述已知與求證，而學(xué)生在一般內(nèi)容知識(shí)的作用之下，自然會(huì)選擇以作圖的方式來(lái)表現(xiàn)命題. 在作圖的過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生從一個(gè)任意銳角的角平分線上的任意一點(diǎn)作出兩邊的高的時(shí)候，不同層次的學(xué)生在此就有了不同的表現(xiàn)：數(shù)學(xué)意識(shí)強(qiáng)、數(shù)學(xué)理解能力強(qiáng)的學(xué)生，立即意識(shí)到了直角的存在，且能夠立即發(fā)現(xiàn)兩個(gè)直角三角形已經(jīng)出現(xiàn)，而其他基礎(chǔ)較弱、反應(yīng)稍慢的學(xué)生，則專心于作圖，很少在畫(huà)圖的過(guò)程中開(kāi)始思考命題如何得以證實(shí)，因而也就難以迅速發(fā)現(xiàn)其中存在的直角三角形. 這實(shí)際上就是學(xué)生“專門內(nèi)容知識(shí)”的缺失，自然也就是教學(xué)的另一個(gè)重點(diǎn)——“內(nèi)容與學(xué)生的知識(shí)”.

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師需要根據(jù)自身的“教學(xué)水準(zhǔn)知識(shí)”去判斷學(xué)生在自組織過(guò)程中的表現(xiàn)，進(jìn)而把握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，從而為下一步教學(xué)奠定基礎(chǔ).

基于MKT理論的教學(xué)反思

MKT作為一個(gè)基礎(chǔ)教育界比較推崇，且在一定范圍內(nèi)經(jīng)過(guò)實(shí)踐證實(shí)有效的理論，筆者在實(shí)踐中形成的認(rèn)識(shí)有三點(diǎn).

第一，對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，MKT理論同時(shí)兼顧了學(xué)科知識(shí)與學(xué)科教學(xué)知識(shí)，這在有的理論側(cè)重于學(xué)科、有的理論是無(wú)學(xué)科背景描述的背景下，顯得彌足珍貴. 從這個(gè)角度講，初中數(shù)學(xué)教師基于這一理論提升自己的教學(xué)水平，是比較有意義的選擇.

第二，MKT理論在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的具體實(shí)施大體上可以分為三個(gè)階段：一是根據(jù)學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)情境；二是借助學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)（尋找生活實(shí)例）來(lái)促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)；三是知識(shí)體系的建構(gòu)階段，這一階段強(qiáng)調(diào)在前兩步的基礎(chǔ)上，學(xué)生新的“學(xué)科知識(shí)”的生成——只有當(dāng)知識(shí)成為體系的時(shí)候，新知識(shí)才能成功地納入原有的知識(shí)體系. 這看起來(lái)是傳統(tǒng)教學(xué)思路的描述，但實(shí)際上其中有著對(duì)學(xué)生一般內(nèi)容知識(shí)的關(guān)注，有著教師對(duì)自身專門內(nèi)容知識(shí)的內(nèi)省，還有著對(duì)內(nèi)容與學(xué)生、教學(xué)以及課程知識(shí)的研究與反思等. 這樣的設(shè)計(jì)思路，對(duì)于教師理解數(shù)學(xué)及其教學(xué)，對(duì)于引導(dǎo)學(xué)生更好地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)，意義重大.

第三，雖然在上面兩點(diǎn)的闡述中，筆者從MKT成分分析與兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的選擇基礎(chǔ)上進(jìn)行了描述，但在實(shí)際教學(xué)中，MKT的有關(guān)成分實(shí)際上是密切聯(lián)系的，因此實(shí)際教學(xué)還是應(yīng)當(dāng)注重整體性的把握.

總之，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中借助MKT理論，可以很好地理解數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，提升對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的理解，從而讓課堂教學(xué)的高效化與學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)成為現(xiàn)實(shí).endprint