重慶外國語學(xué)校 周云龍

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在考試評價中的體現(xiàn)

重慶外國語學(xué)校 周云龍

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。這些核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體。 評價是數(shù)學(xué)教學(xué)的指揮棒，如果評價不變，教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)方法的改變是很難實現(xiàn)的，再好的教育理念也無法得到落實。2017年數(shù)學(xué)高考全國卷以能力立意，滲透核心素養(yǎng)，核心素養(yǎng)成為高考的熱詞，因此，從學(xué)科核心素養(yǎng)的角度分析高考試題，對以后的教育教學(xué)工作有重要的現(xiàn)實意義。 本文以2017年數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)理科卷2為例，談一談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在考試評價中的體現(xiàn)。

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。 主要包括：從數(shù)量到數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。

數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性的學(xué)科，研究對象是由現(xiàn)實世界抽象而來，通過數(shù)學(xué)抽象，形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，產(chǎn)生數(shù)學(xué)命題和模型，催生數(shù)學(xué)思想與方法，最終形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與理論體系。 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征一般性，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中。

例1 （2017年全國新課標(biāo)卷2，3題）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）

A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞

我們從斜拋運動、恩格爾系數(shù)與年份等情景中抽象出函數(shù)概念，并研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列、三角函數(shù)等都可以在函數(shù)的高度統(tǒng)一起來，讓學(xué)生可以用數(shù)學(xué)的眼光來觀察現(xiàn)實世界。 本題就是以數(shù)學(xué)文化為背景，從詩歌中抽象出數(shù)學(xué)問題，使用等比數(shù)列解決問題，是數(shù)學(xué)抽象的典型體現(xiàn)。

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程。 主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。

數(shù)學(xué)發(fā)展主要依賴的就是邏輯推理，通過邏輯推理得到數(shù)學(xué)命題和結(jié)論。 推理就是從命題判斷到命題判斷的思維過程；邏輯推理，就是從一些前提或事實出發(fā)，根據(jù)一定的規(guī)則得到或者驗證命題的思維過程。 邏輯推理保證了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

例2 （2017年全國新課標(biāo)卷2，7題）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績。老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績?？春蠹讓Υ蠹艺f：我還是不知道我的成績。根據(jù)以上信息，則（ ）

A.乙可以知道四人的成績

B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績

D.乙、丁可以知道自己的成績

解：總共2優(yōu)2良，甲說了之后——乙、丙成績1優(yōu)1良，甲、丁成績1優(yōu)1良，根據(jù)甲給的信息列出下表：

甲乙丙丁甲（知） √ √乙（知） √ √丙（知）丁（知） √ √

故有乙知道丙，所以知道乙，丁知道甲，所以知道丁，故選D。

本題沒有公式、沒有原理、沒有運算、沒有成熟的解題套路，需要的只是學(xué)生的邏輯推理能力，用數(shù)學(xué)的思維來思考現(xiàn)實世界。這種通過所學(xué)的基礎(chǔ)知識獲得解決問題的方法，并能用來解決生活實際中遇到的問題，正是邏輯推理這一核心素養(yǎng)的魅力所在。此外，還有題目20，第（1）問以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為依托，根據(jù)線段間向量關(guān)系求軌跡方程；第（2）問根據(jù)動直線相互垂直證明直線過定點，重點考查思維的靈活性和綜合應(yīng)用知識解決問題的能力。同時還有題目21等，都是經(jīng)典的邏輯推理考題。

2017年修訂后的數(shù)學(xué)學(xué)科考試大綱削枝強干，加強主體內(nèi)容，強調(diào)理性思維的考查。故本卷把考查邏輯推理能力作為命題的首要任務(wù)，運用數(shù)學(xué)知識作為載體，考查學(xué)生的縝密思維、嚴(yán)格推理能力。創(chuàng)新題目設(shè)計，運用日常生活語言和情境考查邏輯推理能力，在7題、20題、21題中體現(xiàn)明顯。

三、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題。

數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，在現(xiàn)代社會，幾乎所有的學(xué)科在科學(xué)化的過程中都要使用數(shù)學(xué)語言，通過建立數(shù)學(xué)模型刻畫研究對象的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的廣泛性。

例3 （2017年全國新課標(biāo)卷2，5題） 設(shè)x，y滿足約束條件

A.-15 B.-9 C.1 D.9

解：把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，繪制不等式組表示的可行域，如圖1所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)可得函數(shù)在點處取得最小值：，故選A。

圖1

利用數(shù)學(xué)建模解決實際應(yīng)用問題，首先要正確理解題意，分析條件和結(jié)論，理順關(guān)系；其次建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，將文字語言、圖形或數(shù)據(jù)表格轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識求解，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界。

四、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運算

數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程。 主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，涉及運算程序，求得運算結(jié)果等。

數(shù)學(xué)運算時，數(shù)學(xué)活動的基本形式是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段，也是屬于邏輯推理的一種形式，故數(shù)學(xué)運算和邏輯推理往往交融在一起，共同考查。

例4 （2017年全國新課標(biāo)卷2，21題） 已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，（1）求a；（2）證明：存在唯一的極大值點

本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、最值，解決函數(shù)值的范圍問題，考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力。數(shù)學(xué)離不開運算，運算包括對數(shù)值的計算，估值和近似計算，對式子的組合與分解，對幾何圖形形與量的計算等。運算準(zhǔn)確、快速，思維嚴(yán)謹(jǐn)和步驟完整是數(shù)學(xué)運算的基本要求，數(shù)學(xué)運算是邏輯推理的保證，是高中數(shù)學(xué)的必考點。

五、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之直觀想象

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。 主要包括：借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

直觀想象是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)，是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段。 直觀想象和數(shù)學(xué)抽象關(guān)系密切，往往交融在一起考查。

解：以BC邊所在直線為x軸，過A垂直于BC的直線為y軸，建立如圖2所示的坐標(biāo)系：

圖2

本題利用幾何直觀賦予向量以坐標(biāo)，把向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而可以快速解出。通過直觀想象，提升數(shù)形結(jié)合的能力，建立良好的數(shù)學(xué)直覺，理解事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律。此外，還有題目10、題目19等涉及直觀想象。

六、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，從而形成知識的過程。 主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，對信息進行分析、推斷獲得結(jié)論。

數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模關(guān)系密切，是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，已經(jīng)深入到現(xiàn)代生活和科學(xué)研究的各個方面。

例6 （2017年全國新課標(biāo)卷2，18題）海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100 個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下：

圖3-1

圖3-2

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的網(wǎng)箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率；

（2）填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為網(wǎng)箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50kg 箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)網(wǎng)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法網(wǎng)箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01），

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg 合計舊養(yǎng)殖法 62 38 100新養(yǎng)殖法 34 66 100合計 96 104 200

（2）

（3）新養(yǎng)殖法中，30～50的頻率為0.34，所以中位數(shù)估計為

采集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，從復(fù)雜數(shù)據(jù)中提煉出有效信息，提升數(shù)據(jù)處理能力，增強基于數(shù)據(jù)分析表達(dá)現(xiàn)實問題的意識，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗

2017年數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)理科2卷遵循課標(biāo)要求，以知識為載體，以思維能力為核心，全面考查學(xué)生的推理論證、運算、空間想象、數(shù)據(jù)處理以及應(yīng)用和創(chuàng)新能力。全卷加強對理性思維的考查，突出選拔性，滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，加強對應(yīng)用能力的考查，增強實踐性，考查通法通解，凸顯創(chuàng)新性。試題堅持能力立意為原則，體現(xiàn)了對“核心素養(yǎng)”的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和理性價值。

核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中該如何落實呢？把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)；創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題；啟發(fā)學(xué)生獨立思考、鼓勵學(xué)生與他人交流；使學(xué)生在掌握知識技能的同時，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)；積累數(shù)學(xué)思維和實踐的經(jīng)驗、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)是培養(yǎng)：具備數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的人；具備邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界的人；具備數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界的人。我們?nèi)沃氐肋h(yuǎn)。

[1]史寧中.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、評價與教學(xué)實施[J].中小學(xué)教材教學(xué)，2017（5）：4-9.

[2]馬云鵬.關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個問題[J].課程教材教法，2015（9）：36-39.

[3]沈婕，傅劍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的考生水平評價分析及教學(xué)建議[J].考試研究，2017（2）：12-22.

[4]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2008：1.