沈惠平 張 震 楊廷力 邵國(guó)為

(常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心，常州 213016)

3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)降耦設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

沈惠平 張 震 楊廷力 邵國(guó)為

(常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心，常州 213016)

根據(jù)基于方位特征(POC)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)理論與方法，提出了一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、能實(shí)現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析后發(fā)現(xiàn)其耦合度k較大(k=2)，其位置正解及動(dòng)力學(xué)計(jì)算較復(fù)雜；為此，設(shè)計(jì)了結(jié)構(gòu)降耦后的新機(jī)型，證明其耦合度k=1，其位置正解易用一維搜索法求出，并給出了基于序單開(kāi)鏈法的該機(jī)構(gòu)位置正解求解的一維搜索法及其數(shù)值解；同時(shí)，基于導(dǎo)出的機(jī)構(gòu)位置反解公式，分析了動(dòng)平臺(tái)的工作空間及其轉(zhuǎn)動(dòng)能力，探討了該機(jī)構(gòu)發(fā)生3種奇異位形的條件。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)； 方位特征； 耦合度； 結(jié)構(gòu)降耦； 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析； 一維搜索法

引言

國(guó)內(nèi)外對(duì)實(shí)現(xiàn)SCARA型(三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)，3T1R)輸出運(yùn)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了一些研究和應(yīng)用開(kāi)發(fā)[1-5]。國(guó)內(nèi)對(duì)3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的理論研究較多，樣機(jī)研制及其應(yīng)用開(kāi)發(fā)相對(duì)遲緩。2000年，趙鐵石等[6]提出了一種4-URU型三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人；2001年金瓊等[7]根據(jù)基于單開(kāi)鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，提出了一類(lèi)三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人，并申請(qǐng)了一組5個(gè)具有單動(dòng)平臺(tái)的三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)專(zhuān)利[8]，但未研制樣機(jī)；黃田等[9]于2010年開(kāi)發(fā)了具有2～3個(gè)動(dòng)平臺(tái)的四自由度三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)的系列Cross-IV型高速搬運(yùn)機(jī)器人；2012年劉辛軍等[10]研制了具有一個(gè)動(dòng)平臺(tái)的X4型并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)。

根據(jù)基于方位特征集(Position and orientation characteristics，POC)和序單開(kāi)鏈單元(Single open chain，SOC)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論和方法[11]，作者團(tuán)隊(duì)系統(tǒng)綜合了18種三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)[12-15]。

本文首先對(duì)其中之一的三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行POC集、自由度、耦合度3個(gè)主要拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征的分析，發(fā)現(xiàn)其耦合度k較大(k=2)；為此，對(duì)這一機(jī)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)降耦設(shè)計(jì)，使耦合度降低為1，但其基本功能(自由度和動(dòng)平臺(tái)輸出運(yùn)動(dòng))保持不變；采用基于序單開(kāi)鏈法的位置正解求解原理，對(duì)降耦后的并聯(lián)機(jī)構(gòu)(k=1)建立一個(gè)僅含一個(gè)虛擬變量的位置約束方程，并采用一維搜索法求得其全部正解數(shù)值解；又通過(guò)求解機(jī)構(gòu)的位置反解，對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行工作空間、轉(zhuǎn)動(dòng)能力及奇異性分析。

1 3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其拓?fù)涮匦苑治?/h2>

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

本文提出的機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)1、靜平臺(tái)0通過(guò)4條支鏈連接而成，如圖1所示[16]，其中，第I、III約束條支鏈包含5個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，其連接方式表示為Ri1∥Ri2∥Ri3⊥Ri4∥Ri5(i=1,3)(∥表示平行，⊥表示垂直，下同)；第II、IV條為無(wú)約束支鏈，其連接方式表示為Rj1-Sj1-Sj2(j=2,4)。動(dòng)平臺(tái)1上轉(zhuǎn)動(dòng)副R15、R35的軸線(xiàn)和其法線(xiàn)相平行；靜平臺(tái)0上的轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、R21、R31和R41為驅(qū)動(dòng)副，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R11與R31的軸線(xiàn)垂直，即R11⊥R31。

圖1 3T1R原始并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 Original 3T1R PM

該機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)是：①僅含兩條約束支鏈(Ⅰ、Ⅲ支鏈)，且為簡(jiǎn)單支鏈；所含運(yùn)動(dòng)副、構(gòu)件少，制造、裝配工藝性好。②機(jī)構(gòu)僅關(guān)于靜平臺(tái)0的對(duì)角線(xiàn)SS對(duì)稱(chēng)。

1.2 3T1R機(jī)構(gòu)的拓?fù)涮匦苑治?/p>

1.2.1機(jī)構(gòu)拓?fù)涮匦苑治龅睦碚摶A(chǔ)

(1)機(jī)構(gòu)的POC集

(1)

(2)

式中Mb——支鏈末端構(gòu)件的POC集

MJi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副(Joint)的POC集(末端構(gòu)件上的同一個(gè)基點(diǎn)O′)

Msj——當(dāng)支鏈含有子SOC串聯(lián)時(shí)，第j個(gè)子SOC的POC集

MPa——機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

(2)自由度

并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度公式為

(3)

其中

(4)

v=m-n+1

式中F——機(jī)構(gòu)自由度

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度

m——運(yùn)動(dòng)副數(shù)n——構(gòu)件數(shù)

v——獨(dú)立回路數(shù)

ξLj——第j個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)

Mb(j+1)——第(j+1)條支鏈末端構(gòu)件的POC集

(3)單開(kāi)鏈的約束度

第j個(gè)單開(kāi)鏈(SOCj)的約束度為

(5)

式中mj——第j個(gè)SOCj的運(yùn)動(dòng)副數(shù)

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副自由度(不含局部自由度)

Ij——第j個(gè)SOCj的驅(qū)動(dòng)副數(shù)

(4)耦合度的定義

獨(dú)立回路為v的BKC(Basic kinematics chain)可分解為v個(gè)單開(kāi)鏈SOC(Δj)(j=1,2,…,v)，因此，BKC的耦合度k定義為

(6)

其物理意義是：耦合度反映了機(jī)構(gòu)各獨(dú)立回路運(yùn)動(dòng)變量之間的關(guān)聯(lián)、依賴(lài)程度，也反映了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題求解的復(fù)雜性，且已證明：k越大，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的復(fù)雜度越高；對(duì)于k=0的機(jī)構(gòu)，其每個(gè)回路的運(yùn)動(dòng)量都能獨(dú)立求出，最終能得到位置正向解析解；若k>0，意味著機(jī)構(gòu)每個(gè)回路的運(yùn)動(dòng)量不能獨(dú)立求出，而需多個(gè)回路方程聯(lián)立求解，且耦合度k恰為機(jī)構(gòu)冗余回路(Δj>0)的虛擬變量數(shù)或約束回路(Δj<0)的運(yùn)動(dòng)約束方程數(shù)，可用k維搜索法求得其位置正解或動(dòng)力學(xué)逆解的數(shù)值解。

1.2.23T1R機(jī)構(gòu)的拓?fù)涮匦苑治?/p>

1.2.2.1機(jī)構(gòu)的POC集和自由度

(1)選定動(dòng)平臺(tái)1上任意一點(diǎn)O′為基點(diǎn)

(2)確定4條支鏈末端構(gòu)件的POC集

由式(1)有

(3)確定第1個(gè)獨(dú)立回路的位移方程數(shù)ξL1

① 第Ⅰ、Ⅲ條支鏈組成第1個(gè)回路，由式(4)有

② 第Ⅰ、Ⅲ條支鏈組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的DOF和POC，由式(3)有

由式(2)有

(4)確定第2個(gè)獨(dú)立回路的位移方程數(shù)ξL2

①由第1子并聯(lián)機(jī)構(gòu)及第Ⅱ條支鏈組成第2個(gè)回路，由式(4)有

②第1子并聯(lián)機(jī)構(gòu)及第Ⅱ條支鏈組成的第2個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)DOF和POC集，由式(3)有

由式(2)有

(5)確定第3個(gè)獨(dú)立回路的位移方程數(shù)ξL3

由第2個(gè)回路及第Ⅳ條支鏈組成第3個(gè)回路，由式(4)有

(6)確定機(jī)構(gòu)自由度

由式(3)有

(7)確定機(jī)構(gòu)的POC集

由式(2)有

因此，動(dòng)平臺(tái)1具有3個(gè)移動(dòng)和1個(gè)繞其法線(xiàn)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)輸出。

1.2.2.2機(jī)構(gòu)的耦合度

由上已求得ξLi=6(i=1，2，3)，因此由式(5)分別求得其約束度為

進(jìn)一步，由式(6)有

由此可知，該機(jī)構(gòu)盡管結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但耦合度仍較大，為k=2，因此，該機(jī)構(gòu)位置正解還較復(fù)雜，但可通過(guò)結(jié)構(gòu)降耦設(shè)計(jì)，使其k降低為1，在保持機(jī)構(gòu)的基本功能——POC和DOF不變的前提下，使機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和動(dòng)力學(xué)分析方便求解。

2 3T1R降耦機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)

根據(jù)作者提出的機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)降耦方法[17-18]，將圖1中的動(dòng)平臺(tái)1上的R15和R35重合，則成為如圖2所示的降耦機(jī)構(gòu)[19]，即該降耦機(jī)構(gòu)可視為由混合支鏈I及無(wú)約束支鏈Ⅱ、Ⅲ組成。

圖2 3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的降耦設(shè)計(jì)Fig.2 Coupling-reducing design of 3T1R PM

混合支鏈I: HSOC1{-R11∥R12∥R13⊥R14∥R35∥R34⊥R33∥R32∥R31-}，支鏈Ⅱ：SOC2{-R15-S22-S21-R21-}，支鏈Ⅲ：SOC3{-R41-S41-S42-}。

現(xiàn)對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)浞治鋈缦拢?/p>

2.1 降耦機(jī)構(gòu)的POC集和自由度

(1) 確定支路末端構(gòu)件的POC集

(2)確定第1個(gè)獨(dú)立回路的位移方程數(shù)ξL1

① 混合支鏈I構(gòu)成第1個(gè)回路，由式(4)知

② 該子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的DOF和POC集由式(2)、(3)有

(3)確定第2個(gè)獨(dú)立回路獨(dú)立位移方程數(shù)ξL2

①由混合支鏈Ⅰ、支鏈Ⅱ組成第2個(gè)回路，由式(4)有

② 該子并聯(lián)機(jī)構(gòu)DOF和POC集，由式(2)、(3)分別有

(4)確定第3個(gè)獨(dú)立回路的位移方程數(shù)ξL3

由式(4)有

(5)確定機(jī)構(gòu)自由度DOF

由式(3)有

(6)確定機(jī)構(gòu)的POC集

由式(2)有

可見(jiàn)，降耦設(shè)計(jì)后，機(jī)構(gòu)的自由度仍為F=4，動(dòng)平臺(tái)輸出仍為三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)。

2.2 降耦機(jī)構(gòu)的耦合度

同理，已求得ξLi=6(i=1，2，3)，因此，由式(5)得各回路的約束度分別為

顯然，該機(jī)構(gòu)只包含一個(gè)BKC，其耦合度為

由此可知，通過(guò)動(dòng)平臺(tái)1上運(yùn)動(dòng)副的復(fù)合，機(jī)構(gòu)的基本功能(POC和DOF)都沒(méi)變，但機(jī)構(gòu)的耦合度已降低為1，因此，機(jī)構(gòu)的位置正解可由基于序SOC的一維搜索法較易求得。

3 3T1R降耦機(jī)構(gòu)的位置分析

3.1 位置正解分析

3.1.1坐標(biāo)系建立及符號(hào)標(biāo)注

機(jī)構(gòu)位置分析求解模型如圖3所示, 靜平臺(tái)0為邊長(zhǎng)2a的正方形,動(dòng)平臺(tái)1為直角邊長(zhǎng)為2m的等腰直角三角形，4個(gè)主動(dòng)副R11、R21、R31、R41均位于各邊中點(diǎn)。靜坐標(biāo)系OXYZ建立在靜平臺(tái)0的中心，且X軸平行于R31的軸線(xiàn)，Y軸平行于R11的軸線(xiàn)，Z軸由右手法則確定；而動(dòng)坐標(biāo)系Puvw位于動(dòng)平臺(tái)1的中心點(diǎn)P，u軸平行于R15S42邊，v軸平行于R15S22邊，w軸同樣由右手法則確定。

圖3 3T1R降耦機(jī)構(gòu)的位置分析模型Fig.3 Position analysis model of 3T1R coupling-reducing PM

為理解方便，將圖3機(jī)構(gòu)展開(kāi)為平面圖，如圖4所示，其中，直線(xiàn)SS為正方形靜平臺(tái)0的對(duì)角線(xiàn)。

圖4 3T1R降耦機(jī)構(gòu)的俯視展開(kāi)圖Fig.4 Expanding top-view of 3T1R coupling-reducing PM

圖5 混合支鏈結(jié)構(gòu)Fig.5 Structure of hybrid branched chain

機(jī)構(gòu)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：混合支鏈Ⅰ中，如圖5所示，hij表示2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副Rij、Ri,j+1之間的桿長(zhǎng) (i=1,3;j=1,2,3,4)；如圖3所示，αi表示轉(zhuǎn)動(dòng)副R1i的轉(zhuǎn)角(i=1,2,3)，βj表示轉(zhuǎn)動(dòng)副R3j的轉(zhuǎn)角(j=1,2,3)。無(wú)約束支鏈Ⅱ、Ⅲ中(圖3)，hi1表示轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri1與球副Si1之間的桿長(zhǎng)，hi2表示球副Si1與球副Si2之間的桿長(zhǎng)(i=2,4)；δ1、θ1分別表示轉(zhuǎn)動(dòng)副R21、R41的轉(zhuǎn)角。

動(dòng)平臺(tái)1繞Z軸方向的轉(zhuǎn)角為γ，如圖6所示。

圖6 姿態(tài)角γ的度量Fig.6 Measurement of angle γ

該機(jī)構(gòu)位置正解可描述為：已知輸入角α1、δ1、β1、θ1，求動(dòng)平臺(tái)1的位置P(x,y,z)及轉(zhuǎn)角γ。

3.1.2基于序SOC的機(jī)構(gòu)位置正解求解原理及算法

根據(jù)式(5)，單開(kāi)鏈的約束度有正值、零、負(fù)值3種形式，其物理意義是：

根據(jù)上述求解原理，進(jìn)一步給出該機(jī)構(gòu)基于序SOC的位置正解的求解算法，如下：

3.1.3求解Δ1>0的HSOC1上各運(yùn)動(dòng)副位置

由HSOC1中的分支鏈{-R11-R12-R13- R14-R35-R15-}，可依次求得點(diǎn)R11、R12、R13、R14、R35、R15的坐標(biāo)，再由矢量方程lOP=lOR15-lPR15求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為

(7)

同理，由HSOC1的另一條分支鏈{-R31-R32- R33-R34-R35-R15-}，可依次求得點(diǎn)R31、R32、R33、R34、R35、R15的坐標(biāo)，再由矢量方程lOP=lOR15-lPR15求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為

(8)

由式(7)、(8)可得

h12sinα2-h32sinβ2=t1

(9)

-h34sinβ3=t2+h14sinα3

(10)

-h34cosβ3=t3+h14cosα3

(11)

其中

t1=-h11sinα1-h13+h31sinβ1+h33

t2=-a-h31cosβ1-h32cosβ2
t3=a+h11cosα1+h12cosα2

從式(10)、(11)中消去β3，有

A1sinα3+B1cosα3+C1=0

令

(12)

解得

(13)

其中A1=2t2h14B1=2t3h14

因此，α3也是虛擬變量α2的函數(shù)。

3.1.4求解Δ2=0的SOC2上各運(yùn)動(dòng)副位置

由支鏈Ⅱ，得S21、S22的坐標(biāo)分別為(0,-a+h21cosδ1,h21sinδ1)、(a+h11cosα1+h12cosα2+h14cosα3+2msinγ,h14sinα3-2mcosγ,h11sinα1+h12sinα2+h13+h15)。于是，由桿長(zhǎng)約束條件lS21S22=h22，整理并化簡(jiǎn)有

A2sinγ+B2cosγ+C2=0

令

(14)

解得

(15)

其中A2=4m(a+h11cosα1+h12cosα2+h14cosα3)

B2=-4m(h14sinα3+a-h21cosδ1)
C2=(h14sinα3+a-h21cosδ1)2+4m2+(a+
h11cosα1+h12cosα2+h14cosα3)2+

3.1.5建立Δ3<0的SOC3上的目標(biāo)函數(shù)

由支鏈Ⅲ，得S41、S42的坐標(biāo)分別為(-a+h41cosθ1,0,h41sinθ1)、(a+h11cosα1+h12cosα2+h14cosα3-2mcosγ,h14sinα3-2msinγ,h11sinα1+h12sinα2+h13+h15)。同樣，由桿長(zhǎng)約束條件S41S42=h42，整理并化簡(jiǎn)得

(16)

為方便理解，上述計(jì)算過(guò)程如圖7所示。

圖7 降耦機(jī)構(gòu)位置正解的流程Fig.7 Flow chart of forward position of coupling-reducing PM

3.2 位置反解分析

該機(jī)構(gòu)位置反解可描述為：已知?jiǎng)悠脚_(tái)1的位置P(x,y,z)及轉(zhuǎn)角γ，求輸入轉(zhuǎn)角α1、β1、δ1、θ1。

3.2.1求主動(dòng)副R11的輸入角α1

由式(7)可知

則

(17)

由式(7)中的x、z坐標(biāo)，可得

-h12cosα2=P0+h11cosα1

(18)

-h12sinα2=P1+h11sinα1

(19)

從式(18)、(19)中消去α2，有

P2sinα1+P3cosα1+P4=0

其中

令

(20)

解得

(21)

這樣，由式(20)、(21)可直接求出輸入角α1。

3.2.2求主動(dòng)副R31的輸入角β1

由式(8)可知

即

(22)

由式(8)中的y、z坐標(biāo)，可得

h32cosβ2=P5-h31cosβ1

(23)

h32sinβ2=P6-h31sinβ1

(24)

從式(23)、(24)中消去β2，有

P7sinβ1+P8cosβ1+P9=0

令

(25)

解得

(26)

這樣，由式(25)、(26)，可直接求出輸入角β1。

3.2.3求主動(dòng)副R21的輸入角δ1

由桿長(zhǎng)約束條件lS21S22=h22，整理并化簡(jiǎn)可得

Q1sinδ1+Q2cosδ1+Q3=0

(27)

其中

Q1=-2zh21

令

(28)

解得

(29)

根據(jù)式(28)、(29)，可直接求出輸入角δ1。

3.2.4求主動(dòng)副R41的輸入角θ1

由桿長(zhǎng)約束條件lS41S42=h42，并整理可得

Q4sinθ1+Q5cosθ1+Q6=0

(30)

其中

Q4=-2zh41

令

(31)

解得

(32)

因此，根據(jù)式(31)、(32)，可直接求出輸入角θ1。

由上可知，該機(jī)構(gòu)存在24=16組反解。

3.3 位置正反解實(shí)例驗(yàn)算

3.3.1正解算例

設(shè)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為(單位:cm)：h11=20;h12=30;h13=5;h14=10;h15=5;h21=20;h22=40;h41=20;h42=40;h31=20;h32=30;h33=5;h34=10;a=30;m=10。

設(shè)4個(gè)主動(dòng)輸入角為：α1=116.927 6°;β1=86.151 4°;δ1=99.326 8°;θ1=89.844 6°。

表1 機(jī)構(gòu)位姿正解數(shù)值Tab.1 Numerical forward solutions of PM

3.3.2逆解算例

將表1中正解第2組數(shù)據(jù)結(jié)果，代入式(20)、(21)、(25)、(26)、(28)、(29)、(31)、(32)，可得16組實(shí)數(shù)反解，其中，一組反解為:α′1=116.926 4°;β′1=86.156 4°;δ′1=99.326 4°;θ′1=90.005 1°。

可見(jiàn)，與給定的4個(gè)輸入角一致，從而驗(yàn)證了其正反解的正確性。

4 降耦機(jī)構(gòu)的工作空間和轉(zhuǎn)動(dòng)能力分析

4.1 工作空間分析

工作空間是衡量并聯(lián)機(jī)器人性能的一個(gè)重要指標(biāo)，本文采用極限搜索法對(duì)該3T1R降耦機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行分析，即先設(shè)定該工作空間的搜索范圍，基于導(dǎo)出的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，查找該工作空間內(nèi)所有滿(mǎn)足桿長(zhǎng)約束、運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角約束、連桿干涉約束的點(diǎn)；若其中的任一值超出了其允許值，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在工作空間外，表示機(jī)構(gòu)此時(shí)的位姿達(dá)不到；反之，該點(diǎn)位于工作空間的邊界。這些點(diǎn)所構(gòu)成的三維立體圖，即為該機(jī)構(gòu)能夠達(dá)到的工作空間。

機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，已在3.3節(jié)中給出。為了找到空間中滿(mǎn)足要求的點(diǎn)，先確定空間三維搜索范圍：0≤z≤50，-π≤θ≤π, 0≤ρ≤50(θ、ρ分別為柱坐標(biāo)系中搜索角度和搜索半徑)；約束條件：-π≤α1(β1,δ1,θ1)≤π；于是，通過(guò)Matlab軟件編程，得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的三維立體圖及各截面圖，分別如圖8、圖9所示。

圖8 降耦機(jī)構(gòu)的三維工作空間Fig.8 Three-dimensional workspace of coupling-reducing PM

圖9 工作空間的X-Y截面圖Fig.9 X-Y cross-sectional views of workspace

從圖9可看出：①該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間連續(xù)，且對(duì)稱(chēng)于靜平臺(tái)0的對(duì)角線(xiàn)SS。②隨著Z的增加，機(jī)構(gòu)工作空間X-Y截面圖形的面積逐漸減小，但圖形更加規(guī)則。

4.2 轉(zhuǎn)動(dòng)能力分析

動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)能力即為末端執(zhí)行器在工作區(qū)域內(nèi)的轉(zhuǎn)角范圍，是衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出轉(zhuǎn)動(dòng)靈活性能的又一個(gè)重要指標(biāo)。這里同樣采用極限邊界搜索法，基于導(dǎo)出的位置反解公式，通過(guò)固定高度Z處的X-Y截面來(lái)分析該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)能力，即通過(guò)改變搜索半徑ρ以及搜索角度θ，分別計(jì)算動(dòng)平臺(tái)在此X-Y截面內(nèi)轉(zhuǎn)角的最大值(γmax)和最小值(γmin)。

現(xiàn)取高度Z=40 cm,分別計(jì)算該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)在其X-Y截面上各點(diǎn)的轉(zhuǎn)角最大值(γmax)、最小值(γmin)的分布，如圖10所示。

圖10 該3T1R降耦機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)能力Fig.10 Rotation ability of 3T1R coupling-reducing PM

由圖10可以看出，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)角最大值的范圍γmax∈[0°,160°]，轉(zhuǎn)角最小值的范圍γmin∈[-140°,0°]。

5 3T1R降耦機(jī)構(gòu)的奇異位形分析

3.2節(jié)已導(dǎo)出該機(jī)構(gòu)的位置反解公式，對(duì)此直接求導(dǎo)，可獲得機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)末端執(zhí)行器的輸出速度關(guān)于主動(dòng)關(guān)節(jié)輸入角速度的雅可比矩陣，當(dāng)雅可比矩陣奇異時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形出現(xiàn)。

5.1 雅可比矩陣求解

由混合支鏈Ⅰ中的左、右分支鏈，可求出點(diǎn)R14、R34的坐標(biāo)分別為(0,a+h11cosα1+h12cosα2,h11sinα1+h12sinα2+h13)；(b+h31cosβ1+h32cosβ2,0,h31sinβ1+h32sinβ2+h33)。

①由桿長(zhǎng)條件lR14R35=h14，可得

(33)

其中

② 由桿長(zhǎng)條件lR34R35=h34，可得

(34)

(2)由支鏈Ⅱ，已求得S21、S22坐標(biāo)(3.1.4節(jié))

由桿長(zhǎng)條件lS21S22=h22可得

(35)

其中

(3)由支鏈Ⅲ，已求得S41、S42坐標(biāo)(3.1.5節(jié))

由桿長(zhǎng)約束lS41S42=h42可得

(36)

其中

Jpv=Jqω

(37)

其中

5.2 奇異位形分析

當(dāng)雅可比矩陣行列式值為零時(shí)，機(jī)構(gòu)將出現(xiàn)奇異位形；即式(37)中，當(dāng)Jp和Jq中任何1個(gè)或2個(gè)矩陣行列式為零，機(jī)構(gòu)均會(huì)出現(xiàn)奇異位形，即有：逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異、正向運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異及組合奇異3類(lèi)。

(1)逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異

即det(Jq)=0，可得Jq矩陣行列式解的集合D為

D=D1∪D2∪D3∪D4

其中

D1={M2sinα1-M3cosα1=0}

(38)

D2={M4sinβ1-M6cosβ1=0}

(39)

D3={N2sinδ1-N3cosδ1=0}

(40)

D4={N4sinθ1-N6cosθ1=0}

(41)

對(duì)該機(jī)構(gòu)而言，滿(mǎn)足式(38)～(41)中的任意一個(gè)公式即發(fā)生該類(lèi)奇異。這類(lèi)奇異一般是指機(jī)構(gòu)處于工作空間邊界或者位置反解數(shù)目發(fā)生變化時(shí)的位形。

當(dāng)式(38)或(39)成立時(shí)，桿R11R12與R12R13或桿R31R32與R32R33被拉直或重疊共線(xiàn)；桿R11R12與R12R13拉直共線(xiàn)的情形如圖11a所示。

當(dāng)式(40)或(41)成立時(shí)，桿R21S21與S21S22或桿R41S41與S41S42被拉直或重疊共線(xiàn)；桿R21S21與S21S22拉直共線(xiàn)的情形如圖11b所示。

圖11 3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異位形Fig.11 Inverse kinematics singularity of 3T1R PM

這樣，通過(guò)控制驅(qū)動(dòng)副轉(zhuǎn)角，可使機(jī)構(gòu)的工作位置盡量遠(yuǎn)離奇異位形點(diǎn)。

(2)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異

即det(Jp)=0，從數(shù)學(xué)上求解該方程，并找出所有的正向奇異位形點(diǎn)較為困難，但可用解析幾何法能較為直觀地找出奇異位形點(diǎn)。

具體為，將矩陣Jp看作4個(gè)行向量，如式(42)所示，可發(fā)現(xiàn)矩陣Jp各行向量，分別對(duì)應(yīng)從動(dòng)R14R35、R34R35、S21S22、S41S42在定坐標(biāo)系中的空間矢量。當(dāng)發(fā)生該類(lèi)奇異位形時(shí)，盡管驅(qū)動(dòng)桿被鎖定，機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)也將具有一定自由度，此時(shí)，機(jī)構(gòu)將失去剛度，無(wú)法承受任何承載。

(42)

由矢量的幾何分析可知，當(dāng)e1、e2兩矢量平行，及e3、e4兩矢量平行并與動(dòng)平臺(tái)1共面時(shí)，該機(jī)構(gòu)出現(xiàn)正向奇異位形，此時(shí)，從動(dòng)桿R14R35與R34R35平行；從動(dòng)桿S21S22與S41S42平行，并與動(dòng)平臺(tái)1共面。

這種奇異位形可通過(guò)控制驅(qū)動(dòng)副轉(zhuǎn)角，來(lái)避免發(fā)生。

(3)組合奇異

即det(Jp)=0且det(Jq)=0。這種奇異位形只有當(dāng)上述2種奇異同時(shí)發(fā)生時(shí)才會(huì)產(chǎn)生。此時(shí)，桿R11R12與R12R13被拉直共線(xiàn)，從動(dòng)桿R14R35與R34R35平行，從動(dòng)桿S21S22與S41S42平行。當(dāng)機(jī)構(gòu)處于該奇異位形時(shí)，機(jī)構(gòu)將失去自由度，從而失去原有的運(yùn)動(dòng)特性。

6 結(jié)論

(1)運(yùn)用基于POC和SOC的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，通過(guò)并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)降耦設(shè)計(jì)，可降低并聯(lián)機(jī)構(gòu)的耦合度，可設(shè)計(jì)基本功能(POC和DOF)不變的低耦合度并聯(lián)機(jī)構(gòu),從而使其位置正解求解大大簡(jiǎn)化。

(2)3T1R降耦機(jī)構(gòu)，動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單，還具有較好的對(duì)稱(chēng)性；采用基于序單開(kāi)鏈法的位置正解求解原理，僅需建立一個(gè)含一個(gè)虛擬變量的位置約束方程，即可采用一維搜索法求得其全部正解數(shù)值解。

(3)基于位置反解，分別得到了3T1R降耦機(jī)構(gòu)的工作空間和轉(zhuǎn)動(dòng)能力，表明該機(jī)構(gòu)工作空間規(guī)則連續(xù)，轉(zhuǎn)動(dòng)能力大；同時(shí)還得到了該機(jī)構(gòu)發(fā)生奇異位形的條件。

1 ClAVEL R.Device for the movement and positioning of an element in space: US,4976582A[P].1990-12-11.

2 ABB．IRB 360 flexpicker[EB/OL]．[2015-05-06]．http：∥www．new．a(chǎn)bb．com/products/robotics/industrials-robots/irb-360.

3 PIERROT F，COMPANY O.H4：a new family of 4-dof parallel robots[C]∥1999 IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics，1999：508-513.

4 KRUT S，COMPANY O，BENOIT M，et al.I4：a new parallel mechanism for SCARA motions[C]∥Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation，2003：1875-1880.

5 NABAT V，COMPANY O，KRUT S，et al.Par4：very high speed parallel robot for pick-and-place[C]∥Proceedings of the IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems，2005：1202-1207.

6 趙鐵石,黃真.欠秩空間并聯(lián)機(jī)器人輸入選取的理論和應(yīng)用[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2000，36(10)：81-85.

ZHAO Tieshi,HUANG Zhen．Theory and application of selecting actuating components of spatial parallel mechanisms [J]．Chinese Journal of Mechanical Engineering，2000，36(10)：81-85.(in Chinese)

7 金瓊，楊廷力，劉安心，等.基于單開(kāi)鏈單元的三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)型綜合及機(jī)構(gòu)分類(lèi)[J].中國(guó)機(jī)械工程，2001，12(9)：1038-1043.

JIN Qiong，YANG Tingli，LIU Anxin，et al． Kinematics analysis of a parallel pneumatic and hydraulic linkage based on singleopened-chain[J]．China Mechanical Engineering，2001，12(9): 1038-1043．(in Chinese)

8 楊廷力，金瓊，羅玉峰，等.用于虛軸機(jī)床與機(jī)器人等的一類(lèi)(三平移一轉(zhuǎn)動(dòng))并聯(lián)機(jī)構(gòu)：中國(guó)，200310106012.4 [P]．2004-09-15.

YANG Tingli，JIN Qiong，LUO Yufeng，et al．A class of 3T1R parallel mechanisms used for virtual axis machine tools and robots：CN,200310106012.4 [P]．2004-09-15.(in Chinese)

9 黃田，劉海濤，李曚．五自由度機(jī)器人：中國(guó)，200510014459.8[P]．2005-12-21.

HUANG Tian，LIU Haitao，LI Meng．The robot with five degree of freedom：CN, 200510014459.8[P]．2005-12-21.(in Chinese)

10 劉辛軍，謝福貴，王立平，等．一種可實(shí)現(xiàn)SCARA運(yùn)動(dòng)的四自由度單動(dòng)平臺(tái)并聯(lián)機(jī)構(gòu)：中國(guó)，201210435375.1[P]．2012-02-03．

LIU Xinjun，XIE Fugui，WANG Liping，et al．A four freedom of degree parallel mechanism with single moving platform which can achieve scara move：CN，201210435375.1[P]．2012-02-03．(in Chinese)

11 楊廷力，劉安心，羅玉峰，等.機(jī)器人機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社，2012.

12 沈惠平，楊廷力，邵國(guó)偉，等.一種三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)械手：中國(guó)，201510650394.X[P]．2015-12-09．

SHEN Huiping，YANG Tingli，SHAO Guowei，et al．Three translations and one rotation mechanism manipulator：CN,201510650394.X[P]．2015-12-09．(in Chinese)

13 沈惠平，楊廷力，李云峰，等.一種三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人抓放器：中國(guó)，201510648948.2[P]．2015-10-09

SHEN Huiping，YANG Tingli，LI Yunfeng，et al．Three translations and one rotation parallel robot catcher：CN,201510648948.2[P]．2015-10-09．(in Chinese)14 沈惠平，楊廷力，朱偉，等.一種三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人平臺(tái)：中國(guó)，201510566840.9[P]．2015-12-09．

SHEN Huiping，YANG Tingli，ZHU Wei，et al．A parallel robot platform with three translations and one rotation：CN, 201510566840.9[P]．2015-12-09．(in Chinese)

15 沈惠平，楊廷力，朱小蓉，等.一種三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人：中國(guó)，201510564382.5[P]．2015-12-09．

SHEN Huiping，YANG Tingli，ZHU Xiaorong，et al．Three translations and one rotation parallel robot：CN,201510564382.5[P]．2015-12-09．(in Chinese)

16 沈惠平,邵國(guó)為,朱小蓉,等.基于POC法的多環(huán)耦合并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)涮卣鞣治鯷J/OL].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào),2016,47(4):349-354.http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?flag=1&file_no=20160446&journal_id=jcsam.DOI：10.6041/j.issn.1000-1298.2016.04.046

SHEN Huiping,SHAO Guowei,ZHU Xiaorong,et al.POC method based topology characteristic analysis of multi-loop coupled mechanisms[J/OL].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2016,47(4):349-354.(in Chinese)

17 沈惠平,朱小蓉,尹洪波,等．并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)降耦原理及其設(shè)計(jì)方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2016,52(23):102-113.

SHEN Huiping,ZHU Xiaorong,YIN Hongbo,et al.Study on the principle and design method for structure coupling-reducing of parallel mechanisms[J].Journal of Mechanical Engineering,2016,52(23):102-113.(in Chinese)

18 SHEN Huiping，YANG Liangjie，MENG Qingmei，et al.Topological structure coupling-reducing of parallel mechanisms[C]∥2015 IFToMM World Congress，2015:OS13-120．

19 沈惠平,朱偉,曾氫菲,等.一種低耦合度三運(yùn)動(dòng)副動(dòng)平臺(tái)的三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人操作手：中國(guó)，201610141778.3[P].2016-06-08．

SHEN Huiping，ZHU Wei，ZENG Qingfei，et al．A low coupling degree three translation and one rotation parallel robot device with three joint moving platform：CN,201610141778.3[P].2016-06-08．(in Chinese)

20 朱小蓉,宋月月,孫晨,等.2RRUR-2RSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特性與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析[J/OL].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào),2016,47(12):408-415.http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?flag=1&file_no=20161252&journal_id=jcsam.DOI:10.6041/j.issn.1000-1298.2016.12.052.

ZHU Xiaorong，SONG Yueyue，SUN Chen，et al.Structural characteristics and kinematic analysis for novel 2RRUR-2RSS parallel mechanism[J/OL].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2016,47(12):408-415.(in Chinese)

StructureCoupling-reducingDesignandKinematicsAnalysisof3T1RParallelMechanism

SHEN Huiping ZHANG Zhen YANG Tingli SHAO Guowei

(ResearchCenterforAdvancedMechanismTheory,UniversityofChangzhou,Changzhou213016,Chian)

There is a wide range of industrial applications for the 4-DOF parallel mechanism which can achieve SCARA type output motion (i.e., three translations and one rotation).However, due to the complex topological structures, the research and development of its new model are still relatively few.Firstly, according to the parallel mechanism design theory and method based on the orientation characteristic (POC), a SCARA type parallel mechanism whose structure was simple was proposed.Because the coupling degree was 2, positive solution of position and dynamics calculation of the parallel mechanism were very complex.So the new model after structure coupling-reducing (k=1) was given, its positive solutions can be easily solved by one-dimensional search method.Then the three main topological characteristics of POC set, degree of freedom and the coupling degree were respectively analyzed.The kinematics analysis of the new model whose coupling degree was one after structure coupling-reducing was given, and the solution algorithm for the forward position of this parallel mechanism was established.This method can obtain all the numerical solutions of the forward position by using one-dimensional searching method, and can verify the correctness of the forward position by the derived calculation formula of the inverse position.Finally, based on the inverse position of the mechanism, the working space of this parallel mechanism was obtained and the singularity of the mechanism was discussed, which provided a theoretical foundation for the prototype design and application of this mechanism.

parallel mechanism; orientation characteristic; coupling degree; structure coupling-reducing; kinematics analysis; one-dimensional searching method

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.10.049

TH112

A

1000-1298(2017)10-0380-10

2017-01-17

2017-02-18

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51475050、51375062)和江蘇省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(BE2015043)

沈惠平(1965—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事機(jī)構(gòu)學(xué)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究，E-mail：shp65@126.com