江蘇南京市高淳區(qū)寶塔小學 吳小輝

對話結(jié)構(gòu)，助力數(shù)學概念學習
——以《分數(shù)的意義》的教學為例

江蘇南京市高淳區(qū)寶塔小學 吳小輝

認知的結(jié)構(gòu)觀強調(diào)學習是學生內(nèi)部認知結(jié)構(gòu)的形成和重組的過程，有意義的學習過程就是符號代表的新知識與學生認知結(jié)構(gòu)中已有的適當觀念建立的非人為的實質(zhì)聯(lián)系。教學中，教師一方面應(yīng)該把握數(shù)學知識的核心本質(zhì)和蘊含的數(shù)學思想，另一方面也要充分考慮學生原有的經(jīng)驗，包括生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗、思維方式等，在這兩者之間建立對話的橋梁，開展適切的數(shù)學活動，使學生經(jīng)歷學習真正發(fā)生的過程，準確地掌握數(shù)學概念，構(gòu)建數(shù)學知識的整體結(jié)構(gòu)。

一、對話思維結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)換思維方式

小學生的數(shù)學思維容易形成自然結(jié)構(gòu)，這種自然結(jié)構(gòu)是通過感知已有的知識和經(jīng)驗獲得相關(guān)信息，按照自身的經(jīng)驗將這些信息聯(lián)系起來所自然形成的一種思維結(jié)構(gòu)。與之相對應(yīng)的是思維的加工結(jié)構(gòu)，它是完成學習任務(wù)的一種應(yīng)然結(jié)構(gòu)，也就是期望學生所形成的思維結(jié)構(gòu)。這兩種思維結(jié)構(gòu)之間的差異往往是學生學習過程中的難點。因此，教師既要了解思維的加工結(jié)構(gòu)，又需要了解學生思維的自然結(jié)構(gòu)，在教學中有意識地讓學生經(jīng)歷自然結(jié)構(gòu)與加工結(jié)構(gòu)之間的對比與轉(zhuǎn)換，幫助學生轉(zhuǎn)變思維方式。

【案例描述】

課件展示，依次出示5個蘋果。教師邊展示，學生邊數(shù)一數(shù)。

師：我們認識物體往往從一個物體開始。但是如果換一個角度，你可能會有不同的發(fā)現(xiàn)。

課件展示：

師：如果將5個蘋果看成“1”，紅色蘋果用什么數(shù)來表示？

師：同樣的5個蘋果，觀察的角度不同，得到的結(jié)果也不同。將1個蘋果看成1，一共就有5個蘋果；如果將5個蘋果組成的一個整體看成1，每個蘋果就是這個整體的。

人們對數(shù)的認識在不斷深化和發(fā)展，這一過程從自然數(shù)開始，因為只有自然數(shù)是自然地存在著的，某種意義上說是看得見、摸得著的。從這一層面來看，自然數(shù)就是學生腦中關(guān)于數(shù)的認識的自然結(jié)構(gòu)。作為分數(shù)而言，則來自于人類在生活中再創(chuàng)造的模型，屬于一種加工結(jié)構(gòu)。站在學生的已有思維結(jié)構(gòu)分析，他們往往會將自然數(shù)的思維方式遷移到分數(shù)的學習中，即一個一個地數(shù)，先部分后整體，這是固化的數(shù)學思維方式。相反地，分數(shù)的認識則需要先關(guān)注整體，再確定部分。這截然不同的兩種思維方式就是學生在學習分數(shù)概念時面臨的問題。追尋學生認數(shù)的過程，其基本起點是從自然數(shù)1開始，如何將現(xiàn)在的分數(shù)思維方式與原有的自然數(shù)思維方式有機融合應(yīng)該是教師重點考慮的。因此，教學中以合適的載體幫助學生切實體會到兩種不同思維方式的存在，對學生分數(shù)概念的學習非常重要。

二、對話經(jīng)驗結(jié)構(gòu)，明晰本質(zhì)屬性

任何知識的學習和理解都要充分考慮學生原有的學習經(jīng)驗，以學生已有的相關(guān)知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，通過深層次的思維活動，對原有經(jīng)驗做出相應(yīng)的調(diào)整、改造和整合，從而準確理解和建構(gòu)新的知識。

【案例描述】

師：用分數(shù)表示下列圖形中的涂色部分。

學生匯報每幅圖分別用什么分數(shù)表示，是怎樣想的。

師：比一比，根據(jù)你們的經(jīng)驗，這幾幅圖可以怎樣進行分類？

在師生交流的基礎(chǔ)上明確，1個物體、1個圖形、1個計量單位、1個整體等被平均分成4份，其中的1份都可以用來表示。

……

（引入單位“1”的概念）

師：說一說上面每幅圖中分別把什么看成單位“1”。

學生在以前的學習中，已經(jīng)初步認識到可以把一個物體、計量單位、圖形等進行平均分從而得到分數(shù)，也可以把許多物體組成的一個整體平均分得到分數(shù)，但這些經(jīng)驗都是處于零散的分布狀態(tài)。如果這些分散的經(jīng)驗積聚起來并加以提煉，就會使學生認識到無論被平均分的對象是什么，無論有多大、有多少，都可以用1個單位量來表示，這個單位“1”的出現(xiàn)體現(xiàn)了一種高度概括的數(shù)學思想。

單位“1”是一個不定性、不定量的數(shù)學概念，單位“1”的理解對學生指認分數(shù)概念的影響很大，無法正確認識單位“1”，會讓學生分數(shù)的學習變得毫無意義。因此在分數(shù)的學習時，教師應(yīng)該激活學生原始的經(jīng)驗結(jié)構(gòu)，在比較中逐步明晰概念本質(zhì)，促進分數(shù)概念的學習。上述案例中，充分利用了與學生學習、生活相關(guān)的素材作為教學背景，呈現(xiàn)不同的，在研究中使學生聚焦于不同的素材都能用來表示，都將不同的對象平均分成了四份，涂色部分都是這樣的一份，這樣學生各自在已有的“”的經(jīng)驗基礎(chǔ)上，既提升了對“”更一般的認識，又準確理解了單位“1”的本質(zhì)。

三、對話表征結(jié)構(gòu)，豐富思維經(jīng)驗

布魯納在《教育過程》中明確指出了學科結(jié)構(gòu)論，認為學生學習的重點不應(yīng)是學科的現(xiàn)成知識，而應(yīng)是該學科的基本概念、基本原理、基本規(guī)律及其相互聯(lián)系。因此，知識越是基本，就越應(yīng)該放在復雜的情境中進行檢驗，以不同的表征形式來檢驗學生的習得，這樣運用知識解決新問題的適應(yīng)性就越寬廣，產(chǎn)生遷移的可能性就越大，有利于培養(yǎng)學生舉一反三、觸類旁通的能力。

【案例描述】

師：你能在括號里填上合適的分數(shù)嗎？

師：請你估一估，大概是幾分之幾？怎樣才能得到準確的分數(shù)？

根據(jù)學生的回答，課件中展示將0到1平均分成6份，第一個括號可用表示。

師：第二個括號可以用什么分數(shù)來表示？

師：可不可以用其他分數(shù)來表示？

學生思考、交流，認識到還可以將0到1看成平均分成了三份，第二個括號用表示。

……

小學生的數(shù)學思維易呈現(xiàn)單維度表征，習慣從一個維度去思考問題，當需要從兩個維度甚至多個維度去深入思考時，他們就顯得力不從心，無所適從。分數(shù)單位是分數(shù)中的重要概念，與以往的整數(shù)計數(shù)單位相比，分數(shù)單位更加抽象，這也是本節(jié)課學習的難點之一。盡管學生能夠說出諸如的分數(shù)單位是等，但這并不能說明學生真正理解了分數(shù)單位，這僅僅是形式上的認知。如何讓學生經(jīng)歷過程，正確地建立分數(shù)單位的概念非常重要。案例中的第二個括號既可以用兩個（即）表示，又可以用表示，這需要學生從不同的表征來理解數(shù)軸上平均分的份數(shù)以及相對應(yīng)的分數(shù)單位。這種復雜的情境促使學生直觀認識到由于平均分的方法不同，所得到的分數(shù)單位也不同，數(shù)軸上同樣的點有時可以用不同的分數(shù)來表示，這對于學生的分數(shù)學習來說是一個新的收獲。用同樣的問題情境，把不同的表征形式聯(lián)系起來，實現(xiàn)了學生結(jié)構(gòu)化的抽象認識。

四、對話知識結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)整體建構(gòu)

數(shù)學課程標準指出：“數(shù)學知識的教學，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系?！睂W生主動建構(gòu)內(nèi)部心理表征的過程，主要包括兩方面：一是對新知識的意義的建構(gòu)，二是對原有經(jīng)驗結(jié)構(gòu)的改造與重組。教學中，教師要充分關(guān)注相關(guān)知識的比較與聯(lián)系，打通知識之間的脈絡(luò)，從數(shù)學思想的高度建構(gòu)知識的整體結(jié)構(gòu)。

【案例描述】

師：剛才我們研究了分數(shù)，了解了分數(shù)的意義。課件出示：

師：如果把圖①中的蘋果看作單位“1”，那么圖②中蘋果的數(shù)量分別怎樣表示？

課件有序出現(xiàn)圖②中的蘋果。

師：圖③、④和圖①相比，又可以怎樣表示？

生：第3組蘋果是第1組的2倍；第4組蘋果是第1組的3倍。

師：比一比，今天研究的分數(shù)與以前所學的倍數(shù)，它們有什么聯(lián)系？

……

從數(shù)學知識的角度來看，分數(shù)與倍數(shù)是截然不同、互相對立的兩個概念。但是從數(shù)學思想的高度來看，兩者又是辯證統(tǒng)一的，因為分數(shù)和倍數(shù)都是把某一種數(shù)量確定為一個單位量，再把另一種數(shù)量與之進行比較，從這個意義上來說分數(shù)與倍數(shù)的概念是相通的，只是所得的結(jié)果采用了不同的表達方式而已。上述案例中對倍數(shù)和分數(shù)概念的比較，有助于學生認識到倍數(shù)和分數(shù)是對立又統(tǒng)一的知識點，從而感受數(shù)學的整體性，體會到不同的數(shù)學知識可以從相同的角度加以分析，獲得更深層次的理解。?