馮子昂, 胡國(guó)平, 匡旭斌, 周 豪

(1 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 西安 710051; 2 93861部隊(duì), 陜西三原 710000)

非高斯噪聲環(huán)境中基于梯度范數(shù)的自適應(yīng)濾波算法*

馮子昂1, 胡國(guó)平1, 匡旭斌2, 周 豪1

(1 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 西安 710051; 2 93861部隊(duì), 陜西三原 710000)

針對(duì)傳統(tǒng)最小均方類算法在非高斯噪聲中自適應(yīng)濾波性能下降的問(wèn)題,提出了一種基于梯度范數(shù)的變步長(zhǎng)歸一化最小平均p范數(shù)算法。算法將α穩(wěn)定分布作為非高斯噪聲分布模型,依靠梯度范數(shù)與均方權(quán)值偏差(MSD)的關(guān)系自適應(yīng)調(diào)整步長(zhǎng),加快收斂速度的同時(shí)減小穩(wěn)態(tài)誤差,理論推導(dǎo)證明了算法的有效性。仿真結(jié)果表明,在非高斯噪聲條件下,該算法具有更好的收斂性能和抗突變能力以及更小的穩(wěn)定誤差。

α穩(wěn)定分布;自適應(yīng)濾波;梯度范數(shù);歸一化最小平均p范數(shù)算法

0 引言

在傳統(tǒng)的信號(hào)處理領(lǐng)域中,基于高斯分布的白噪聲模型廣泛應(yīng)用于接收機(jī)的設(shè)計(jì)之中。在理想的高斯白噪聲假設(shè)下通?？梢缘玫叫盘?hào)處理問(wèn)題的閉式最優(yōu)解,從而能夠降低信號(hào)處理算法和接收機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的復(fù)雜程度[1]。但是在實(shí)際問(wèn)題中,具有明顯的尖峰脈沖和長(zhǎng)拖尾特性非高斯信號(hào)和噪聲廣泛存在,如低空環(huán)境下的雜波、大氣噪聲以及海洋噪聲等。在這種噪聲條件下,基于高斯假定下的信號(hào)處理算法的性能將會(huì)急劇下降甚至失效。α穩(wěn)定分布作為唯一一類滿足中心極限定理的分布,能夠描述多個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和的極限分布[2-3],又有實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作支撐,在描述具有尖峰脈沖特性的非高斯信號(hào)時(shí)具有廣泛的適用性。

基于高斯假定的時(shí)域自適應(yīng)濾波系統(tǒng)中常用的算法是基于最小均方誤差(minimum mean square error,MMSE)準(zhǔn)則的最小均方(LMS)類算法和遞歸最小二乘(RLS)類算法。由于α穩(wěn)定分布不存在二階及二階以上矩,因此以上兩種算法在α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境中無(wú)法發(fā)揮出最佳性能。針對(duì)這一問(wèn)題,Shao和Nikias在最小分散系數(shù)(minimum dispersion,MD)準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上率先提出了最小平均p范數(shù)(LMP)算法[4-5];Belge和Miller受RLS算法的啟發(fā),提出了利用加權(quán)最小二乘的RLP算法[6]。為了兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差,人們對(duì)變步長(zhǎng)LMS算法進(jìn)行推廣[7-12],文獻(xiàn)[13]提出了一種變步長(zhǎng)LMP算法,提高了算法的性能,但是該算法需要已知信噪比這一條件,在實(shí)際應(yīng)用中仍存在諸多困難。因此文中在眾多變步長(zhǎng)NLMS算法的基礎(chǔ)上,借鑒Shin提出的最優(yōu)化變步長(zhǎng)LMS算法[9]的思想,研究了一種變步長(zhǎng)LMP算法,算法利用梯度范數(shù)與均方權(quán)值偏差之間的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)梯度范數(shù)對(duì)迭代步長(zhǎng)的控制,并分析證明了算法的穩(wěn)定收斂性。最后利用仿真驗(yàn)證了算法的相關(guān)性能。

1 非高斯α穩(wěn)定分布噪聲模型

Levy在研究廣義中心極限定理時(shí)提出了α穩(wěn)定分布,該分布的概率密度函數(shù)無(wú)閉式解,通常用特征函數(shù)來(lái)描述其分布特征[1]。α穩(wěn)定分布的特征函數(shù)可表示為:

φ(t)=E{exp(jtx)}=

exp{jδt-γ|t|α[1+jβsgn(t)ω(t,α)]}

(1)

式中:

(2)

(3)

其中:

1)α∈(0,2]為特征指數(shù),與分布的拖尾厚度緊密相關(guān)。當(dāng)α的值越小時(shí),分布的拖尾越厚,非高斯特性也就越明顯。

2)β∈[-1,1]代表偏斜參數(shù),用來(lái)描述分布的對(duì)稱特性,β=0時(shí)的分布被稱作對(duì)稱α穩(wěn)定分布,即SαS。

3)γ>0代表分散系數(shù),用來(lái)描述分散程度。

4)δ∈(-∞,∞)對(duì)應(yīng)于分布位置參數(shù),對(duì)于SαS,δ表示分布的均值(1<δ≤2)或中值(0<δ≤1)。

由此可見(jiàn),α穩(wěn)定分布具有的4個(gè)參數(shù)即可確定一個(gè)穩(wěn)定分布的特征函數(shù),改變不同的分布參數(shù)幾乎可以描述所有的噪聲統(tǒng)計(jì)特征,十分靈活,因此作為非高斯噪聲模型具有廣泛的適用性。同時(shí)α穩(wěn)定分布存在幾種特殊形式[14],即α=2時(shí)的高斯分布及α=1,β=0時(shí)的柯西分布和α=0.5,β=-1時(shí)的Levy分布。

2 基于梯度范數(shù)的變步長(zhǎng)NLMP算法

2.1NLMP算法

對(duì)于一個(gè)M階FIR自適應(yīng)濾波器,濾波器在k時(shí)刻的輸出為:

(4)

(5)

式中:d(k)=xT(k)wopt(k)+v(k)是期望響應(yīng),wopt(k)是最優(yōu)權(quán)系數(shù),v(k)是服從α穩(wěn)定分布的噪聲。

由分?jǐn)?shù)低階矩理論可知,對(duì)于任意的1≤p<α,服從SαS分布的隨機(jī)變量的分?jǐn)?shù)低階矩與其p范數(shù)成正比,且其所有分?jǐn)?shù)低階矩都是等價(jià)的,那么該自適應(yīng)濾波器的代價(jià)函數(shù)可表示為:

(6)

用誤差的統(tǒng)計(jì)平均代替瞬時(shí)值,并對(duì)代價(jià)函數(shù)求偏導(dǎo),得到代價(jià)函數(shù)的瞬時(shí)梯度估計(jì)值:

-p|e(k)|p-1sign(e(k))[x(k)]

(7)

因此可知算法的權(quán)系數(shù)更新方程為:

(8)

式中：μ>0,1≤p<α。μ為步長(zhǎng),控制收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。根據(jù)NLMS算法的思想,在式(7)中對(duì)瞬時(shí)梯度進(jìn)行歸一化,則可得到NLMP算法的權(quán)系數(shù)更新公式為:

(9)

式中：λ為一適當(dāng)?shù)男≌龜?shù),用來(lái)避免分母為零的情況。NLMP算法有效改善了LMP算法中存在的梯度噪聲放大的缺點(diǎn),提高了算法的收斂速度和穩(wěn)定性,同時(shí)從式(9)可以看出,當(dāng)p=2時(shí),NLMP算法就會(huì)退化為NLMS算法,因此具有廣泛的適用性。

2.2 改進(jìn)的變步長(zhǎng)NLMP算法

文中利用梯度矢量與MSD之間的聯(lián)系,提出了一種基于梯度范數(shù)的變步長(zhǎng)NLMP算法,首先對(duì)梯度矢量進(jìn)行平滑,然后利用平滑梯度矢量的歐氏范數(shù)控制迭代步長(zhǎng),在迭代的初始階段,較大的均方誤差使得步長(zhǎng)相對(duì)較大,算法的收斂速度也相對(duì)較快;當(dāng)自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)接近最優(yōu)值時(shí),系統(tǒng)收斂,迭代步長(zhǎng)隨著均方誤差逐漸減小,進(jìn)而降低了穩(wěn)態(tài)誤差,提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

算法的步長(zhǎng)和權(quán)值更新公式如下:

(10)

(11)

(12)

3 穩(wěn)定性分析

(13)

則該平滑梯度向量歐氏范數(shù)平方的期望為:

(14)

(15)

將式(15)代回式(14),則有:

(16)

在式(16)中,假設(shè)i≥K時(shí),系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),式中忽略K之前的項(xiàng)是因?yàn)榇藭r(shí)這些項(xiàng)的值趨近于零。

對(duì)式(12)進(jìn)行如下處理:

(17)

式中：令

當(dāng)i≥K時(shí)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。由于1≤p<α<2,所以對(duì)于有限功率的輸入信號(hào)x(k),都有E{‖x(k)‖2|e(k)|2(p-1)}<∞,因此文中提出的算法在非高斯α穩(wěn)定分布噪聲條件下是可以收斂的。

4 仿真分析

仿真一 特征指數(shù)α對(duì)算法收斂性的影響

由于α穩(wěn)定分布不具有2階以上的高階矩,因此α穩(wěn)定分布不具有功率的概念。此時(shí)的廣義信噪比可表示為:

(18)

仿真二 弱噪聲環(huán)境下算法收斂性

設(shè)定廣義信噪比GSNR=20 dB以模擬弱噪聲環(huán)境。算法參數(shù)ρ、μmax、λ的設(shè)置與仿真一相同。非高斯噪聲的特征參數(shù)α=1.5。將Shin算法作為與文中算法進(jìn)行對(duì)比的變步長(zhǎng)LMS算法,其參數(shù)設(shè)置同上所述,這種設(shè)置可以使Shin算法的性能達(dá)到最佳[16]。文中算法和Shin算法的初始步長(zhǎng)均為0。圖3給出了弱噪聲環(huán)境下權(quán)系數(shù)誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系曲線。從圖中可以看出,相較于Shin算法和固定步長(zhǎng)的NLMP算法,文中提出的VSS-NLMP算法在初始階段具有最快的反應(yīng)速度,并且在迅速達(dá)到了穩(wěn)態(tài)的同時(shí)顯著降低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

仿真三 強(qiáng)噪聲環(huán)境下算法收斂性

設(shè)定廣義信噪比GSNR=0 dB以模擬強(qiáng)噪聲環(huán)境。算法參數(shù)設(shè)置為ρ=0.99,μmax=0.05,λ=1,初始步長(zhǎng)為0。非高斯噪聲的特征參數(shù)α=1.5。Shin算法的參數(shù)設(shè)置與上述相同。從圖4中可得到強(qiáng)噪聲環(huán)境下權(quán)系數(shù)誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系曲線。雖然穩(wěn)態(tài)誤差較弱噪聲環(huán)境中有所增大,但是VSS-NLMP算法依然比其他兩種算法具有更快的反應(yīng)速度,能夠迅速達(dá)到穩(wěn)態(tài)并較好的降低了穩(wěn)態(tài)誤差。由此可以看出,文中提出的算法強(qiáng)噪聲和弱噪聲環(huán)境中都有較好的性能。

仿真四 系統(tǒng)突變時(shí)算法收斂性

設(shè)定廣義信噪比GSNR=20 dB,其他參數(shù)設(shè)置與仿真二相同。假設(shè)當(dāng)?shù)螖?shù)為2 500時(shí),系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生一次突變,之后恢復(fù)正常。圖5為權(quán)系數(shù)誤差在突變前后的收斂曲線。由以上圖可以看出,盡管在迭代過(guò)程中系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生了突變,相較于其他兩種算法,本算法依然能夠迅速反應(yīng)并在短時(shí)間內(nèi)恢復(fù)收斂,具有良好的抗突變性能。

5 結(jié)語(yǔ)

服從α穩(wěn)定分布的非高斯噪聲廣泛存在于工程實(shí)踐之中,而傳統(tǒng)LMS類自適應(yīng)濾波算法在這類噪聲環(huán)境中性能會(huì)發(fā)生退化。文中提出了一種基于梯度范數(shù)的變步長(zhǎng)歸一化LMP算法,該算法利用梯度范數(shù)與MSD之間的關(guān)系自適應(yīng)的調(diào)整迭代步長(zhǎng)。最后通過(guò)仿真考察了非高斯噪聲特征指數(shù)α對(duì)算法性能的影響,比較了文中算法和Shin算法、NLMP算法在強(qiáng)、弱噪聲環(huán)境的性能,仿真結(jié)果顯示在非高斯α穩(wěn)定分布環(huán)境中所提算法不僅提升了收斂速度還降低了穩(wěn)態(tài)誤差,使得算法性能得到了較大提高,并且在抗系統(tǒng)突變方面也有良好的表現(xiàn)。這種算法在通信、雷達(dá)信號(hào)處理等領(lǐng)域有著良好的應(yīng)用前景。

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AnAdaptiveFilteringAlgorithmBasedonGradient-norminNon-GaussianEnvironment

FENG Ziang1, HU Guoping1, KUANG Xubin2, ZHOU Hao1

(1 Air and Missile Defense College, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China; 2 No.93861 Unit, Shaanxi Sanyuan 710000, China)

Conventional least mean square(LMS) algorithms meet declines of performance in non-Gaussian environment. A new variable step-size normalized least mean p-norm algorithm based on gradient-norm is proposed. The new algorithm assumes that the non-Gaussian noise satisfies alpha stable distribution, and the step size is adaptively adjusted by the relationship between mean square departure (MSD) and the gradient-norm. Through the relationship, the convergence rate is accelerated and the steady state error is decreased at the same time. The performance of the proposed algorithm is confirmed by theoretical derivation. Simulation results show that the proposed method has faster convergence rate, smaller steady state error and better performance of anti-saltation in non-Gaussian environment.

α-stable distribution; adaptive filtering; gradient norm; normalized least meanp-normalgorithm

TN911.72

A

2016-05-20

國(guó)家自然科學(xué)基金(61372166);陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃(2014JM8308)資助

馮子昂(1993-),男,山東濟(jì)寧人,碩士研究生,研究方向:雷達(dá)信號(hào)與信息處理。