李慧敏+紀(jì)素娟
摘要:《高等數(shù)學(xué)》的主要內(nèi)容是函數(shù)的微積分,極限思想恰是研究函數(shù)微積分的重要方法。對(duì)學(xué)生而言,學(xué)好極限、掌握極限運(yùn)算的類型和技巧對(duì)其學(xué)好微積分至關(guān)重要。本文就極限運(yùn)算常見的集中類型進(jìn)行匯總、分析,在此基礎(chǔ)上提出解題技巧,幫助學(xué)生提高做題速度和準(zhǔn)確率。
關(guān)鍵詞:極限;運(yùn)算;分類;解析
很多實(shí)際問題的精確解,僅通過有限次的算術(shù)運(yùn)算是求不出來的,必須通過分析一個(gè)無(wú)限變化過程的變化趨勢(shì)才能求得,由此產(chǎn)生了極限概念和極限方法。極限理論是《高等數(shù)學(xué)》的基礎(chǔ),也是這門課程的基本推理工具,是研究函數(shù)微積分的重要方法,將貫穿高等數(shù)學(xué)的始終。學(xué)生掌握極限及連續(xù)的基本概念,并能熟練運(yùn)用它們的一些主要性質(zhì),對(duì)學(xué)好微積分至關(guān)重要。
任教10年來,筆者發(fā)現(xiàn)極限的概念及運(yùn)算對(duì)各屆學(xué)生來說(包括本、??茖W(xué)生),都是一個(gè)難點(diǎn)。首先,極限思想不好理解,其次,函數(shù)類型多變,極限方法又很多,學(xué)生不知如何下手。本文從極限思想的引入出發(fā),總結(jié)了極限運(yùn)算的常見題型,并指出解決方法,希望能給同行的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)提供有益的參考。
1 極限思想的引入
要想讓學(xué)生樹立極限思想,理解極限的概念,必須以生活中他們所熟知或者容易理解的現(xiàn)象為引例,讓他們感知極限。筆者認(rèn)為,可引用我國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的一些極限思想:我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽利用圓的內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長(zhǎng)的方法——割圓術(shù),就是用極限思想研究幾何問題。他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率的結(jié)果,并提出“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割以至于不可割,則與圓合體而無(wú)所失矣”,這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作?!肚f子,天下篇》中提到“一尺之捶,日取其半,萬(wàn)世不竭?!苯榻B這些歷史知識(shí),一方面,可以增強(qiáng)學(xué)生的民族榮耀感,另一方面,學(xué)生在了解數(shù)學(xué)史的過程中,腦海中已經(jīng)建立了數(shù)學(xué)思想的雛形,達(dá)到深入淺出的效果。
2 一元函數(shù)極限運(yùn)算的分類和解題技巧
學(xué)生有了極限思想后,任課教師順勢(shì)給出極限的定義,強(qiáng)調(diào)函數(shù)的極限與自變量的變化趨勢(shì)有關(guān),即自變量不同的變化趨勢(shì)下,函數(shù)的極限也不盡相同。實(shí)踐證明,如此安排教學(xué),學(xué)生易于接受和理解。掌握函數(shù)極限的定義后,引入函數(shù)的極限運(yùn)算法則。運(yùn)算法則告訴我們,在自變量的同一變化過程中,如果各函數(shù)的極限存在,則四則運(yùn)算和極限運(yùn)算可交換次序,即,函數(shù)的和、差、積、商的極限等于各函數(shù)極限的和、差、積、商(分母極限不為零),常數(shù)可提出不參與運(yùn)算。筆者在教學(xué)過程中總結(jié)了函數(shù)極限運(yùn)算的心得,其中心思想是:先判斷類型,然后對(duì)癥下藥。第一類為多項(xiàng)式函數(shù)求極限,根據(jù)運(yùn)算法則可得到極限值等于函數(shù)值的結(jié)論;第二類為多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的分式求極限,該類題目又分為五種類型,不同的類型有不同的解決方法;首先,判斷類型的方法是:趨向于幾,就把該數(shù)字帶入分子、分母,若都是非零常數(shù),則為型,根據(jù)運(yùn)算法則該極限值等于分子、分母極限的商,數(shù)值上等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值;若分子為零,則為型,由運(yùn)算法則知該極限為零;若分母為零,則為型,因分母極限為零,所以運(yùn)算法則失效,但根據(jù)無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系,可知該極限為無(wú)窮大,即極限不存在;若分子、分母同時(shí)為零,則為型,可通過因式分解或有理化將零因子消掉,就可化為多項(xiàng)式或型,即可解決。另也可用洛必達(dá)法則,先對(duì)分子、分母求導(dǎo),然后再求極限;若分子、分母都無(wú)限增大,則為型,分子、分母同除以的最高次數(shù),其中若,可用重要結(jié)論。對(duì)于型和型,在學(xué)過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用后,可用洛必達(dá)法則,即分子、分母先求導(dǎo)然后再求極限。第三類是被求極限的函數(shù)形式和兩個(gè)重要極限的形式類似,則利用兩個(gè)重要極限解題。以上思想可用下圖說明:
另外,在極限運(yùn)算過程中,可適當(dāng)使用等價(jià)無(wú)窮小代換:
3多元函數(shù)極限的引申與推廣
對(duì)于多元函數(shù),有命題:一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的,所以,要求多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)某點(diǎn)處的極限,直接求函數(shù)值即可。若不在定義域中,可嘗試用變量代換的方法,將多元函數(shù)的極限問題,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題。
例: 求
解:
原式=
即轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題
由重要極限可知,該極限為1.
極限運(yùn)算的題目類型多,方法也很多,如何根據(jù)題目的特征準(zhǔn)確、快速的找到解題方法,是困擾學(xué)生的一大問題。本文所總結(jié)的類型和解題技巧是筆者教學(xué)和實(shí)踐中的一些心得,初學(xué)者在學(xué)習(xí)過程中,可參考本文先判斷出極限題目的類型,然后根據(jù)本文所給的解題思路和技巧,輕松、快速、準(zhǔn)確地得到答案,對(duì)其提高極限運(yùn)算的能力和學(xué)好微積分有很大幫助,同時(shí)也鍛煉了學(xué)生分析問題和解決問題的能力。
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