江五元,余天姣

(湖南理工學院 數(shù)學學院,湖南 岳陽 414006)

淺談大學數(shù)學研究性學習
——一道數(shù)學習題的啟示

江五元,余天姣

(湖南理工學院 數(shù)學學院,湖南 岳陽 414006)

通過對無窮積分收斂的一道數(shù)學習題的解答,探究了無窮積分與無窮級數(shù)收斂之間的差異．旨在培養(yǎng)學生研究性學習的能力和勇于探索的精神．

無窮積分; 無窮級數(shù); 收斂; 研究性學習

Abstract: In this paper,we discuss the difference between infinite integral and infinite series convergence by solving a mathematical problem about the convergence of infinite integral.The purpose is to train students' ability of research-oriented learning and the spirit of daring to explore.

Key words: infinite integral,infinite series,convergence,research-oriented learning

前蘇聯(lián)著名教育實踐家和教育理論家霍姆林斯基指出: “研究性學習是指學生在教師的指導下,以類似科學研究的方法去獲得知識和應用知識的一種學習方式.” 對于地方本科院校來說,培養(yǎng)學生的研究性學習能力十分重要.實際上,很多學生仍然習慣于“學習＝接受＋記憶”的學習模式,因此,學生的學習興趣不高,主動性不強．在大學階段的教學過程中,應該讓學生轉變到“學習＝研究＋創(chuàng)新”的學習模式中來,提高學生解決實際問題的能力,達到人才培養(yǎng)目標.文[2]對大學數(shù)學研究性學習的作用進行了調查分析,下面以教材中的一道習題為例來說明研究性學習的過程．

華東師范大學數(shù)學系編寫的教材《數(shù)學分析》(第4版)關于無窮積分的內容中有這樣一道習題:

例1[1]試證明: 若f是[a,+∞)上的單調函數(shù),且收斂,則x→+∞.

引導學生對這道習題作如下推廣:

定理1 若f是[a,+∞)上的單調函數(shù),且收斂,則

注: 當β=0時,即為例1的結論.

例2 討論的收斂性．

解因為,由狄利克雷判別法可知無窮積分收斂.但顯然,極限不存在．

定理2 若f(x)在x∈[a,+∞)上一致連續(xù),且收斂,則.

推論若f(x)在x∈[a,+∞)上有有界的導函數(shù),且收斂,則.

證明由條件可知,?x∈[a,+∞),?M＞0,有|f′(x)|≤M．所以由拉格朗日中值定理,?x1,x2∈[a,+∞),有

所以,f(x)在x∈[a,+∞)上一致連續(xù),由定理2,有．

再由推論,我們可進一步證明[1]中反常積分第1節(jié)中的習題:

例3 證明: 若f(x)在x∈[a,+∞)上可導,且都收斂,則.

證明因為收斂,由可積的必要條件,可知f′(x)在x∈[a,+∞)上有界,故由推論1可得．

本文從一道習題出發(fā),通過推廣和探究,得到了相應的結論,并利用結論來解決教材中的習題．在這個研究性學習的過程中,學生總結了知識,應用了知識,并挖掘知識點之間的聯(lián)系與區(qū)別．同時,在解決問題的過程中,學生體會到成功的喜悅,從而提高了學生學習的興趣．

[1]華東師范大學數(shù)學系．數(shù)學分析 [M].第4版.北京: 高等教育出版社,2010

[2]賀戰(zhàn)兵,童詠沙．大學數(shù)學研究性學習的現(xiàn)狀調查與統(tǒng)計分析[J].長沙鐵道學院學報(社會科學版),2006,7(4): 145～146

On Research-oriented Learning of College Mathematics:An Inspiration of a Mathematical Problem

JIANG Wuyuan,YU Tianjiao
(College of Mathematics,Hunan Institute of Science and Technology,Yueyang 414006,China)

G642

A

1672-5298(2017)03-0082-03

2017-01-20

湖南省普通高校教學研究改革項目(湘教通[2015]291號)

江五元(1974? ),男,湖南平江人,博士,湖南理工學院數(shù)學學院副教授.主要研究方向: 概率論與數(shù)理統(tǒng)計