石勇國(guó), 劉 娜, 龔小兵*

(1. 內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 四川 內(nèi)江 641199; 2. 成都工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 經(jīng)貿(mào)管理系, 四川 成都 611731)

多項(xiàng)式型迭代方程解的存在性

石勇國(guó)1, 劉 娜2, 龔小兵1*

(1. 內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 四川 內(nèi)江 641199; 2. 成都工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 經(jīng)貿(mào)管理系, 四川 成都 611731)

許多關(guān)于多項(xiàng)式型迭代方程的結(jié)果,如解的存在性、惟一性和穩(wěn)定性等都是在已知函數(shù)為單調(diào)函數(shù)的假設(shè)條件下得到的.借助討論迭代根時(shí)使用的特征區(qū)間的思想，在已知函數(shù)為非單調(diào)函數(shù)情形下給出了多項(xiàng)式型迭代方程解的存在性.

迭代函數(shù)方程; PM函數(shù); 非單調(diào)性; 延拓

多項(xiàng)式型迭代方程

λ1f(x)+λ2f2(x)+…+

λnfn(x)=F(x), x∈S

(1)

是一類(lèi)重要的函數(shù)方程[1-4],迭代根和不變曲線(xiàn)等問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為此類(lèi)方程,其中f:S→S為未知函數(shù)，F(xiàn):S→S為已知函數(shù)，fi是f的i次迭代，即

(2)

有遞增解.雖然關(guān)于方程(1)和(2)已有許多很好的研究結(jié)果，但均是在F單調(diào)的情形下給出的.本文利用文獻(xiàn)[20]的思想，在F非單調(diào)的情形下在R上研究了方程(1)和(2).首先給出了這2個(gè)方程有解的條件，再利用文獻(xiàn)[18-19]的結(jié)果，通過(guò)延拓的方法給出了方程(1)和(2)的非單調(diào)連續(xù)解.

1 預(yù)備知識(shí)

令I(lǐng):=[a,b],其中a,b∈R.設(shè)C(I)是I上所有實(shí)連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合.如文獻(xiàn)[21]，令

C(I,I):={f∈C(I):f(x)∈I，?x∈I},

C+(I,I):={f∈C(I,I):f(a)=a，f(b)=b}.

對(duì)-∞≤m≤M≤+∞，定義

C(I;m,M):={f∈C(I,I):

m≤f[x1,x2]≤M，x1≠x2∈I},

C+(I;m,M):={f∈C+(I,I):

m≤f[x1,x2]≤M，x1≠x2∈I},

其中

是f的一階差分.

如文獻(xiàn)[20]，對(duì)連續(xù)函數(shù)F:I→F(I),如果F在內(nèi)點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，則稱(chēng)x0∈I為F的單調(diào)點(diǎn)，否則稱(chēng)內(nèi)點(diǎn)x0為F的非單調(diào)點(diǎn)或簡(jiǎn)稱(chēng)fort.如文獻(xiàn)[22]中的定義，如果F在區(qū)間I上只有有限個(gè)非單調(diào)點(diǎn)，則稱(chēng)F是I上的一個(gè)PM函數(shù)或逐段嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).用S(F)表示連續(xù)函數(shù)F在I上的所有非單調(diào)點(diǎn)構(gòu)成的集合，PM(I)表示I上所有逐段嚴(yán)格非單調(diào)函數(shù)構(gòu)成的集合.令

PM(I,J):={f∈PM(I):f(I)?J}，

其中I和J都是區(qū)間.

設(shè)F∈PM(I)和S(F)={c1,c2,…,ck}且

c0:=a

如果區(qū)間I的子區(qū)間Ij:=[cj,cj+1](0≤j≤k)滿(mǎn)足F(I)=F(Ij)，則稱(chēng)Ij:=[cj,cj+1]為F的特征區(qū)間[20].注意函數(shù)F在子區(qū)間Ij上是單調(diào)的.

2 解的存在性

定理 2.1F是給定的定義在區(qū)間I上的逐段嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，子區(qū)間Ij是F的特征區(qū)間，如果函數(shù)f0:Ij→Ij是方程(2)(或(1))限制在特征區(qū)間Ij上的一個(gè)連續(xù)解，則如下定義的函數(shù)f:I→I:

(3)

其中

(4)

是方程(2)(或(1))在區(qū)間I上的一個(gè)連續(xù)解.

證明 首先針對(duì)方程(2)進(jìn)行證明.注意到f0定義在特征區(qū)間Ij上并且F(I)=F(Ij),所以f(x)定義有意義.接下來(lái)證明如(3)式定義的函數(shù)f滿(mǎn)足方程(2).事實(shí)上如果x∈Ij，結(jié)論顯然成立,即

(5)

如果x∈IIj，則由(4)式和特征區(qū)間的定義知

成立.所以由(3)式定義的函數(shù)f是方程(2)的解.

事實(shí)上，由(3)式定義的f在I上還是連續(xù)函數(shù).下面給出其連續(xù)性的證明.不失一般性，假設(shè)0

和

因此

所以f在點(diǎn)cj連續(xù).同理,函數(shù)f在點(diǎn)cj+1也連續(xù).進(jìn)一步,如果存在cm滿(mǎn)足

或

則同證明f在點(diǎn)cj連續(xù)類(lèi)似可證明f在點(diǎn)cm連續(xù).如果

或

則由F(x)在區(qū)間I上連續(xù)和J(x)在[F(cj),F(cj+1)](或[F(cj+1),F(cj)])連續(xù)知f在點(diǎn)cm連續(xù).

對(duì)于方程(1)的證明類(lèi)似于文獻(xiàn)[20].證畢.

利用文獻(xiàn)[18]中的定理4.2和4.3，給出如下關(guān)于方程(1)有非單調(diào)解的2個(gè)結(jié)果.

其中

則方程(1)在區(qū)間I上有連續(xù)解,其中E(Ij;0,M,k,K)的定義參見(jiàn)文獻(xiàn)[18].

證明 由文獻(xiàn)[18]的定理4.2，方程(1)在區(qū)間Ij上有連續(xù)解.由定理2.1知方程(1)在I上有解.證畢.

其中

則方程(1)在區(qū)間I上有連續(xù)解.

利用文獻(xiàn)[18]中的定理4.3，證明與推論2.1類(lèi)似.

利用文獻(xiàn)[19]中的定理2.1，給出如下關(guān)于方程(2)存在非單調(diào)解的結(jié)果.

證明 由文獻(xiàn)[5]中的定理2.1知方程(2)在特征區(qū)間Ij上有連續(xù)解f0.由定理2.1得方程(2)在I上有連續(xù)解.證畢.

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2010 MSC：39B12; 37E05; 54C60

(編輯 周 俊)

Extension of Solutions of Polynomial-like Iterative Equations

SHI Yongguo1, LIU Na2, GONG Xiaobing1

( 1.DepartmentofMathematics,NeijiangNormalUniversity,Neijiang641199,Sichuan2.DepartmentofEconomicandTradeManagement,ChengduIndustryandTradeCollege,Chengdu611731,Sichuan)

Most of known results such as existence, uniqueness and stability for polynomial like iterative equations are given under the assumption that the given function is monotone. In this paper, using the idea of characteristic intervals of iterative roots we give the existence of solutions for this equation with some given nonmonotonic function.

iterative functional equation; PM function; nonmonotonicity; extension

2016-12-17

國(guó)家自然科學(xué)基金(11301256)、四川省教育廳科研創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)基金(14TD0026)和四川省教育廳自然科學(xué)基金(17ZA0217)

O175

A

1001-8395(2017)04-0482-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.009

*通信作者簡(jiǎn)介：龔小兵(1975—)，男，教授，主要從事函數(shù)方程的研究,E-mail:xbgong@163.com