李海艷, 王 敏, 李利玫

( 1. 四川大學(xué) 錦城學(xué)院, 四川 成都 611731; 2. 成都工業(yè)學(xué)院 人事處, 四川 成都 611730;3. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

脈沖微分方程m-點(diǎn)邊值問(wèn)題的多重正解

李海艷1, 王 敏2, 李利玫3

( 1. 四川大學(xué) 錦城學(xué)院, 四川 成都 611731; 2. 成都工業(yè)學(xué)院 人事處, 四川 成都 611730;3. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理研究一類脈沖微分方程的多點(diǎn)邊值問(wèn)題,獲得了該問(wèn)題多重正解的存在性新結(jié)果.

不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理; 脈沖微分方程;m-點(diǎn)邊值問(wèn)題; 全連續(xù); 正解

帶有脈沖的微分方程邊值問(wèn)題主要描述了一些現(xiàn)象在某一瞬時(shí)時(shí)刻的突變過(guò)程,在人口動(dòng)態(tài)、物理學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用[1-3].微分方程作為一個(gè)重要的分支有著大量的研究成果[4-17],其中脈沖微分方程在數(shù)學(xué)方面有著更加豐富的內(nèi)容[11-17].

文獻(xiàn)[11]研究了多點(diǎn)邊值問(wèn)題

其中,J=[0,1],f∈C(J×R+,R+),Ik∈C(R+,R+),0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1,ai,bi∈(0,+∞),i=1,2,…,m-2,應(yīng)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了多個(gè)正解的存在性定理.

考察二階脈沖微分方程的多點(diǎn)邊值問(wèn)題(BVP)

(1)

當(dāng)φ=1,a=c=1,b=d=0時(shí),邊值問(wèn)題將退化為文獻(xiàn)[11]研究的方程.本文利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理研究了一類脈沖微分方程的多點(diǎn)邊值問(wèn)題,獲得了該問(wèn)題多重正解的存在性新結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)及主要引理

‖x‖=max{‖x‖PC,‖x′‖PC}.

顯然,PC[J,R]在‖·‖PC下構(gòu)成一個(gè)Banach空間,PC1[J,R]在‖·‖下構(gòu)成一個(gè)Banach空間.

1) 如果x∈?Pr,有‖x‖≤‖Tx‖,則i(T,Pr,P)=0;

2) 如果x∈?Pr,有‖x‖≥‖Tx‖,則i(T,Pr,P)=1.

本文假設(shè)：

(H1)f∈C(J×R+,R+),Ik∈C(R+,R+);

(H2) △≠0,ρ=ac+ad+bc,其中

定義 1.1x稱為BVP(1)的一個(gè)解,若x∈PC[J,R+]∩C2(J′),x(t)>0,t∈J且x滿足(1)式.

引理 1.2 假設(shè)(H1)和(H2)成立,那么,x∈PC1[J,R+]∩C2(J′)是BVP(1)的解,當(dāng)且僅當(dāng)x是脈沖積分方程(2)的解.

(2)

其中

證明 為了方便證明,先驗(yàn)證問(wèn)題

(3)

的解滿足的脈沖積分方程.

設(shè)x∈PC1[J,R+]∩C2(J′)是BVP(3)的解,對(duì)(3)式積分可得

(4)

再次對(duì)(4)式兩端積分可得

(5)

在(4)和(5)式中分別令t=1有

(6)

(7)

由(6)和(7)式,再結(jié)合邊值條件可得

將x′(0)和x(0)代入(5)式有

則

因此有

(8)

(9)

所以,由(8)和(9)式有

令

即可得方程(3)的解滿足積分方程

故BVP(1)的解滿足積分方程

反過(guò)來(lái),假定x是脈沖微分方程(2)的解,當(dāng)t≠tk時(shí),對(duì)(2)式微分2次可得

易知

故x∈C2(J′),可以驗(yàn)證

引理得證.

引理 1.3 假設(shè)(H1)成立,并且滿足

證明 由引理1.2,顯然G(t,s)≥0,且

故x(t)≥0,t∈J.

注 1.1 由G(t,s)的定義有

注 1.2 對(duì)?t∈Jθ,θ∈(0,1/2),Jθ=[θ,1-θ],s∈(0,1)有

其中

且0<σ<1.

注 1.3 對(duì)?t,s∈Jθ,?ε>0,使得G(t,s)≥ε.

建立PC1[0,1]上的空間K,K={x∈PC1[0,1]:x≥0,t∈J}.

定義算子T:K→K如下

(10)

引理 1.4 假設(shè)(H1)和(H2)成立,則T(K)?K,且T:K→K是全連續(xù)算子.

證明 對(duì)x∈K,由算子T的定義及引理1.3,有Tx≥0,Tx∈PC1[0,1],且

另一方面,由注1.2及0<σ<1有

所以,T(K)?K.此外由Ascoli-Arzela定理知T:K→K是全連續(xù)算子.

2 主要結(jié)論

為了方便,首先引入幾個(gè)記號(hào):

定理 2.1 假設(shè)(H1)～(H3)成立.此外,f、Ik滿足下列條件：

(H6) 存在正數(shù)η>0,使得對(duì)任意x≥η,t∈J,有f(t,x)>l,其中l(wèi)>0,

證明 令δ=εl(1-2θ)/η,k0=maxG(s,s),0

由(H4)可知,存在正數(shù)r滿足0

其中

因此,對(duì)任意x∈?Kr,由(10)式、注1.1和注1.2知

故對(duì)于任意x∈?Kr,得‖Tx‖<‖x‖,由引理1.1有

(11)

由(H5)知,存在m>0,使得對(duì)任意的x>m,t∈J有

令

則

取

從而對(duì)任意x∈?KR,由(10)式、注1.1和注1.2知

故對(duì)于任意x∈?KR,得‖Tx‖<‖x‖,由引理1.1有

(12)

另外,對(duì)任意

由上面的推導(dǎo)可知

(13)

另一方面,由(11)～(13)式并結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的可加性

和

定理得證.

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2010 MSC：35Q55

(編輯 李德華)

Multiple Positive Solutions tom-point Boundary Value Problem for a Class of Impulsive Differential Equations

LI Haiyan1, WANG Min2, LI Limei3

( 1.JinchengCollege,SichuanUniversity,Chengdu611731,Sichuan; 2.DepartmentofPersonnel,CollegeofChengduTechnological,Chengdu611730,Sichuan; 3.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

Using the fixed point index theory, in this paper, we study them-point value problem for a class of impulsive differential equation. A new result for the existence of multiple positive solutions is given.

fixed point index theory; impulsive differential equation;m-point boundary value condition; completely continuous; positive solutions

2016-01-27

四川省教育廳自然科學(xué)青年基金(12ZB108)

李海艷(1983—),女,講師,主要從事非線性泛函分析的研究,E-mail:jclihaiyan2012@163.com

O175.8

A

1001-8395(2017)04-0457-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.005