●劉海濱 (鹽城中學(xué)，江蘇 鹽城 224005)

不應(yīng)排斥學(xué)科滲透問題的適度考查

●劉海濱
(鹽城中學(xué)，江蘇 鹽城 224005)

拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用，讓學(xué)生學(xué)有用的數(shù)學(xué)，即學(xué)以致用，應(yīng)是我們教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo).因此，高考應(yīng)有正確的導(dǎo)向，不應(yīng)固化考題，也不應(yīng)排斥學(xué)科滲透問題的考查.只有多元化評價(jià)學(xué)生，考查學(xué)生的應(yīng)用分析能力，這樣才能調(diào)動(dòng)教師開展研究性活動(dòng)課的積極性，才能拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

不應(yīng)排斥；學(xué)科滲透；適度考查

1 問題背景

前不久，筆者所在學(xué)校高三年級組織了一次檢測考試，數(shù)學(xué)試卷中有一道不同尋常的試題：

例1 如圖1，一根細(xì)繩穿過2個(gè)等高的定滑輪，且2端分別掛有3 N,2 N的重物.現(xiàn)在2個(gè)定滑輪之間的細(xì)繩上掛一個(gè)重量為mN的重物，恰好使整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，摩擦力忽略不計(jì).

1)若細(xì)繩被重物拉成120°的夾角，求m的值；

2)求m的取值范圍.

圖1 圖2

該檢測題頗受爭議，筆者所在學(xué)校高三數(shù)學(xué)組的主流意見是：把物理學(xué)科中的力學(xué)問題，融入到數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，難度較大，學(xué)生難以理清有關(guān)力的一些數(shù)量關(guān)系，而且數(shù)學(xué)高考肯定不會(huì)考查有關(guān)物理方面的應(yīng)用題，平時(shí)的數(shù)學(xué)練習(xí)還是應(yīng)該盡量避免此類題目.

上述意見，筆者不能完全茍同，有下列疑問：數(shù)學(xué)測試真的不能考查有關(guān)物理方面的應(yīng)用題嗎？我們的高考一定不允許學(xué)科滲透的考查嗎？帶著疑問，筆者做了一點(diǎn)思考，整理成文，與讀者交流、探討.

2 解題分析

接下來就是圖形中邊角關(guān)系的研究.第1)小題中，120°的夾角即∠AOB，從而∠A=60°，在△AOC中運(yùn)用余弦定理，即可求出m的值；對于第2)小題，很多學(xué)生在△AOC中運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系，迅速得到1

根據(jù)實(shí)際情況，重物將細(xì)繩向下拉，α，β應(yīng)都是銳角，易知∠ACO=β.在△AOC中，由正弦定理可得

3sinα=2sinβ，

2個(gè)式子相加，化簡得

m=3cosα+2cosβ.

結(jié)合上述正弦等式，消去α，可得

可能有人認(rèn)為：2次運(yùn)用余弦定理的運(yùn)算處理有點(diǎn)靈活，學(xué)生不易過關(guān).確實(shí)如此，但這類問題在物理學(xué)科中，通常是由水平方向的合力為0，即由正弦定理可得3sinα=2sinβ；以及豎直方向的合力為0，從而直接得出m=3cosα+2cosβ.如此，很容易想到消角，轉(zhuǎn)化為m關(guān)于β的函數(shù).

3 題類探討

對于例1，也許有人會(huì)說，它是一道物理題，不是數(shù)學(xué)題.說例1是物理題，肯定沒有錯(cuò)，它就是日常生活中的滑輪問題，確實(shí)是物理方面的問題.但說它不是數(shù)學(xué)題，值得商榷！

要用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)格界定一個(gè)問題是不是數(shù)學(xué)題，不是一件容易的事，但我們可以粗略地把數(shù)學(xué)題分為2大類：一類是純粹的數(shù)學(xué)問題，以研究空間形式和數(shù)量關(guān)系為主(百度百科釋義)；另一類是數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，主要是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題，即我們常講的數(shù)學(xué)建模.據(jù)此，我們可以認(rèn)為例1是數(shù)學(xué)應(yīng)用題，只不過它是與力有關(guān)的問題，雖然是物理問題，但這并不妨礙它作為數(shù)學(xué)題.其實(shí)，數(shù)學(xué)與物理本來就是一家，沒有數(shù)學(xué)理論知識作支撐，能研究物理問題嗎？比如向量的引入，就源自于力學(xué)[1].數(shù)學(xué)就是解決實(shí)際問題(包括物理問題)的一個(gè)工具，從某種程度上講，物理問題就是一類特殊的數(shù)學(xué)應(yīng)用題.

回顧上述例1的解題過程，只是用了一點(diǎn)力的合成知識而已，而且這與數(shù)學(xué)中的向量加法是一致的，完成求解的主體過程是三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識，因此其作為數(shù)學(xué)題，不為過.若對于某一個(gè)問題的解決，所需物理知識的比重很大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于數(shù)學(xué)知識，則把它作為數(shù)學(xué)題，就有點(diǎn)不合適了.

圖3

翻開蘇教版高中教材《數(shù)學(xué)(必修4)》，筆者發(fā)現(xiàn)：在“向量的應(yīng)用”這節(jié)內(nèi)容中，上述例1就是由課本題改編而來的(是在課本題的基礎(chǔ)上，增加了第1)小題).并且類似于例1這樣的“力與運(yùn)動(dòng)”方面的題目還有6道，筆者在此不一一例舉[1].另外，在《數(shù)學(xué)(必修5)》“基本不等式”這節(jié)內(nèi)容中，也有2道有關(guān)物理方面的題目：一道是杠桿問題[2]，另一道是電學(xué)問題(即以下例2).

例2 如圖3，電路中電源的電動(dòng)勢為E，內(nèi)電阻為r，R1為固定電阻，R2為一個(gè)滑動(dòng)變阻器.R2調(diào)至何值時(shí)，其消耗的電功率P最大？最大電功率是多少(其中P=I2R)？

此外，在《數(shù)學(xué)(必修1)》“函數(shù)模型及其應(yīng)用”一節(jié)中，有物理冷卻問題；在《數(shù)學(xué)(選修2-2)》“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”一章中，有不少物理方面的問題.教材上這么多物理方面的應(yīng)用問題說明：應(yīng)充分關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)，不應(yīng)忽視數(shù)學(xué)知識在物理方面的應(yīng)用，不應(yīng)排斥學(xué)科滲透問題的考查.

4 學(xué)以致用

4.1 不應(yīng)固化考題

對于高考，筆者總是覺得過于保守了，試卷的固化太嚴(yán)重.高考之前給每個(gè)學(xué)生發(fā)《考試說明》，而根據(jù)《考試說明》命制的試卷，教師基本上都能估計(jì)到“什么題號對應(yīng)什么題型，是什么難度”.

這樣的試卷，對高中教學(xué)的影響比較大，不考的不教、必考的重點(diǎn)，反復(fù)講反復(fù)練，課堂目標(biāo)明確、重點(diǎn)突出，其實(shí)就是應(yīng)試教學(xué)！教材上的閱讀材料，沒空讀；教材上的探究問題，沒空探.這樣的教學(xué)，有點(diǎn)像工廠生成模具，所教出來的學(xué)生，都限制在一定的知識水平內(nèi)，不能使學(xué)生學(xué)有所長，學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展很差.

筆者認(rèn)為：我們的高考不應(yīng)固化考題，為什么要限制考題數(shù)量？完全可以根據(jù)試題難度調(diào)整數(shù)量，保證大多數(shù)學(xué)生有思考完成的時(shí)間即可.為什么要規(guī)定重要考點(diǎn)？文獻(xiàn)[3]指出：高考應(yīng)有正確的導(dǎo)向，有必要增加研究型試題，多元化評價(jià)學(xué)生，考查學(xué)生的研究分析能力，這樣才能真正改變廣大教師的守舊認(rèn)識，調(diào)動(dòng)教師積極開展研究性活動(dòng)課，拓展學(xué)生的知識面，提高學(xué)生深入研究問題的能力，為教育創(chuàng)新起引領(lǐng)作用.總之，不限制考試思路，才能打開教學(xué)思路，才能讓教師各盡其才，教出有深度和廣度的學(xué)生.

4.2 應(yīng)拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用

在平日的教學(xué)中，教師之間也常交流數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用，普遍認(rèn)為：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能使人變得更聰明，它能鍛煉人的思維分析能力，對今后的工作生活有著潛移默化的影響，而且數(shù)學(xué)是將來從事理工科工作人群的必要基礎(chǔ)知識，是高端科研的必要知識.

筆者認(rèn)為:中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用，要讓學(xué)生學(xué)有用的數(shù)學(xué),要讓我們的日常生活充滿數(shù)學(xué).當(dāng)這些學(xué)生步入社會(huì)，即使不從事理工科的工作研究，他們也感到數(shù)學(xué)是有用的，并能把數(shù)學(xué)知識用到工作、生活中，這樣我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才更有意義，也才能讓全社會(huì)都認(rèn)同數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是要讓學(xué)生學(xué)有所用，解決生活中的實(shí)際問題，而不要刻意加大難度，反而有些生活問題，適當(dāng)簡化命題，倒是很有必要.沒有必要排斥學(xué)科滲透問題的應(yīng)用，而應(yīng)該擴(kuò)充數(shù)學(xué)應(yīng)用的范圍，加大數(shù)學(xué)應(yīng)用題的考查，從而真正提高教師的應(yīng)用教學(xué)意識，切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

高考命題要有原則，原則是要有正確的教學(xué)導(dǎo)向作用，要引導(dǎo)教師遵守教學(xué)理念，發(fā)揮自身所長，不僅要教給學(xué)生課本知識，更要教出自己的理解與觀點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)獨(dú)立解決問題.

[1] 單墫.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(必修4)[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

[2] 單墫.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(必修5)[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

[3] 崔志榮.高考數(shù)學(xué)應(yīng)適當(dāng)增加“研究型試題”的分析[J].數(shù)學(xué)通訊，2017(2)：8-13.

若按順時(shí)針排列，則

圖1

如圖1所示，將三角形所在平面分成7個(gè)區(qū)域，文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]已經(jīng)證明了點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部(即區(qū)域①)的情形.

1)若點(diǎn)O在區(qū)域②內(nèi)，則τ(A,BC,O)=-1，τ(B,CA,O)=-1，τ(C,AB,O)=-1，此時(shí)點(diǎn)O,B,C按順時(shí)針排列，點(diǎn)O,C,A和點(diǎn)O,A,B按逆時(shí)針排列，從而

2)若點(diǎn)O在線段BC上(不含端點(diǎn))，則點(diǎn)O,B,C共線，進(jìn)一步有x2y3=x3y2.此時(shí)，τ(A,BC,O)=0,τ(B,CA,O)=1,τ(C,AB,O)=1，點(diǎn)O,C,A和點(diǎn)O,A,B按順時(shí)針排列，從而

同理可得

我們還可以把定理1闡述如下：

2 三角形的“五心”

根據(jù)前面的定理，結(jié)合三角形“五心”的幾何特征，可以得出一些等式，根據(jù)文獻(xiàn)[1]的結(jié)論，下面的各個(gè)推論也只需對于鈍角三角形的情形作出證明.

圖2 圖3

推論2 如圖2，點(diǎn)O1，O2，O3是△ABC的旁心，則

證明 若△ABC為鈍角三角形(其中∠C為鈍角)，則垂心O在三角形的外部(如圖3)，根據(jù)定理1可得

因?yàn)?/p>

即

S△OBC∶S△OCA∶S△OAB=tanA∶tanB∶(-tanC)，

所以

圖4

證明 若△ABC為鈍角三角形(其中∠C為鈍角)，則外心O在三角形的外部(如圖4)，根據(jù)定理1可得

因?yàn)镾△OBC=2R2sin∠BOC，S△OCA=2R2sin∠COA，S△OAB=2R2sin∠AOB，所以

又∠BOC=2A,∠COA=2B,∠AOB=2∠D=2(π-∠C)，故

從上可以看出，三角形外心、內(nèi)心、垂心的向量表示形式都與三角函數(shù)相關(guān)，且銳角三角形和鈍角三角形的情形完全一致，簡潔實(shí)用，可謂珠聯(lián)璧合，給人以美的享受！如果改用三角形的邊或面積來表示，則需要分情況討論，達(dá)不到這個(gè)效果.

3 解題中的應(yīng)用

(2014年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題第12題)

(2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽試題第5題)

以上3個(gè)例題都涉及到點(diǎn)在三角形外部的情形.

sinA∶sinB∶sinC=2∶2∶1,

tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3.

例6 (歐拉線)設(shè)△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H,則點(diǎn)O，G，H共線.

證明 對于直角三角形，結(jié)論是顯然的.對于非直角三角形，由推論4可得

故

即點(diǎn)O,G,H共線.

以上3個(gè)例題利用三角形“五心”統(tǒng)一向量表示形式，解題過程十分簡單.

三角形的“五心”既有統(tǒng)一的向量表示形式，又有關(guān)乎三角形各角的等量關(guān)系，易于記憶，方便使用，在解決此類問題時(shí)還可以達(dá)到“秒殺”的效果.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 朱慶華.面積法求三角形的五心的向量表示的同一形式[J].數(shù)學(xué)通訊，2010(5):40-41.

[2] 關(guān)麗娜，鐘德光.三角形“五心”向量形式的一個(gè)簡證及應(yīng)用[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2017(1)：31-34.

[3] 克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)·幾何[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2007.

2017-04-24

劉海濱(1969-)，男，江蘇鹽城人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O12

A

1003-6407(2017)09-32-03