●金燦芳 (蕭山中學(xué),浙江 蕭山 311200)

不忘初心 方得始終
——基于2017年浙江省數(shù)學(xué)高考第21題

●金燦芳
(蕭山中學(xué),浙江 蕭山 311200)

解題中會(huì)有困惑與停頓，但解題中更有收獲與快樂(lè).文章從代數(shù)、幾何、向量這3個(gè)方面探討了2017年浙江省數(shù)學(xué)高考第21題的解法，多角度揭示了此題的本質(zhì)，并由此提出了應(yīng)對(duì)高考復(fù)習(xí)的教學(xué)建議.

代數(shù)；向量；解析幾何

1 考題再現(xiàn)

圖1

1)求直線(xiàn)AP斜率的取值范圍；

2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第21題)

此題作為文理合卷后首年的圓錐曲線(xiàn)大題，載體是拋物線(xiàn)與直線(xiàn)，兼具常規(guī)與新穎的特點(diǎn).題目主要考查兩點(diǎn)間的斜率公式、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交的弦長(zhǎng)公式，題型中規(guī)中矩.本題可以通過(guò)代數(shù)、幾何、向量等多種途徑入手解答，不僅考查了學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算功底，也考查了學(xué)生從問(wèn)題本質(zhì)出發(fā)對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化和化歸能力，對(duì)學(xué)生有一定的挑戰(zhàn).

2 解法探究

視角1 代數(shù)的視角

1)解 設(shè)P(t,t2)，則

2)解法1 因?yàn)橹本€(xiàn)PA的方程為

(1)

而B(niǎo)Q⊥AQ,所以直線(xiàn)BQ的方程為

f′(t)=-4t3+3t+1=-(t-1)(2t+1)2,

直線(xiàn)AQ與拋物線(xiàn)x2=y聯(lián)立得

可得

將xQ，xP代入，得

|PA|·|PQ|=(1+k3)(1-k).

令f(k)=(1+k)3(1-k)，則

f′(k)=(1+k)2(2-4k)，

從而

點(diǎn)評(píng) 第1)小題考查的是兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率公式，直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行消元即可.第2)小題的解決辦法從代數(shù)的角度很直觀，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，這也是大多數(shù)學(xué)生首先能想到的，但只有少部分學(xué)生按照這個(gè)思路能做到底，最主要的原因是運(yùn)算遇阻.無(wú)論是解法1(設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo))還是解法2(設(shè)直線(xiàn)AQ的方程)都需要聯(lián)立直線(xiàn)方程，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，這是代數(shù)方法的第一個(gè)難點(diǎn).第二個(gè)難點(diǎn)是要用求導(dǎo)的方法求最值，解法2中f(k)的導(dǎo)函數(shù)較容易求得.在直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系中，代數(shù)法的繁瑣不可避免，因此打下扎實(shí)的運(yùn)算功底很重要，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)化運(yùn)算的能力，比如本題能否避開(kāi)求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

視角2 幾何的視角

1)解 因?yàn)閥′=2x，則在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程的斜率為-1，而kAB=1,所以kAP∈(-1,1).

2)解法3 設(shè)P(t,t2)，由代數(shù)法知

則

直線(xiàn)BQ的方程為

從而點(diǎn)P到BQ的距離

于是|AP|· |PQ|=d·|AP|=

圖2

以下同解法1.

|AP|·|PQ|= |PE|·|PF|=

(R-|PM|)(R+|PM|)=

R2-PM2=2-PM2,

要求|AP|·|PQ|的最大值，即求PM2的最小值.設(shè)P(t,t2)，則

g′(t)=4t3-3t-1=(t-1)(2t+1)2,

從而

于是

點(diǎn)評(píng) 解法3利用AQ⊥BQ這個(gè)條件，將|PQ|表示為點(diǎn)P到直線(xiàn)BQ的距離，避免了代數(shù)方法中最繁瑣的點(diǎn)Q坐標(biāo)的運(yùn)算，當(dāng)然還可以利用勾股定理來(lái)得到|PQ|，即轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到直線(xiàn)AQ的距離.解法4利用圓冪定理，因?yàn)辄c(diǎn)Q在以AB為直徑的圓上，所以

|AP|·|PQ|=|EP|·|FP|，

即轉(zhuǎn)化為求|PM|的最值；求|PM|2的最值采用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)表達(dá)，不僅避免了求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，還避免了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.幾何方法相對(duì)快速地獲得了|AP|·|PQ|所對(duì)應(yīng)的解析式，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算上的優(yōu)化，后面求導(dǎo)的部分與代數(shù)法一致.

視角3 向量的視角

向量的方法主要針對(duì)第2)小題.

解法5 設(shè)P(t,t2)，則

以下同解法1

-(PM2-AM2)=-(PM2-2),

以下同解法4.

圖3 圖4

拋物線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為k2=2t，從而

即

4t3-3t-1=0,

解得t=1，故

點(diǎn)評(píng) 向量法是本題的亮點(diǎn)，核心就是利用向量的幾何意義得到

之后的處理又可以分成兩種情況.解法5直接用向量的坐標(biāo)表示來(lái)表達(dá)數(shù)量積，簡(jiǎn)潔明了地得到解析式.解法6和解法7用極化恒等式將最值轉(zhuǎn)化為求|PM|的最值，|PM|的最值可以用兩點(diǎn)間的距離(同視角2)，也可以用幾何上的特殊情況來(lái)解決，因?yàn)閨PM|取最小值時(shí)就是以M為圓心的圓與拋物線(xiàn)相切，所以解法7中利用圓與拋物線(xiàn)相切的公切線(xiàn)方程很快地得到了切點(diǎn)坐標(biāo).

3 解后反思

3.1 夯實(shí)基礎(chǔ)，提升能力

對(duì)于圓錐曲線(xiàn)大題，有句老話(huà)：“圓錐曲線(xiàn)無(wú)難題”，但是也有一句很諷刺的話(huà)：“有些高中生到畢業(yè)了也沒(méi)能完整地做完一道大題.”圓錐曲線(xiàn)的大題以常規(guī)題居多，無(wú)論是求最值還是證明定值，總少不了聯(lián)立方程、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等常規(guī)手段.本題也不例外，可以用韋達(dá)定理表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，用弦長(zhǎng)公式來(lái)表示|PA|·|PQ|，這樣看來(lái)沒(méi)有難點(diǎn)，但是這些常規(guī)步驟的運(yùn)算量都不小.很多學(xué)生就敗在運(yùn)算上——聯(lián)立、判別式等等都容易求錯(cuò)，只要有一個(gè)小地方求錯(cuò)，后面的化簡(jiǎn)就不成功了.還有一些學(xué)生運(yùn)算遇阻時(shí)常猜測(cè)答案，甚至直接放棄，認(rèn)為算算的東西總會(huì)的，這是學(xué)習(xí)上的“紙上談兵”，一到真槍實(shí)戰(zhàn)的考場(chǎng)，狐貍尾巴就露出來(lái)了.因此，教師要不斷地提醒學(xué)生打磨自己的運(yùn)算功底，越不順利越要找到原因，每做一題都要爭(zhēng)取做到底，找到自己算不對(duì)的地方，吸取失敗的教訓(xùn)，積累經(jīng)驗(yàn)，只有這樣才能提高自己的運(yùn)算能力.

3.2 重視概念，關(guān)注本質(zhì)

概念是最容易被學(xué)生忽視的，因?yàn)閷W(xué)生認(rèn)為它沒(méi)什么內(nèi)容，太簡(jiǎn)單了.其實(shí)很多題目歸根究底就是在考概念和定義.比如向量數(shù)量積的定義，考生幾乎都知道向量數(shù)量積的幾何意義，大部分學(xué)生也能答上來(lái)，并且教科書(shū)上講投影這塊內(nèi)容的圖和本題的圖非常相似，但是在考試中，只有很少的學(xué)生能把結(jié)果轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，歸根結(jié)底還是對(duì)概念的本質(zhì)沒(méi)有研究透，挖得不夠深.教師首先要重視概念，重視概念本質(zhì)的挖掘，在平時(shí)的講解中要滲透，還要引導(dǎo)學(xué)生梳理概念，再結(jié)合已經(jīng)做過(guò)的題打磨概念，做到“以不變應(yīng)萬(wàn)變”[1-2].

3.3 研究專(zhuān)題，優(yōu)化解題

英語(yǔ)中的單詞是有詞根的，一個(gè)詞根能關(guān)聯(lián)一連串的單詞，數(shù)學(xué)也是一樣，我們會(huì)有一些母題，也可以稱(chēng)之為題根.那么在高考復(fù)習(xí)時(shí)，教師按專(zhuān)題整理或引導(dǎo)學(xué)生整理就尤為重要.不僅如此，我們還可以把題根做多角度的延伸，或通過(guò)某條思路串起看似不同專(zhuān)題的題，這在某種程度上也可以培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的能力.具備這樣的能力，在不經(jīng)意間就優(yōu)化了解題過(guò)程.眾所周知，運(yùn)算是圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn)，可以把優(yōu)化運(yùn)算作為一條線(xiàn)索來(lái)整理，比如消哪個(gè)元，計(jì)算三角形或四邊形的面積時(shí)要找到最簡(jiǎn)單的表示方法，計(jì)算距離時(shí)要嘗試一下弦長(zhǎng)公式，處理定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)可以先設(shè)點(diǎn)再證明，能不能用幾何或向量思路來(lái)轉(zhuǎn)化等等[3].

2017年的高考已經(jīng)結(jié)束，有些高考題平淡中透著驚喜，就看學(xué)生們能否正確把握，用心地打磨運(yùn)算功底，用心地挖掘概念本質(zhì)，用心地研究專(zhuān)題分類(lèi)，正所謂“不忘初心，方得始終”.

[1] 李學(xué)軍，曲文瑞.大音希聲 大象無(wú)形——基于2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第15題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2016(12):43-46.

[2] 曹鳳山.數(shù)學(xué)教學(xué) 把根留住——2015年浙江省數(shù)學(xué)高考試題解讀[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(8)：1-4.

[3] 高考數(shù)學(xué)研究組.浙江高考數(shù)學(xué)2004一路走來(lái)[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2016.

2017-07-20

金燦芳(1982-),女,浙江蕭山人,中學(xué)一級(jí)教師.研究方向:數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)09-38-04