程 春，李舜酩，王 勇，江星星

(南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院 南京，210016)

考慮載荷變化的準(zhǔn)零剛度隔振器動(dòng)態(tài)特性*

程 春，李舜酩，王 勇，江星星

(南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院 南京，210016)

為了研究載荷變化對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振器動(dòng)態(tài)特性及隔振性能的影響，首先,分析具有分段非線性特性的準(zhǔn)零剛度隔振器靜力學(xué)特性;其次，引入光滑函數(shù)，應(yīng)用增量諧波平衡法得到準(zhǔn)零剛度隔振器的周期解，分析載荷與激勵(lì)幅值對(duì)隔振器動(dòng)態(tài)特性的影響；最后，定義準(zhǔn)零剛度隔振器的力傳遞率，分析載荷與激勵(lì)幅值對(duì)其隔振性能的影響。研究結(jié)果表明：當(dāng)激勵(lì)幅值較大時(shí)，載荷變化會(huì)導(dǎo)致響應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)在共振區(qū)附近出現(xiàn)交叉折疊的現(xiàn)象；載荷與激勵(lì)幅值的變化會(huì)改變隔振系統(tǒng)的共振頻率、傳遞率峰值以及有效隔振頻帶,但該準(zhǔn)零剛度隔振器的隔振性能仍優(yōu)于線性隔振器。

隔振器； 準(zhǔn)零剛度； 分段非線性； 增量諧波平衡法

引 言

筆者建立準(zhǔn)零剛度隔振器模型，將系統(tǒng)恢復(fù)力展開成五階泰勒級(jí)數(shù)來提高分析的可靠性。由于傳統(tǒng)解析法無法得到系統(tǒng)的周期解，應(yīng)用增量諧波平衡法求解系統(tǒng)在力激勵(lì)下的響應(yīng)并分析載荷變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。分析準(zhǔn)零剛度隔振器的力傳遞率，并與線性隔振器進(jìn)行比較。

1 準(zhǔn)零剛度隔振器模型

具有分段非線性的準(zhǔn)零剛度隔振器示意圖如圖1所示。豎直彈簧的剛度為kv，主要用于支撐載荷m。凸輪滾輪彈簧裝置由半圓形凸輪、自由運(yùn)動(dòng)的滾輪以及水平彈簧組成，凸輪與滾輪的半徑分別為r2和r1，水平彈簧的剛度為kh。x為載荷從靜平衡位置開始的位移。隔振系統(tǒng)的阻尼為線性黏性阻尼，阻尼系數(shù)為c。系統(tǒng)受到垂向簡(jiǎn)諧力激勵(lì)fe=Fecosωt，其中：Fe和ω分別為激勵(lì)幅值和頻率。當(dāng)準(zhǔn)零剛度隔振器工作時(shí)，滾輪沿著凸輪表面上下滾動(dòng)，水平彈簧則沿著水平方向運(yùn)動(dòng)并為隔振器在豎直方向提供負(fù)剛度。隔振器的剛度是否表現(xiàn)出分段非線性取決于激勵(lì)幅值的大小。

圖1 準(zhǔn)零剛度隔振器示意圖Fig.1 Schematic diagram of the QZS vibration isolator

當(dāng)激勵(lì)幅值較小時(shí)，系統(tǒng)振幅小于臨界位移xc，滾輪僅沿凸輪表面運(yùn)動(dòng)，如圖2(a)所示。隔振系統(tǒng)的恢復(fù)力與位移之間的關(guān)系為

(1)

圖2 凸輪滾輪在不同狀態(tài)下的受力分析圖Fig.2 Schematic diagrams of static analysis of cam and roller in different states

恢復(fù)力可以表示為

(2)

當(dāng)激勵(lì)幅值較大時(shí)，系統(tǒng)振幅大于臨界位移xc，則滾輪可能脫離凸輪表面，如圖2(c)所示。此時(shí)載荷僅由豎直彈簧支撐，故恢復(fù)力為

f(x)=kvx

(3)

將式(2),(3)寫成無量綱的形式

(4)

(5)

將u=0代入式(5)，得到系統(tǒng)在靜平衡位置處的無量綱剛度為

ks=1-2βδ

(6)

若系統(tǒng)在靜平衡位置處的剛度為零，則可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性。令ks=0，得到準(zhǔn)零剛度條件

(7)

系統(tǒng)在uc=0.6，β=1時(shí)，無量綱力-位移及剛度-位移曲線隨δ的變化規(guī)律如圖3所示。可以看出，靜平衡位置的剛度隨著δ的增大而減小。當(dāng)δ=δqzs時(shí)，靜平衡位置的剛度為零，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性。若δ繼續(xù)增加，靜平衡位置附近的剛度將小于零，系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，這在工程實(shí)際中是不允許出現(xiàn)的。筆者選擇δ=δqzs。

圖3 無量綱力-位移及剛度-位移曲線(uc=0.6,β=1)Fig.3 Non-dimensional force-displacement and stiffness-displacement curves (uc=0.6,β=1)

h(u)=λu+γ1u3+γ2u5

(8)

(9)

完整的無量綱恢復(fù)力近似表達(dá)式為

(10)

無量綱恢復(fù)力的精確表達(dá)式(4)與近似表達(dá)式(10)的對(duì)比曲線如圖4所示?？梢姡魄€與精確曲線具有較好的一致性，只在分段點(diǎn)處誤差較大。

圖4 無量綱恢復(fù)力精確表達(dá)式與近似表達(dá)式對(duì)比曲線(δ=0.5,β=1,σ=50)Fig.4 Comparison of the exact and approximate non-dimensional restoring force curves (δ=0.5,β=1,σ=50)

2 增量諧波平衡法

額定載荷為m，載荷變化后為m2，載荷變化后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(11)

引入如下無量綱參數(shù)

將以上無量綱參數(shù)代入式(11)，并將恢復(fù)力用近似表達(dá)式代替，則式(11)可以改寫為

(12)

對(duì)具有一般形式的非線性系統(tǒng)

(13)

增量諧波平衡法的第1步為增量過程：令u0和Ω0為系統(tǒng)某一時(shí)刻的解，其鄰近的狀態(tài)可以表示成增量的形式

(14)

將式(14)代入式(13)并按泰勒級(jí)數(shù)展開，忽略高階小量，得到增量方程為

(15)

設(shè)u和Δu的形式為

其中：N為解中包含的諧波項(xiàng)數(shù)；ai，bi，Δai及Δbi分別為各諧波項(xiàng)的傅里葉系數(shù)。

第2步為諧波平衡過程：應(yīng)用伽遼金平均過程，式(15)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(18)

將式(16)和(17)代入式(18)，得到2N+1個(gè)關(guān)于Δai和Δbi的線性代數(shù)方程為

R=CΔa+QΔΩ

(19)

為了方便迭代計(jì)算，利用頻率Ω作為控制變量，每個(gè)迭代過程中Ω保持為常量，即ΔΩ=0，得到迭代方程為

(21)

其中：ε1，ε2為給定誤差。

3 計(jì)算結(jié)果

周期解包含的諧波項(xiàng)數(shù)N越大，則計(jì)算精度越高，但耗費(fèi)時(shí)間越長(zhǎng)。N過小則計(jì)算精度無法滿足，故參考文獻(xiàn)[15]選擇N=12。其他參數(shù)為： 亞諧階數(shù)v=1，δ=0.5，β=1，uc=0.6，us=0.1，σ=50，ζ=0.02，ε1=ε2=10-6。增量諧波平衡法結(jié)合路徑跟蹤法[17]得到完整的幅頻曲線。

μ=1.1，f1=0.04，Ω=0.6925時(shí)響應(yīng)的時(shí)間歷程如圖5所示。其中：umax為響應(yīng)的最大幅值；umin為響應(yīng)的最小幅值?？梢钥闯?，載荷變化時(shí)umax與umin的絕對(duì)值不相等。μ=1.1，f1=0.04時(shí)準(zhǔn)零剛度隔振器的幅頻響應(yīng)曲線如圖6所示。其中：A0為常數(shù)項(xiàng)，幅值A(chǔ)max=umax-A0，Amin=umin-A0。數(shù)值解1為未引入光滑函數(shù)時(shí)采用龍格-庫(kù)塔法求解得到的數(shù)值解，數(shù)值解2為引入光滑函數(shù)求解得到的數(shù)值解。可以看出,兩數(shù)值解之間吻合的較好，并與IHB法結(jié)果一致，表明引入光滑函數(shù)及使用IHB法求解的合理性。

圖5 響應(yīng)的時(shí)間歷程(μ=1.1,f1=0.04,Ω=0.692 5)Fig.5 Time history of the response(f1=0.005,μ=1.1,Ω=0.278 5)

圖6 準(zhǔn)零剛度隔振器幅頻響應(yīng)曲線 (μ=1.1,f1=0.04)Fig.6 Amplitude-frequency curves of QZS vibration isolator (μ=1.1,f1=0.04)

圖7 不同載荷時(shí)的幅頻曲線 (f1=0.005)Fig.7 Amplitude-frequency curves for various loads (f1=0.005)

當(dāng)激勵(lì)幅值較大時(shí)(f1=0.03)，凸輪與滾輪會(huì)周期性地接觸和分離，載荷的變化對(duì)系統(tǒng)共振頻率及動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響如圖8所示，表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性。過載情況下A0在剛度轉(zhuǎn)變點(diǎn)附近出現(xiàn)負(fù)值，輕載時(shí)結(jié)果相反。A0在共振區(qū)域附近出現(xiàn)交叉折疊的現(xiàn)象，這與連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)不同[13]。另外，隨著載荷的增加，共振頻率逐漸向低頻移動(dòng)；Amax的峰值隨之增加，Amin的最小值則相應(yīng)減小。

μ=1.1時(shí)，激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)共振頻率及動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響如圖9所示。隨著激勵(lì)幅值的增大，A0在共振區(qū)域附近先是出現(xiàn)負(fù)值再逐漸產(chǎn)生交叉折疊的現(xiàn)象；Amax的峰值隨之增大，Amin的最小值則相應(yīng)地減??；共振頻率先是快速向高頻移動(dòng)，然后緩慢趨向于1，而共振區(qū)域則趨向于線性系統(tǒng)。

4 力傳遞率

現(xiàn)有大多數(shù)研究中非線性隔振系統(tǒng)的傳遞率是根據(jù)線性振動(dòng)理論來定義的[8-10]，即假設(shè)周期解中包含的諧波項(xiàng)數(shù)只有一個(gè)且響應(yīng)頻率與激勵(lì)頻率相同。但是當(dāng)周期解中包含多個(gè)諧波項(xiàng)時(shí)，線性系統(tǒng)所定義的傳遞率不再適用。非線性隔振器的力傳遞率定義[18]為

圖8 不同載荷時(shí)的幅頻曲線 (f1=0.03)Fig.8 Amplitude-frequency curves for various loads (f1=0.03)

圖9 不同激勵(lì)幅值下的幅頻曲線 (μ=1.1)Fig.9 Amplitude-frequency curves for various excitation amplitude (μ=1.1)

(22)

圖10為f1=0.005時(shí)載荷的變化對(duì)隔振系統(tǒng)力傳遞率的影響?？梢钥闯觯哼^載情況下，隨著載荷的增加，力傳遞率曲線逐漸向左彎曲并向高頻移動(dòng)；起始隔振頻率隨之增加，有效隔振頻帶相應(yīng)地減小，隔振頻帶內(nèi)的傳遞率增加；力傳遞率峰值也相應(yīng)地增大。輕載情況下同樣會(huì)減小系統(tǒng)的有效隔振頻帶。雖然載荷變化導(dǎo)致準(zhǔn)零剛度隔振器的隔振性能變差，但總體性能仍優(yōu)于線性隔振器，因?yàn)闇?zhǔn)零剛度隔振器仍然具有更寬的隔振頻帶和更低的傳遞率峰值。

圖10 不同載荷時(shí)的力傳遞率 (f1=0.005)Fig.10 Force transmissibility for various loads (f1=0.005)

圖11 不同載荷時(shí)的力傳遞率 (f1=0.03)Fig.11 Force transmissibility for various loads (f1=0.03)

當(dāng)激勵(lì)幅值增加到f1=0.03時(shí)，載荷的變化對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響如圖11所示。可以看出，力傳遞率曲線比較復(fù)雜，主要由上下兩支構(gòu)成。隨著載荷的增加，傳遞率峰值隨之增大，共振頻率向低頻移動(dòng)。過載情況下，下支曲線有效隔振頻帶內(nèi)的傳遞率隨載荷的增加而增大；輕載情況也會(huì)導(dǎo)致有效隔振頻帶內(nèi)的傳遞率增大，但明顯具有比線性隔振器更低的傳遞率。因此當(dāng)激勵(lì)頻率大于系統(tǒng)的向下跳躍頻率時(shí)，系統(tǒng)便能起到隔振效果。顯然準(zhǔn)零剛度隔振器仍有著比線性隔振器更寬的隔振頻帶，傳遞率峰值則與線性隔振器相當(dāng)，并無明顯地增加。

圖12 不同激勵(lì)幅值下的力傳遞率 (μ=1.1)Fig.12 Force transmissibility for various excitation amplitude (μ=1.1)

μ=1.1時(shí)激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響如圖12所示。可以看出：隨著激勵(lì)幅值的增加，準(zhǔn)零剛度隔振器的共振頻率先是迅速增加，然后緩慢趨向于1，曲線在共振區(qū)域趨向于線性系統(tǒng)；傳遞率峰值先迅速增加然后逐漸與線性系統(tǒng)相當(dāng)；起始隔振頻率隨著激勵(lì)幅值的增加而增大，隔振性能變差。值得注意的是，即使激勵(lì)幅值很大(f1=0.08)，準(zhǔn)零剛度隔振器的性能仍要優(yōu)于線性隔振器，因?yàn)橛兄^寬的隔振頻帶而傳遞率峰值則與線性系統(tǒng)相當(dāng)。

5 結(jié) 論

1) 激勵(lì)幅值較小時(shí)，增加載荷導(dǎo)致共振頻率先減小再向高頻移動(dòng)，載荷變化量增加使系統(tǒng)由漸硬特性向漸軟特性轉(zhuǎn)變。激勵(lì)幅值較大時(shí)，響應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)在共振區(qū)域附近出現(xiàn)交叉折疊的現(xiàn)象，共振頻率隨載荷的增加向低頻移動(dòng)。增大激勵(lì)幅值使系統(tǒng)共振頻率向高頻移動(dòng)并趨向于1，共振區(qū)域趨向于線性系統(tǒng)。

2) 激勵(lì)幅值較小時(shí)，載荷變化導(dǎo)致系統(tǒng)力傳遞率曲線向高頻移動(dòng)，有效隔振頻帶變窄，隔振效果變差。激勵(lì)幅值較大時(shí)，載荷的增加使系統(tǒng)的共振頻率減小，傳遞率峰值緩慢增加。增加激勵(lì)幅值導(dǎo)致有效隔振頻帶變窄，傳遞率峰值增加。

3) 載荷變化和激勵(lì)幅值的增加均會(huì)導(dǎo)致準(zhǔn)零剛度隔振器的隔振性能變差，但是與線性隔振器相比仍具有更寬的隔振頻帶。因此該準(zhǔn)零剛度隔振器的隔振性能仍要優(yōu)于線性隔振器。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.04.017

* 機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題資助項(xiàng)目(SV2015-KF-01)；中央高?；A(chǔ)研究基金資助項(xiàng)目(XZA15003)；江蘇省研究生培養(yǎng)創(chuàng)新工程資助項(xiàng)目(KYLX15_0256)

2015-11-07；

2015-12-03

TH113.1； TB535； O322

程春，男，1991年1月生，博士生。主要研究方向?yàn)榉蔷€性振動(dòng)分析與控制。曾發(fā)表《On the analysis of a piecewise nonlinear-linear vibration isolator with high-static-low-dynamic-stiffness under base excitation》(《Journal of Vibroengineering》2015，Vol.17,No.7)等論文。 E-mail:chengchun987@163.com