凌明祥，朱長春

(1.中國工程物理研究院總體工程研究所 綿陽，621900)(2.西安交通大學機械工程學院 西安，710049)

液壓振動臺非線性摩擦力測量與參數(shù)辨識*

凌明祥1,2，朱長春1

(1.中國工程物理研究院總體工程研究所 綿陽，621900)(2.西安交通大學機械工程學院 西安，710049)

電液伺服振動試驗系統(tǒng)低速和換向時的非線性摩擦力測量和補償是提高運輸環(huán)境試驗和地震模擬試驗等控制精度的重要途徑。為了定量獲取液壓振動臺的非線性摩擦力，基于Stribeck效應建立了改進的電液伺服振動試驗系統(tǒng)非線性摩擦力理論模型，并結合液壓振動臺的力平衡方程建立了非線性摩擦力待辨識參數(shù)的目標函數(shù)。提出一種基于位移閉環(huán)控制的簡便方法對不同速度下的液壓振動臺油缸壓力差進行測量，得到振動臺液壓缸與活塞桿之間的摩擦力隨速度變化的數(shù)值規(guī)律。采用基于擬隨機序列的混合遺傳算法對非線性摩擦力理論模型的4個參數(shù)進行了辨識。試驗結果證明了本研究方法的可行性，為液壓振動試驗系統(tǒng)加速度波形失真補償提供了一定參考。

電液伺服振動； 摩擦力； 遺傳算法； 非線性

引 言

液壓振動試驗系統(tǒng)作為武器、裝備運輸環(huán)境或地震模擬的重要試驗設備，其性能是制約環(huán)境試驗控制精度的重要因素之一，尤其是低頻段的加速度波形失真與液壓振動試驗系統(tǒng)中諸如摩擦和流量非線性等因素密切相關[1-3]。

筆者在振動環(huán)境試驗和相關試驗設備研制過程中發(fā)現(xiàn)，振動臺活塞桿與液壓缸之間的摩擦力在低速、換向時對加速度響應的失真影響較為嚴重，且低速段的摩擦力表現(xiàn)出強烈的非線性特征。對非線性摩擦進行補償控制的有效方式之一是通過動力學建模和參數(shù)辨識獲得真實振動臺的摩擦力，再進行逆模型補償控制[4]。目前，國內(nèi)外對機電系統(tǒng)的摩擦測量和辨識研究較多，但主要是針對旋轉機構的摩擦力測量和辨識[5-7]，這主要由于摩擦力一般表現(xiàn)為速度的函數(shù)，而旋轉機構的轉速可方便地由光電編碼器等進行測量。然而，對于液壓振動臺等線振動臺很難采用線速度傳感器來測量活塞運動速度，也就很難定量測量振動臺活塞桿與液壓缸之間的摩擦力，尤其是低速段的非線性摩擦。目前，液壓系統(tǒng)摩擦力理論模型采用庫侖摩擦和黏性摩擦模型較多[8]，但不能反映液壓振動臺低速和換向時的摩擦非線性特性。Lugre摩擦力模型和Karnopp摩擦力模型等雖然能夠反映摩擦力的各種靜、動態(tài)特性[9-10]，但是這些理論模型中的動態(tài)參數(shù)辨識困難，很難直接用于工程實際。因此，如何建立一個能夠反映液壓振動臺換向和低速特性的非線性摩擦動力學模型，且準確測量、辨識出模型中的參數(shù)是工程實際中需要解決的基本問題。

1 摩擦力理論模型建立

目前，摩擦動力學模型多達數(shù)十種，這些摩擦力動力學模型從不同角度反映了摩擦力的最大靜摩擦特性、Stribeck效應、可變靜摩擦效應以及摩擦記憶等靜、動態(tài)特性[9]。液壓振動臺在低速和換向時受液壓缸與活塞桿之間的摩擦力影響較嚴重，實際測量結果發(fā)現(xiàn)其低速段的非線性特性及高速段的黏性阻尼特性符合Stribeck曲線特性，如圖1所示。用式(1)所示的Stribeck摩擦理論模型近似描述，該模型屬于唯象模型

f=fcsign(v)+(fs-fc)e-(v/vs)2sign(v)+σ2v

(1)

其中：f為非線性摩擦力；vs為Stribeck速度；v為液壓缸活塞運動速度；fc為庫侖摩擦力；fs為靜摩擦力；F為驅動外力；σ為黏性阻尼系數(shù)；v0為切換速度。

圖1 Stribeck摩擦力曲線Fig.1 Curves of Stribeck friction force

由于Stribeck摩擦動力學模型不能反映速度為零時靜摩擦力隨外力變化的特性，不便于數(shù)值求解，因此筆者基于Karnopp摩擦建模思想，即采用分段的思想將靜摩擦力和動摩擦力結合起來，得到改進的Stribeck摩擦動力學模型，用于描述液壓振動臺的靜摩擦力隨外負載變化、Stribeck非線性效應以及黏性阻尼特性，且摩擦參數(shù)辨識相對容易。用于系統(tǒng)仿真或補償控制時通過對相對速度v的實時判斷，確定使用哪組方程計算摩擦力。為便于數(shù)值求解和簡化控制算法，采用連續(xù)函數(shù)代替分段的符號函數(shù)，即

(2)

其中：f為液壓振動臺活塞桿與液壓缸之間的動摩擦力；v為液壓振動臺活塞運動線速度；v0為切換速度；F為驅動外力。

參數(shù)a用于調(diào)節(jié)連續(xù)函數(shù)逼近符號函數(shù)的程度，不同調(diào)節(jié)因子a對應的曲線如圖2所示。a取50時，連續(xù)函數(shù)與符號函數(shù)基本重合，逼近精度能夠滿足較高精度的數(shù)值計算。

圖2 符號函數(shù)的連續(xù)函數(shù)等效Fig.2 Equivalent curves of Sign function

2 液壓振動臺非線性摩擦測量與辨識

2.1 目標函數(shù)建立

為了獲取實際液壓振動試驗系統(tǒng)的非線性摩擦參數(shù)，通過測量不同恒速度下摩擦力的輸入輸出曲線，采用一定的優(yōu)化策略即可辨識出摩擦理論模型的4個參數(shù)。具體辨識過程是采用PD控制液壓缸活塞桿作恒速運動，不考慮活塞桿的位移怎么變化，測量液壓缸兩腔壓力，得到液壓缸不同恒速度下的壓力差。活塞桿恒速運動時可以認為加速度為零，此時液壓驅動力主要用于克服活塞和臺體的黏性阻尼、活塞桿與液壓缸之間的摩擦力以及負載重力。因此，根據(jù)液壓缸力平衡方程(不考慮彈性負載)，有

F-Bev-mg=f

(3)

其中：F為液壓缸兩腔壓力差，即式(2)中的驅動外力；m為振動臺負載質(zhì)量；Be為活塞及臺體的黏性阻尼系數(shù)。

令σ2+Be=σ3，σ3為負載和油液的等效黏性阻尼系數(shù)。將摩擦力理論模型代入式(3)，得到

F-mg=fc+(fs-fc)e-(v/vs)2+vσ3

(4)

由式(3)可知，只要能夠測量出振動臺恒速運動時的液壓缸兩腔壓力差F，即可獲得液壓振動臺的摩擦力f，通過式(4)辨識出摩擦力唯象模型中的4個摩擦參數(shù)。參數(shù)辨識過程可以描述為在解空間搜索一組最佳參數(shù)x=[fc,fs,vs,σ3]，使式(4)中方程兩邊的值盡量相等，即使摩擦力理論模型與實測速度-壓力差之間的誤差最小，筆者采用二者的平方和最小。

目標函數(shù)可以設計為

(5)

其中：n為液壓缸活塞桿恒定速度-兩腔壓力差測量總點數(shù)；Fi為第i個恒定速度測量點對應的液壓缸兩腔壓力差實測值。

根據(jù)實測數(shù)據(jù)，采用非線性全局優(yōu)化算法搜索出使目標函數(shù)J為最小值時的摩擦參數(shù)x=[fc,fs,vs,σ3]，完成對液壓振動試驗系統(tǒng)非線性摩擦理論模型參數(shù)的辨識。

2.2 速度-壓力差測量

考慮到液壓缸恒速運動控制需要采用速度傳感器進行閉環(huán)控制，而液壓振動試驗系統(tǒng)一般是通過液壓缸的位移傳感器進行位移閉環(huán)，線速度閉環(huán)控制實現(xiàn)較困難而且測量噪聲一般較大，因此筆者提出將液壓振動試驗系統(tǒng)的控制參考輸入信號設置為一定幅值、一定頻率的三角波位移輸入，通過三狀態(tài)控制和PID控制，讓液壓振動臺跟蹤上三角波信號。理論上，位移三角波對應的微分為方波信號，代表一定幅值的恒值速度信號。液壓振動試驗系統(tǒng)輸入波形如圖3所示，對應的液壓缸活塞桿速度為

v=4A/T

(6)

其中：A為液壓振動試驗系統(tǒng)輸入位移三角波幅值；T為液壓振動試驗系統(tǒng)輸入位移三角波周期。

圖3 液壓振動臺位移輸入Fig.3 Displacement input of hydraulic shaker

通過設定位移三角波幅值和頻率，使液壓振動試驗系統(tǒng)活塞桿速度由0.001 m/s變化到0.8 m/s，對每一個速度點通過位移閉環(huán)控制使活塞桿作勻速運動，采集液壓缸兩腔壓力差，得到不同恒定速度下的壓力差值。幅值為5 mm、頻率為1 Hz以及幅值為80 mm、頻率為1Hz時的液壓缸兩腔壓力差測試結果如圖4所示?？梢姡瑝毫Σ罱瞥煞讲?，與理論分析一致，說明本測量方法是可行的，優(yōu)點為不需要線速度傳感器。

圖4 液壓缸兩腔壓力差測量結果Fig.4 Measuring results of pressure difference for hydraulic shaking table

基于以上活塞桿勻速運動速度下的n組壓力差測量結果，采用全局優(yōu)化算法即可對式(5)所示的目標函數(shù)進行尋優(yōu)，辨識出4個非線性摩擦參數(shù)。

2.3 非線性參數(shù)辨識算法

遺傳算法作為智能搜索算法，在非線性參數(shù)辨識領域得到了廣泛應用，但標準遺傳算法存在“早熟”和“欺騙”等問題[11]，實際應用時需要進行改進。筆者對遺傳算法中的初始群體采用擬隨機數(shù)來產(chǎn)生，分布均勻性更好，有利于提高遺傳算法的全局搜索能力和避免早熟現(xiàn)象。此外，經(jīng)過種群的選擇、交叉和變異后，個體不是直接進入下一代，而是基于非線性最小二乘法對種群的部分個體進行局部搜索，快速搜索局部最優(yōu)解。算法流程如圖5所示。非線性最小二乘法采用Levenberg-Marquardt迭代公式。

圖5 非線性參數(shù)辨識算法流程Fig.5 Nonlinear parameter identification strategy

筆者采用目標函數(shù)值與其雅克比矩陣的乘積的模長作為迭代參數(shù)

(7)

其中：μk為大于零的迭代參數(shù)；I為4×4階單位矩陣；f(xk)為殘差函數(shù)；J(xk)為雅克比矩陣。

3 辨識結果

對于提出的4個非線性摩擦參數(shù)辨識，由式(1)的Stribeck理論模型和圖1可以看出：速度為零時，對應的外力為靜摩擦力fs，即液壓振動臺極低速度對應的液壓缸壓力差實測值為靜摩擦力fs的初值；液壓臺高速段的摩擦力斜率近似為等效黏性阻尼系數(shù)為σ3；液壓臺高速段的摩擦力直線的延長線與y軸的交點近似為fc。根據(jù)實測結果可大致設定靜摩擦力范圍為2 500～4 000 N、庫倫摩擦力范圍為100～500 N、等效黏性阻尼系數(shù)范圍為2 500～4 000 N/(m·s-1)、Stribeck速度為0.01～0.4 m/s。4個參數(shù)的辨識結果隨遺傳代數(shù)的變化如圖6所示?？梢?，大致循環(huán)20步，4個參數(shù)已經(jīng)達到穩(wěn)定。從設置的初值范圍來看，選擇的初始范圍較大，說明了本研究方法的可行性和優(yōu)越性。

圖6 4個摩擦參數(shù)隨遺傳代數(shù)的變化Fig.6 Changes of the four friction parameters with genetic times

對整個參數(shù)辨識過程進行10次，取平均值作為液壓振動試驗系統(tǒng)非線性摩擦力理論模型的4個參數(shù)，如表1所示?；诒孀R出的4個非線性摩擦力參數(shù)，圖7為建立的非線性摩擦力理論模型與實測摩擦力的比較。可以看出，理論模型基本能夠描述液壓振動試驗系統(tǒng)的實際摩擦現(xiàn)象，尤其是低速非線性段。然而，理論模型與實測結果存在一定的誤差，尤其是靜摩擦力差別較為明顯。原因在于筆者的液壓振動試驗系統(tǒng)摩擦力測量方法是一種簡便的近似測量，活塞桿不是嚴格意義上的勻速運動，測量精度存在一定局限性。對于一般的電液伺服振動試驗及系統(tǒng)研制來說，筆者建立的非線性摩擦力理論模型主要用于系統(tǒng)仿真建模和定量認識非線性摩擦問題，該誤差是可以接受的。

表1 液壓振動臺摩擦參數(shù)辨識結果Tab.1 Friction parameter identification results

圖7 理論模型與實測結果比較Fig.7 Comparison of theoretical model and experimental results

4 結束語

基于Stribeck摩擦理論模型，建立了能夠反應線振動臺換向和低速非線性特性且連續(xù)的改進摩擦動力學模型，并結合液壓振動臺的力平衡方程建立了非線性摩擦力待辨識參數(shù)的目標函數(shù)。采用位移傳感器間接測量液壓振動臺動態(tài)摩擦力，并結合非線性最小二乘法和改進遺傳算法對建立的摩擦非線性動力學模型參數(shù)進行了辨識。遺傳算法的初始種群由均勻性更好的擬隨機序列產(chǎn)生，而在每代遺傳中采用非線性最小二乘法進行局部搜索，避免了遺傳算法“早熟”現(xiàn)象，提高了參數(shù)辨識的全局收斂性、局部收斂速度和穩(wěn)定性。摩擦力理論模型與測試結果基本一致，研究結果可為定量認識以及補償液壓振動試驗系統(tǒng)中的非線性摩擦力提供一定參考。

[1] Yao Jianjun,Hu Shenghai,Fu Wei,et al.Impact of excitation signal upon the acceleration harmonic distortion of an electro-hydraulic shaking table[J].Journal of Vibration and Control,2011,17(7):1106-1111.

[2] Yao Jianjun,Yan Han,Xiao Rui,et al.Sinusoidal acceleration harmonic estimation using the extended Kalman filter for an electro-hydraulic servo shaking table[J].Journal of Vibration and Control,2015,21(8):1566-1579.

[3] 凌明祥,楊奇,朱長春，等.電液伺服振動臺動力學建模與仿真研究進展[J].機床與液壓,2013,11(21):1052-1056.

Ling Mingxiang,Yang Qi,Zhu Changchun,et al.Research advances in dynamic modeling and simulation for electro-hydraulic servo shaking table[J].Machine Tool &Hydraulics,2013,11(21):1052-1056.(in Chinese)

[4] Yao Jianjun,Dietz M,Xiao Rui,et al.An overview of control schemes for hydraulic shaking tables[J].Journal of Vibration and Control,2016,22(12):2807-2823.

[5] 劉棟,陶濤,梅雪松,等.伺服系統(tǒng)線性特性和非線性摩擦的解耦辨識方法研究[J].儀器儀表學報,2010,31(4):782-788.

Liu Dong,Tao Tao,Mei Xuesong,et al.Study on the decoupling identification method of linear dynamic and nonlinear friction for servo drive system[J].Chinese Journal of Scientific Instrument,2010,31(4):782-788.(in Chinese)

[6] Márton L,Fodor S,Sepehri N.A practical method for friction identification in hydraulic actuators[J].Mechatronics,2011,21(1):350-356.

[7] Baur J,Dendorfer S,Pfaff J,et al.Experimental friction identification in robot drives[C]∥Robotics and Automation (ICRA),2014 IEEE International Conference.China,Hong Kong:IEEE,2014:6006-6011.

[8] 王永富,柴天佑.機器人關節(jié)摩擦的自適應模糊補償建模與控制[J].儀器儀表學報,2006,27(2):186-190.

Wang Yongfu,Chai Tianyou.Compensating modeling and control of robot joint friction based on adaptive fuzzy systems[J].Chinese Journal of Scientific Instrument,2006,27(2):186-190.(in Chinese)

[9] 丁千,翟紅梅.機械系統(tǒng)摩擦動力學研究進展[J].力學進展,2013,43(1):112-131.

Ding Qian,Zhai Hongmei.The advance in researches of friction dynamics in mechanics system[J].Advances in Mechanics,2013,43(1):112-131.(in Chinese)

[10]Karnopp D.Computer simulation of stick slip friction in mechanical dynamic systems[J].ASME Journal of Dynamic Systerms,Measurement,and Control,1985,107:100-103.

[11]Deb K,Pratap A,Agarwal S,et al.A fast and elitist multi-objective genetic algorithm:NSGA-II[J].Evolutionary Computation,IEEE Transactions on,2002,6(2):182-197.

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.04.008

* 中國工程物理研究院科學技術發(fā)展基金資助項目(2012B0203022)

2015-06-23；

2015-09-05

TH11

凌明祥，男，1986年10月生，博士、工程師。主要研究方向為壓電智能結構與振動控制。曾發(fā)表《10-6量級精密離心機輸出加速度測量模型及不確定度評定》(《光學精密工程》2015年第34卷第8期)等論文。 E-mail:ling_mx@163.com