趙愛(ài)民，陶佳琪，劉桂榮

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

基于意識(shí)作用的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上SIS模型的穩(wěn)定性

趙愛(ài)民，陶佳琪，劉桂榮

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

研究三種意識(shí)對(duì)疾病傳播的影響,建立了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的SIS模型,并得到了該模型無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及傳播閾值。結(jié)果表明局部意識(shí)和接觸意識(shí)可以提高傳播率的閾值,全部意識(shí)對(duì)無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及傳播閾值沒(méi)有影響。最后利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò);SIS模型;意識(shí);閾值

0 引言

近年來(lái),傳染病的頻發(fā)對(duì)人類造成了物質(zhì)上和精神上的損害。 建立傳染病動(dòng)力學(xué)模型可以很好地研究疾病的分布情況和傳播規(guī)律,便于更有效地預(yù)防和控制疾病傳播。 傳統(tǒng)的均勻混合傳染病動(dòng)力學(xué)模型認(rèn)為所有個(gè)體的接觸都是等可能的,顯然忽略了個(gè)體行為的影響。 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動(dòng)力學(xué)模型更符合實(shí)際[1]。 目前基于網(wǎng)絡(luò)傳染病的動(dòng)力學(xué)模型中很少考慮到疾病信息對(duì)于疾病傳播的影響。 但是,疾病信息的傳播會(huì)導(dǎo)致人們疾病意識(shí)的增強(qiáng),從而采取自我保護(hù)措施,例如勤洗手、佩戴口罩[2-3]等。

文[4]考慮了三種意識(shí)對(duì)疾病傳播的影響。 假設(shè)一個(gè)易感者被一個(gè)染病鄰居傳染的概率只與易感者的度有關(guān),但這是不合理的。 顯然,一個(gè)易感者被一個(gè)染病鄰居傳染的概率與易感者和染病者的度都有關(guān)系。 基于上述研究背景,本文考慮意識(shí)作用下的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的SIS模型。

1 模型建立

(1)

令Y表示與易感節(jié)點(diǎn)i連邊的一個(gè)染病鄰居j的度,則該染病鄰居的度為m的概率為

(2)

由(1)和(2),度為k的易感節(jié)點(diǎn)i被一個(gè)染病鄰居j傳染的概率為:

(3)

令θ表示一個(gè)易感者節(jié)點(diǎn)一條邊連接到染病者節(jié)點(diǎn)的概率,則

(4)

令Xk是一個(gè)隨機(jī)變量,表示一個(gè)度為k的易感者節(jié)點(diǎn)的染病鄰居數(shù)。則他有s(0≤s≤k)個(gè)染病鄰居和k-s個(gè)易感者鄰居的概率為:

(5)

由(3)式,如果一個(gè)度為k的易感者的染病鄰居數(shù)為s,那么他被傳染的概率為:

由(4)和(5),一個(gè)度為k的易感者被傳染的概率為:

(6)

離散的動(dòng)力學(xué)模型為:

ρk(t+1)=(1-γ)ρk(t)+(1-ρk(t))Θk.

考慮[t,t+Δt]上的動(dòng)力學(xué)模型,并結(jié)合(6)式可得:

ρk(t+Δt)-ρk(t)=-γΔtρk(t)+(1-ρk(t))·

(7)

利用洛必達(dá)法則對(duì)上式求極限得到:

(8)

我們定義M(l)=E(elXk)=(θel+1-θ)k,l∈(-∞,+∞). 從而,

M′(0)=E(Xk)=kθ,

(9)

(10)

對(duì)(7)式等號(hào)兩邊同時(shí)除以Δt,令Δt→0并結(jié)合(8)-(10)可得:

(11)

2 穩(wěn)定性及傳播閾值

注意到在(11)式中,

(k(θel+1-θ)k-1θel)(α1)|l=0=

[kθ((k-1)(θel+1-θ)k-2θe2l+(θel+1-θ)k-1el)](α1-1)|l=0=

(*+kθ(θel+1-θ)k-1el)|l=0=(*|l=0+kθ),

其中*是θ的高次項(xiàng)。從而,可得到系統(tǒng)(11)在無(wú)病平衡點(diǎn)處的線性化系統(tǒng)為:

(12)

線性系統(tǒng)(12)的系數(shù)矩陣為:

其中fk=ψk(k-a/kα1-1),gk=kpkβk/〈k〉.進(jìn)一步,

(13)

注:上述結(jié)果可知,全局意識(shí)對(duì)無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及傳播閾值沒(méi)有影響。 局部意識(shí)和接觸意識(shí)可以提高傳播率的閾值。

3 數(shù)值模擬

這一部分我們將進(jìn)行數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證理論分析結(jié)果。 我們選取一個(gè)有n=2 000個(gè)節(jié)點(diǎn)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),其度分布為pk=k-2.7[5-7]。 接觸意識(shí)函數(shù)為ψk=k-0.5,令恢復(fù)率γ=1,α1=1. 我們對(duì)(11)式進(jìn)行數(shù)值模擬。 為了驗(yàn)證三種意識(shí)對(duì)傳染病閾值的影響,我們分析這三種意識(shí)對(duì)應(yīng)參數(shù)a,b,μ取不同值時(shí)疾病的爆發(fā)情況。

圖1中我們模擬局部意識(shí)對(duì)閾值的影響。假設(shè)初始階段染病者的密度為0.1,令b=1/2,可以看出當(dāng)傳播率達(dá)到0.58時(shí),疾病爆發(fā),所以閾值β0=0.58.圖2中改變參數(shù)a的值,β0以0.01的步長(zhǎng)從0到1變化。利用(11)式求解得一段時(shí)間后染病者的密度ρ. 我們認(rèn)為ρ>0.002時(shí)疾病爆發(fā)。取這個(gè)β0的值作為傳染病閾值并在圖中描點(diǎn)。同時(shí)繪制了(13)式的圖像。顯然利用穩(wěn)定性理論求解的閾值,和數(shù)值模擬求解的閾值相差不大。隨著局部意識(shí)的增強(qiáng)(a增大)傳染病閾值也增大。

Fig.1 Dynamic of infection density圖1 染病者密度隨時(shí)間的變化

Fig.2 Influence of local awareness on threshold圖2 局部意識(shí)對(duì)閾值的影響

圖3圖4中我們分別模擬了局部意識(shí)和接觸意識(shí)對(duì)流行病閾值的影響,這個(gè)結(jié)果與文獻(xiàn)[4]一致。

Fig.3 Influence of global awareness on threshold圖3 全局意識(shí)對(duì)閾值的影響

Fig.4 Influence of contact awareness on threshold圖4 接觸意識(shí)對(duì)閾值的影響

4 結(jié)論

本文建立了簡(jiǎn)單的SIS傳染病模型來(lái)研究三種意識(shí)對(duì)于傳染病閾值的影響。 利用平均場(chǎng)模型和穩(wěn)定性理論求解傳染病閾值和基本再生數(shù)。 結(jié)果表明,局部意識(shí)和接觸意識(shí)可以提高傳染病的閾值,但是全局意識(shí)不可以。 最后利用數(shù)值模擬檢驗(yàn)了理論分析的結(jié)果。

[1] 靳禎,孫桂全,劉茂省.網(wǎng)絡(luò)傳染病動(dòng)力學(xué)建模與分析[M].北京:科學(xué)出版社,2014.

[2] Kiss L Z,Cassell J,Reca M,etal.The Impact of Information Transmission on Epidemic Outbreaks[J].Math:Biosci,2010,225:1-10.DOI：10.1016/j.mbs.2009.11.009.

[3] Wu Q,Fu X,Small M,etal.The Impact of Awareness on Epidemic Spreading in Networks[J].Chaos:AnInterdisciplinaryJournalofNonlinearScience,2012,22:013101.DOI:10.1063/13673573.

[4] Shang Y.Modeling Epidemic Spread with Awareness and Heterogeneous Transmission Rates in Networks[J].BiolPhys,2003,39:489-500.DOI:10.1007/s10867-013-9318-8.

[5] Barabási A L.Scale-free Networks:A Decade and Beyond[J].Science,2009,325:412-413.DOI:10.1126/science.1173299.

[6] Pastor-Satorras R,Vespignani A.Epidemic Spreading in Scale-free Networks[J].PhysicalReviewLetters,2001,86:3200.DOI:10.1103/PhysRevLett.86.3200.

[7] Barabasi A L,Albert R.Emergence of Scaling in Random Networks[J].Science,1999,286(5439)：509-512.DOI:10.1126/Science.286.5439.509.

Stability of SIS Model Based on Awareness in Complex Networks

ZHAO Aimin,TAO Jiaqi,LIU Guirong

(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

We study the influence of three kinds of awareness on the disease transmission,and establish the SIS model on scale-free network,and obtain the epidemic threshold and stability of the disease-free equilibrium point. The results show that both local and contact awareness can raise the epidemic thresholds while the global awareness cannot. Finally,the numerical results are used to verify the theoretical results.

complex network;SIS model;awareness;threshold

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.03.005

2017-06-18；

2017-06-26

國(guó)家自然科學(xué)基金(11471197)

趙愛(ài)民(1963-)，男，博士，教授，主要從事微分方程定性研究。E-mail:zhaoam@sxu.edu.cn

O193

A

0253-2395(2017)03-0421-05