于江,趙倩倩

(上海交通大學 數(shù)學科學學院,上海 200240)

一類線性側(cè)位系統(tǒng)的極限環(huán)分支

于江,趙倩倩

(上海交通大學 數(shù)學科學學院,上海 200240)

討論了一類焦點-焦點型線性側(cè)位系統(tǒng)(即夾角為θ∈(0,π)的兩扇形區(qū)域不連續(xù)線性動力系統(tǒng))極限環(huán)分支,證明了此類系統(tǒng)極限環(huán)的環(huán)性為2,并給出分支圖。且可擾動系統(tǒng)參數(shù),使得線性側(cè)位系統(tǒng)存在3個極限環(huán)。

不連續(xù)分段動力系統(tǒng)；線性側(cè)位系統(tǒng)；焦點-焦點型；極限環(huán)分支

1 研究背景和主要結(jié)論

不連續(xù)動力系統(tǒng)在電子、力學、經(jīng)濟學等方面有著廣泛的應用。近年來, 不連續(xù)動力系統(tǒng)的研究發(fā)展迅速,特別是側(cè)位系統(tǒng)引起人們的關(guān)注。為了更方便地描述問題,我們給出如下定義：

定義1.1 系統(tǒng)

(1.1)

稱為側(cè)位系統(tǒng),其中Σ+和Σ-是由有相同起點且夾角θ∈(0,π)的兩條射線將2分成的兩個扇區(qū)。當子系統(tǒng)X+(x,y)和X-(x,y)都為線性系統(tǒng)時,我們稱此系統(tǒng)為線性側(cè)位系統(tǒng)。

顯然,當θ=π時, (1.1) 為分段線為一條直線的平面分段線性系統(tǒng)；當θ=0時, (1.1)為連續(xù)平面線性系統(tǒng)。很自然地,我們會考慮問題：若分段射線的夾角θ從0到π變化時,線性分段系統(tǒng)的極限環(huán)個數(shù)有什么變化。

有關(guān)θ=π時(即分段線為一條直線的平面不連續(xù)線性動力系統(tǒng))的研究結(jié)果已經(jīng)很豐富(參見文獻[1]-[11])。Llibre等在文獻[8]中按兩子系統(tǒng)的類型總結(jié)了各類平面分段線性系統(tǒng)的極限環(huán)個數(shù)的下界(見表1),其中焦點型包括焦點和中心。關(guān)于分段系統(tǒng)極限環(huán)個數(shù)上界(環(huán)性)的研究結(jié)論較少,Llibre等在文獻[13]和文獻[14]中得到了有一個奇點在分段線上的分段線性動力系統(tǒng)的極限環(huán)上界是2。但一般分段線性系統(tǒng)的環(huán)性(上界)仍然是公開問題。

表1 θ=π時系統(tǒng)(1.1)極限環(huán)個數(shù)的下界

關(guān)于線性側(cè)位系統(tǒng),Llibre*Llibre J,Medrado J,Ramírez O.Limit Cycles of Planar Discontinuous Piecewise Linear Differential Systems Defined in Two Sections,Preprint.得到了一個子系統(tǒng)的奇點在原點的線性側(cè)位系統(tǒng)的極限環(huán)個數(shù)上界為2,Cardin和Torregrosa用高階Melnikov函數(shù)得到了角度為π/2的線性側(cè)位系統(tǒng)存在5個極限環(huán)(見文獻[12])。

從目前的研究結(jié)果來看, 線性側(cè)位系統(tǒng)的極限環(huán)數(shù)目比θ=π時線性系統(tǒng)(1.1)極限環(huán)數(shù)目大。其原因何在?我們發(fā)現(xiàn)當θ=π時, 焦點型線性子系統(tǒng)的龐卡萊映射的圖像為嚴格單調(diào)下降且無拐點的曲線或為嚴格單調(diào)下降的射線(參見文獻[9])。而對于線性側(cè)位系統(tǒng),即0<θ<π時, 我們*Q Zhao,J Yu.Limit cycles of a class of discontinuous planar piecewise linear systems with three regions of Y-type, preprint.證明焦點型線性子系統(tǒng)的龐卡萊映射的圖像為嚴格單調(diào)下降且至多有一個拐點的曲線或為嚴格單調(diào)下降且無拐點的曲線或為嚴格單調(diào)下降的射線。由此我們可以看出, 對于某一子系統(tǒng)為焦點型的分段線性系統(tǒng)而言, 分段線夾角的改變會使得子系統(tǒng)的龐卡萊映射的圖像性質(zhì)發(fā)生變化, 從而使系統(tǒng)的極限環(huán)個數(shù)發(fā)生變化。也可看出,夾角θ=0和θ=π為臨界值(隨后我們會得出非退化線性變換(1.2)可將夾角為0<θ<π的線性側(cè)位系統(tǒng)化為夾角為π/2的線性側(cè)位系統(tǒng))。本論文將給出一類焦點-焦點型線性側(cè)位系統(tǒng)的極限環(huán)分支, 得到了此類系統(tǒng)可存在0, 1和2個且最多存在2個極限環(huán)的結(jié)論, 并分情況給出分支圖。與分段線為直線的情形相比較, 焦點-焦點型線性系統(tǒng)在相同條件下,存在且最多存在一個極限環(huán) (參見文獻[9])。

我們給出有關(guān)線性側(cè)位系統(tǒng)的一些定義和本論文的主要結(jié)論：

不失一般性, 在線性側(cè)位系統(tǒng)中, 我們假設(shè)兩條起點相同的射線分別為

Γ1:x=0, 其中y≥0,

Γ2:y=kx, 其中x≤0,

且Σ-為θ∈(0,π)所對應的扇區(qū), 如圖1(a)所示。作如下線性變換

(1.2)

(1.3)

其中X=(x,y)T∈2,A=(aij)和C=(cij)為2×2的常數(shù)矩陣,h=(h1,h2)T和r=(r1,r2)T是2中的常向量,Σ+和Σ-是由y軸的正半軸和x軸的負半軸所分成的兩個扇區(qū)且Σ-是夾角π/2所對應的扇區(qū)。我們分別用(x+,y+)和(x-,y-)表示系統(tǒng)H+(X)和H-(X)的奇點。

Fig.1 Illustration of lateral systems圖1 線性側(cè)位系統(tǒng)的分塊

(1.4)

系統(tǒng)(1.3)含有12個參數(shù),故將(1.3)的極限環(huán)分支討論清楚非常困難。在本文中, 我們考慮在下列假設(shè)條件下系統(tǒng)(1.3)的極限環(huán)分支：

假設(shè)(H1)：線性系統(tǒng)H+(X)和H-(X)均為焦點型;

假設(shè)(H2)：系統(tǒng)H+(X)的焦點在原點. 系統(tǒng)(1.3)無滑動區(qū)間.

本文主要結(jié)論如下：

定理1.1 在假設(shè)條件(H1)和(H2)下, 系統(tǒng)(1.3)最多存在2個極限環(huán), 且可以找到合適的參數(shù)使得系統(tǒng)(1.3)有0個, 1個或2個極限環(huán), 并給出參數(shù)分支圖(見圖3-7)。

定理1.2 在假設(shè)條件(H1)下, 當‖r‖?1時, 系統(tǒng)(1.3)存在3個極限環(huán)。

2 子系統(tǒng)龐卡萊映射的性質(zhì)

在本節(jié)中,我們分別給出系統(tǒng)(1.3)在假設(shè)(H1)和(H2)下的標準型及所滿足的條件, 以及兩個子系統(tǒng)的龐卡萊映射的性質(zhì).

由Theorem 1.1*Llibre J,Medrado J,Ramírez O.Limit Cycles of Planar Discontinuous Piecewise Linear Differential Systems Defined in Two Sections,Preprint.可知, 在假設(shè)(H1)和(H2)下線性側(cè)位系統(tǒng)(1.3)的標準型為

(2.1)

其中γ-,γ+,h1,h2,u,v和β均為中的參數(shù)，其中β>0。

在假設(shè)(H2)下, 由式(1.4)可知系統(tǒng)(2.1)應滿足下列條件：

h1≤0,h2≤0.

(2.2)

故本文我們將在條件(2.2)下考慮系統(tǒng)(2.1)極限環(huán)分支。

為方便起見, 在以后的討論中, 若沒有特別說明, 均假設(shè)條件(H1)和(H2)成立。我們?nèi)匀挥肏+和H-分別表示在Σ+和Σ-上的子系統(tǒng)。

系統(tǒng)H+的起點為(x1,0)的軌線, 其中x1<0在x軸負半軸的流的作用下從點(x1,0)進入扇區(qū)Σ+, 再在Σ+的流的作用下到達y軸的正半軸上的點(0,y1)。故我們可以定義系統(tǒng)H+的龐卡萊映射P+為y1=P+(x1), 其中P+(0)=0(參看圖2)。

Fig.2 Illustration of Poincaré maps y1=P+(x1) and x1=P-(y0)圖2 龐卡萊映射y1=P+(x1)和x1=P-(y0)的示意圖

命題2.1 (系統(tǒng)H+的龐卡萊映射的性質(zhì)) 系統(tǒng)H+的龐卡萊映射為起點在原點且斜率k+∈(-,0)的射線, 其形式為

(2.3)

其中,

證明 系統(tǒng)H+的通解為

其中

類似定理1.2(c)*Llibre J,Medrado J,Ramírez O.Limit Cycles of Planar Discontinuous Piecewise Linear Differential Systems Defined in Two Sections,Preprint.的證明及引理4.1①, 直接計算可得此命題。

系統(tǒng)H-的起點為(0,y0)的軌線, 其中y0>0, 在y軸正半軸的流的作用下從點(0,y0)進入扇區(qū)Σ-，再在Σ-的流的作用下到達x軸的負半軸上的點(x1,0)。故我們可以定義系統(tǒng)H-的龐卡萊映射P-為x1=P-(y0),其中P-(0)=0(參看圖2)。□

命題2.2 (系統(tǒng)H-的龐卡萊映射的性質(zhì)1)

(1)當h1=h2=0時,系統(tǒng)H-的龐卡萊映射為射線

(2.4)

其中

(2.5)

其中

Q(t-)=(y-)2-[1+(γ--u)2](x-)2e2γ-t--2γ-ψ(γ--u)(t-)x-y-eγ-t-,

ψα(t)=cost-αsint.

證明 系統(tǒng)H-的通解為

其中

(1)類似命題2.1, 計算可得。

(2.6)

φγ(t)=1-eγt(cost-γsint),

求導計算易得(2.5)成立。于是, 類似定理1.2(b)*Llibre J,Medrado J,Ramírez O.Limit Cycles of Planar Discontinuous Piecewise Linear Differential Systems Defined in Two Sections,Preprint.的證明, 由Q′(t-)≠0可得Q(t-)單調(diào),因此P″-(y0)至多一個零點?？芍?2)成立。□

明顯地,在條件(2.2)下,系統(tǒng)H-的參數(shù)(h1,h2,γ-,u)∈A, 其中

A={(h1,h2,γ-,u)∣h1≤0,h2≤0}.

令A=A1∪A2∪…∪A6,其中

A1={(h1,h2,γ-,u)∣h1=0,h2=0},

A2={(h1,h2,γ-,u)∣h1≤0,h2≤0,γ-x-=0,Q(0)=0}A1,

A3=A31∪A32∪A33,

A4=A41∪A42∪A43,

A5={(h1,h2,γ-,u)∣h1≤0,h2≤0,γ-x->0,Q(0)>0,Q(π-φ)<0}A1,

A6={(h1,h2,γ-,u)∣h1≤0,h2≤0,γ-x-<0,Q(0)<0,Q(π-φ)>0}A1,

且

A31={(h1,h2,γ-,u)∣h1≤0,h2≤0,γ-x->0,Q(0)≤0}A1,

A32={(h1,h2,γ-,u)∣h1≤0,h2≤0,γ-x-<0,Q(0)<0,Q(π-φ)≤0}A1,

A33={(h1,h2,γ-,u)∣h1≤0,h2≤0,γ-x-=0,Q(0)<0}A1,

A41={(h1,h2,γ-,u)∣h1≤0,h2≤0,γ-x-<0,Q(0)≥0}A1,

A42={(h1,h2,γ-,u)∣h1≤0,h2≤0,γ-x->0,Q(0)>0,Q(π-φ)≥0}A1,

A43={(h1,h2,γ-,u)∣h1≤0,h2≤0,γ-x-=0,Q(0)>0}A1.

顯然,Ai∩Aj=?,i≠j.

命題2.3 (系統(tǒng)H-的龐卡萊映射的性質(zhì)2) 若(h1,h2,γ-,u)∈A, 則系統(tǒng)H-的龐卡萊映射

x1=P-(y0)∶[0,+)→(-,0],其中P-(0)=0,

且有

(a)當(h1,h2,γ-,u)∈A1∪A2時,x1=P-(y0)為單調(diào)下降的射線；

(b)當(h1,h2,γ-,u)∈A3時,x1=P-(y0)為單調(diào)下降全局凸的曲線；

(c)當(h1,h2,γ-,u)∈A4時,x1=P-(y0)為單調(diào)下降全局凹的曲線；

(d)當(h1,h2,γ-,u)∈A5時,x1=P-(y0)為單調(diào)下降先凹后凸的曲線；

(e)當(h1,h2,γ-,u)∈A6時,x1=P-(y0)為單調(diào)下降先凸后凹的曲線。

注：此處凹凸指的是下凹和上凸。

證明 顯然

x1=P-(y0):[0,+)→(-,0], 其中P-(0)=0,

由于(a)-(e)的證明比較類似, 我們僅給出五個中較為復雜的(d)的證明, 其余四個完全類似。

當(h1,h2,γ-,u)∈A5時, 我們有γ-x->0,Q(0)>0和Q(π-φ)<0。由式(2.5), 可得

sign(Q′(t-))=-sign(γ-x-)=-1,

故Q(t-)為單調(diào)遞減的函數(shù), 又由于Q(0)>0且Q(π-φ)<0, 故存在t0∈(0,π-φ)使得Q(t0)=0且

Q(t)>0,t∈(0,t0),

Q(t)<0,t∈(t0,π-φ).

又由式(2.5)，有

sign(P″-(y0))=sign(Q(t-)),

故

P″-(y0)>0,t∈(0,t0),

P″-(y0)<0,t∈(t0,π-φ),

3 定理1.1的證明

在本節(jié)中, 我們首先分別討論在條件(2.2)下系統(tǒng)H-的參數(shù)分別屬于Ai(i=1,2,…,6)時,系統(tǒng)(2.1)的極限環(huán)分支,再在此基礎(chǔ)上證明定理1.1。

為了尋找系統(tǒng)(2.1)的極限環(huán),我們定義系統(tǒng)(2.1)的龐卡萊映射為其兩個子系統(tǒng)的復合, 即

y1=P(y0)∶=P+°P-(y0),

(3.1)

我們將P0定義為系統(tǒng)(2.1)的龐卡萊映射在0點的導數(shù),P定義為其在無窮遠處的極限值, 即

P0∶=P′(0)

(3.2)

P).

(3.3)

我們后面將以P0和P作為分支參數(shù)給出分支圖。

命題3.1 (系統(tǒng)(2.1) 的龐卡萊映射的性質(zhì)) 若(h1,h2,γ-,u)∈A, 則系統(tǒng)(2.1)的龐卡萊映射

y1=P(y0)∶[0,+)→(-,0], 其中P(0)=0,

且有

(a)當(h1,h2,γ-,u)∈A1∪A2時,y1=P(y0)為單調(diào)上升的射線；

(b)當(h1,h2,γ-,u)∈A3時,y1=P(y0)為單調(diào)上升全局凹的曲線；

(c)當(h1,h2,γ-,u)∈A4時,y1=P(y0)為單調(diào)上升全局凸的曲線；

(d)當(h1,h2,γ-,u)∈A5時,y1=P(y0)為單調(diào)上升先凸后凹的曲線；

(e)當(h1,h2,γ-,u)∈A6時,y1=P(y0)為單調(diào)上升先凹后凸的曲線。

證明 系統(tǒng)(2.1) 的龐卡萊映射為其兩個子系統(tǒng)的復合, 由命題2.1, 命題2.3和式(3.1)可得

故此命題成立?！?/p>

命題3.2 在條件(2.2)下系統(tǒng)(2.1)的龐卡萊映射有如下性質(zhì)

(a)若(h1,h2,γ-,u)∈A, 則

P=k>0,

其中

且y1=P(y0)的漸近線為

y1=Py0+B,

其中

(b)若(h1,h2,γ-,u)∈A，則

若(h1,h2,γ-,u)∈A2∪A3∪…∪A0。 則

證明 由式(2.3),(2.4)和(2.6)及(3.1),(3.2)和(3.3)容易得到此命題成立?！?/p>

尋找系統(tǒng)(2.1)在條件(2.2)下的極限環(huán)等價于尋找方程P(y0)=y0的正解, 亦等價于尋找方程P-(y0)=(P+)-1(y0)的正解. 定理3.1-3.5給出了參數(shù)屬于不同范圍時極限環(huán)的分支圖, 其中需要注意的是定理中參數(shù)范圍不同時P0的值取不同(P0的取值見命題3.2)。我們僅證明定理3.1-3.5中較復雜的3.5, 其他四個定理的證明非常類似。

注：由于P0≥0和P∞>0,故在下面定理3.1-定理3.5中分別以P0和P∞為橫坐標的分支圖都定義在第一象限y軸正半軸上(不包含原點和x軸正半軸)。

定理3.1 在條件(2.2)下,參數(shù)屬于A1∪A2時, 系統(tǒng)(2.1)有分支圖3，且

(a) 當P0=1時, 系統(tǒng)(2.1)的原點為全局中心；

(b)當P0≠1時, 系統(tǒng)(2.1)無極限環(huán)。

Fig.3 Bifurcation of limit cycles when (h1,h2,γ-,u)∈A1∪A2圖3 (h1,h2,γ-,u)∈A1∪A2時的極限環(huán)分支圖

定理3.2 在條件(2.2)下,參數(shù)屬于A4時, 系統(tǒng)(2.1)有分支圖4,且

(a) 當P0≤1或P0>1且P≥1時, 系統(tǒng)(2.1)無極限環(huán)；

Fig.4 Bifurcation of limit cycles when (h1,h2,γ-,u)∈A3圖4 (h1,h2,γ-,u)∈A3時的極限環(huán)分支圖

(b) 當P0>1且P<1時, 系統(tǒng)(2.1)有唯一極限環(huán)。

定理3.3 在條件(2.2)下, 參數(shù)屬于A3時, 系統(tǒng)(2.1)有分支圖5, 且

(a) 當P0≥1或P0<1且P≤1時, 系統(tǒng)(2.1)無極限環(huán)；

(b) 當P0<1且P>1時, 系統(tǒng)(2.1)有唯一極限環(huán)。

Fig.5 Bifurcation of limit cycles when (h1,h2,γ-,u)∈A4圖5 (h1,h2,γ-,u)∈A4時的極限環(huán)分支圖

定理3.4 在條件(2.2)下, 參數(shù)屬于A5時, 系統(tǒng)(2.1)有分支圖6,且

(a) 當P0≤1且P≤1時, 系統(tǒng)(2.1)無極限環(huán)；

(b) 當P0≤1且P>1或P0>1且P<1時, 系統(tǒng)(2.1)有唯一極限環(huán)；

(c) 當P0>1, P=1時, 如果B≥0, 系統(tǒng)(2.1) 不存在極限環(huán), 如果B<0, 系統(tǒng)(2.1) 存在1個極限環(huán)；

(d) 當P0>1且P>1時, 系統(tǒng)(2.1)存在0, 1或2個極限環(huán)。

Fig.6 Bifurcation of limit cycles when (h1,h2,γ-,u)∈A6圖6 (h1,h2,γ-,u)∈A6時的極限環(huán)分支圖

定理3.5 在條件(2.2)下, 參數(shù)屬于A6時, 系統(tǒng)(2.1)有分支見圖7,且

(a) 當P0≥1且P≥1時, 系統(tǒng)(2.1)無極限環(huán)；

(b) 當P0≥1且P<1或P0<1且P>1時, 系統(tǒng)(2.1)有唯一極限環(huán)；

(c) 當P0<1, P=1時, 如果B≤0, 系統(tǒng)(2.1) 不存在極限環(huán), 如果B>0, 系統(tǒng)(2.1) 存在1個極限環(huán)(此處, 我們僅用一維線段來表示B, P0兩參數(shù)集合)；

(d) 當P0<1且P<1時, 系統(tǒng)(2.1)存在0, 1或2個極限環(huán)。

Fig.7 Bifurcation of limit cycles when (h1,h2,γ-,u)∈A5圖7 (h1,h2,γ-,u)∈A5時的極限環(huán)分支圖

證明 在條件(2.2)下且系統(tǒng)H-的參數(shù)屬于A6時, 由命題3.1知系統(tǒng)(2.1)的龐卡萊映射的圖像為起點為原點且單調(diào)上升先凹后凸的曲線 。

(a) 當P0≥1且P≥1時, 由系統(tǒng)(2.1)的龐卡萊映射圖像的單調(diào)性和凹凸性知其圖像在射線y1=y0(y0≥0)的上方, 兩個函數(shù)圖像除了原點外無交點, 故系統(tǒng)(2.1) 不存在極限環(huán), 參見圖8(a)。

(b) 當P0≥1且P<1或P0<1且P>1時, 由系統(tǒng)(2.1)的龐卡萊映射圖像的單調(diào)性和凹凸性知其圖像與射線y1=y0(y0≥0)除了原點外僅有一個交點, 故系統(tǒng)(2.1)有唯一極限環(huán), 參見圖8(a)和8(c)。

(c) 當P0<1, P=1時, 若B≤0, 則系統(tǒng)(2.1) 的龐卡萊映射的圖像在射線y1=y0(y0≥0)的下方, 兩圖像無除了原點以外的交點, 故系統(tǒng)(2.1) 不存在極限環(huán), 若B>0, 則系統(tǒng)(2.1) 的龐卡萊映射的圖像當y0→0時在射線y1=y0(y0≥0)的下方, 當y0→+在射線y1=y0(y0≥0)的上方。由系統(tǒng)(2.1)的龐卡萊映射圖像的單調(diào)性和凹凸性知其圖像與射線y1=y0(y0≥0)除了原點外僅有一個交點, 故系統(tǒng)(2.1)存在唯一的極限環(huán), 參見圖8(d)。

Fig.8 Illustration of y1=P(y0) when (h1,h2,γ-,u)∈A5圖8 (h1,h2,γ-,u)∈A5時y1=P(y0)圖像示意圖

(d) 當P0<1且P<1時,若系統(tǒng)(2.1)的龐卡萊映射的圖像在射線y1=y0(y0≥0)的下方,兩個函數(shù)圖像除了原點以外的無交點,故系統(tǒng)(2.1)不存在極限環(huán)。若系統(tǒng)(2.1)的龐卡萊映射的圖像與射線y1=y0(y0≥0)相切,則由其單調(diào)性和凹凸性知兩個圖像除了原點之外僅有一個交點,即切點(L1即為切點參數(shù)曲線),故系統(tǒng)(2.1)存在1個極限環(huán)。若系統(tǒng)(2.1)的龐卡萊映射的圖像有一部分在射線y1=y0(y0≥0)的上方, 則由其單調(diào)性和凹凸性知兩個函數(shù)的圖像除了原點之外有兩個交點, 故系統(tǒng)(2.1)存在2個極限環(huán), 參見圖8(b)。

兩個極限環(huán)是可以實現(xiàn)的。例如：在(c)中, 當P0<1,P=1且B>0時,系統(tǒng)(2.1)有唯一極限環(huán),我們通過擾動參數(shù)使得0<1-P?1時,此時系統(tǒng)(2.1)存在兩個極限環(huán)?！?/p>

定理1.1的證明 由定理3.1-定理3.5可直接得到定理1.1?！?/p>

4 定理1.2的證明

在H1條件下, 不妨考慮標準形(2.1)的參數(shù)擾動系統(tǒng)如下

(4.1)

P=P+°P-∶(0,+)).

Fig.9 Illustration of Poincaré map of when |r1|?1圖9 當|r1|?1時的龐卡萊映射示意圖

Fig.10 Graph of Poincaré map y1=P(y0) when |r1|?1圖10 當|r1|?1時龐卡萊映射y1=P(y0)的圖像

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The Bifurcation of Limit Cycles of a Class of Lateral Systems

YU Jiang，ZHAO Qianqian

(School of Mathematical Sciences,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China)

A class of linear lateral systems with focus-focus type is considered, that is, the discontinuous piecewise linear systems with two zones of the angleθ∈(0，π). It is provided the bifurcation diagram, which shows that there exist 0, 1 and 2 limit cycles in such systems, respectively. And the lateral systems can have 3 limit cycles by perturbing some parameters.

discontinuous piecewise dynamical systems;linear lateral systems;focus-focus type;limit cycles

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.03.001

2017-05-15；

2017-06-30

國家自然科學基金(11431008；11501193);上海自然科學基金(15ZR1423700)

于江(1967-)，博士，教授。E-mail:jiangyu@sjtu.edu.cn

O19

A

0253-2395(2017)03-0395-11