劉桂榮,王志梅

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

一類帶有時(shí)滯的非局部反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)波前解的存在性

劉桂榮,王志梅

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

考慮一類帶有時(shí)滯的非局部反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)。通過(guò)構(gòu)造系統(tǒng)的上解和下解,并利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明了存在正常數(shù)c*(τ1,τ2,τ3),當(dāng)c≥c*(τ1,τ2,τ3)時(shí),該反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)存在波速為c的波前解。

非局部反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng);波前解;上下解;Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理

0 引言

物理學(xué)、化學(xué)和生物學(xué)中的許多問(wèn)題都可以用反應(yīng)擴(kuò)散方程來(lái)刻畫[1]。近年來(lái),行波解作為反應(yīng)擴(kuò)散方程的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注,并發(fā)表了一些較好的成果[2-4]。文獻(xiàn)[5]研究如下帶有時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)

(1)

注意到系統(tǒng)(1)中Laplace算子定義的擴(kuò)散項(xiàng)只能反映空間上的局部作用,但對(duì)一個(gè)生物種群來(lái)說(shuō),該種群中的個(gè)體會(huì)在一個(gè)較大的范圍內(nèi)移動(dòng),因此文[6]考慮了下列帶有時(shí)滯的非局部反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)

(2)

人口由靜止階段轉(zhuǎn)化成活動(dòng)階段需要一段時(shí)間,活動(dòng)階段轉(zhuǎn)化為靜止階段也需要一段時(shí)間,因而這一變化過(guò)程需要考慮時(shí)滯的影響。為此我們建立下列帶有多個(gè)時(shí)滯的非局部反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)

(3)

(H2)f∈C2([0,K]2,R),f(0,0)=f(K,K)=0,對(duì)任意u∈(0,K),f(u,u)>0,且對(duì)任意(u,v)∈[0,K]2,?2f(u,v)≥0,其中K>0為常數(shù)。

(H3)對(duì)任意(u,v)∈[0,K]2,?1f(0,0)u+?2f(0,0)v≥f(u,v),?1f(K,K)+?2f(K,K)<0.

1 波前解的存在性

(u(x,t),v(x,t))=(U(ξ),V(ξ))

的行波解,其中ξ=x+ct,c>0為行波速度,(U,V)∈C1(R,[0,K]×[0,K0]).當(dāng)U(·),V(·)單調(diào)時(shí),(U,V)為系統(tǒng)(3)的波前解。

將(u(x,t),v(x,t))=(U(ξ),V(ξ))代入(3),有

(4)

其邊界條件為

(U(-∞),V(-∞))=(0, 0), (U(∞),V(∞))=(K,K0).

(5)

求解(4)的第二個(gè)方程并結(jié)合V(-∞)=0可得,

s.

(6)

當(dāng)U(-∞)=0,U(∞)=K時(shí),由(6)可知V(-∞)=0,V(+∞)=K0.將(6)代入(4)的第一個(gè)方程,可得

cU′(ξ)=D[J*U(ξ)-U(ξ)]+f(U(ξ),U(ξ-cτ1))-γ1U(ξ)+

(7)

其邊界條件為

U(-∞)=0,U(∞)=K.

(8)

從而可知下列引理成立。

引理1 對(duì)任意U∈C1([0,K]),若U是(7)與(8)的解,則(U(x+ct),V(x+ct))是(3)的單調(diào)不減的波前解,其中V(ξ)滿足(6)。

因此,為了得到系統(tǒng)(3)的波前解的存在性,只需考慮(7)與(8)的單調(diào)不減的解的存在性。

定義算子F∶C(R,[0,K])→C(R,R),

(9)

易證Fφ滿足:c(Fφ)′(ξ)=-β(Fφ)(ξ)+(Hφ)(ξ),從而F的不動(dòng)點(diǎn)為(7)的解。

類似于文[6]引理2.2的證明,可得下列引理成立。

引理2 (i)對(duì)任意φ1,φ2∈C(R,[0,K]),若φ1≤φ2,則(Hφ1)(ξ)≤(Hφ2)(ξ),(Fφ1)(ξ)≤(Fφ2)(ξ),ξ∈R.

(ii)對(duì)任意φ∈C(R,[0,K]),若φ關(guān)于ξ單調(diào)不減,則Hφ,Fφ也關(guān)于ξ單調(diào)不減。

顯然(Bμ(R,R),|·|μ)是一個(gè)Banach空間。

注意到(7)在U(ξ)=0處的線性化系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的特征方程為:

對(duì)任意λ>0，

對(duì)任意c>0,

由上述結(jié)果可以得出下面的引理。

引理3 設(shè)(H1)-(H3)成立,則存在一個(gè)正數(shù)c*(τ1,τ2,τ3),使得下列結(jié)果成立。

(i)若00,則Δ(c,λ)>0.

(ii)若c=c*(τ1,τ2,τ3),則Δ(c,λ)=0有兩個(gè)相等正實(shí)根λ1(c)=λ*=λ2(c).

當(dāng)ξ≤ξ*時(shí),

-qΔ(c,γλ1(c))eγλ1(c)ξ-4L(e2λ1(c)ξ-2qe(1+γ)λ1(c)ξ+q2e2γλ1(c)ξ)≥

(-qΔ(c,γλ1(c))+4L-4Lq)eγλ1(c)ξ≥0，

對(duì)任意c>c*(τ1,τ2,τ3), 定義

顯然Γ是Bμ(R,R)的非空閉凸子集。

引理5 若(H1)-(H3)成立, 則當(dāng)c>c*(τ1,τ2,τ3)時(shí),算子F∶?！Ｓ胁粍?dòng)點(diǎn)。

(Fφ)(ξ).

定理1 若(H1)-(H3)成立,則存在c*(τ1,τ2,τ3)>0,使得對(duì)任意c≥c*(τ1,τ2,τ3),系統(tǒng)(3)存在單調(diào)不減的波前解(u(x,t),v(x,t))=(U(x+ct),V(x+ct)),其中(U(·),V(·))滿足(4)與(5)。

[1] 葉其孝.反應(yīng)擴(kuò)散方程引論[M].2版.北京:科學(xué)出版社,2011.

[2] Wang Z C,Li W T,Ruan S.Traveling Fronts in Monostable Equations with Nonlocal Delayed Effects[J].JDynDiffEquat,2008,20:573-607.DOI:10.1007/s10884-008-9103-8.

[3] Yu Z X,Yuan R.Existence and Asymptotics of Traveling Waves for Nonlocal Diffusion Systems[J].NonlinearScienceandNonequilibriumandComplexPhenomena,2012,45:1361-1367.DOI:10.1016/j.chaos.2012.07.002.

[4] Zhou K,Wang Q R.Traveling Wave Solutions in Delayed Nonlocal Diffusion Systems with Mixed Monotonicity[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplication,2010,372:598-610.DOI:10.1016/j.jmaa.2010.07.032.

[5] Wu S L,Zhao H Q.Traveling Fronts for a Delayed Reaction-diffusion System with a Quiescent Stage[J].CommunNonlinearSciNumerSimulat,2011,16:3610-3621.DOI:10.1016/j.cnsns.2011.01.012.

[6] Zhou K,Lin Y,Wang Q R.Existence and Asymptotics of Traveling Wave Fronts for a Delayed Nonlocal Diffusion Model with a Quiescent Stage[J].CommunNonlinearSciNumerSimulat,2013,18:3006-3013.DOI:10.1016/j.cnsns.2013.04.025.

Existence of Traveling Wave Fronts for Delayed Nonlocal Diffusion System

LIU Guirong,WANG Zhimei

(School of Mathematical Sciences, Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

This paper is concerned with the nonlocal reaction diffusion system.By using upper-lower solution approach and Schauder fixed point theorem, we prove that there exists a positive constantc*(τ1,τ2,τ3) such that for eachc≥c*(τ1,τ2,τ3) the system has a traveling wave fronts with speedc.

nonlocal reaction diffusion system;traveling wave fronts;upper-lower solution;Schauder fixed point theorem

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.03.003

2017-05-16；

2017-06-01

國(guó)家自然科學(xué)基金(11471197);山西省自然科學(xué)基金(2014011005-1)

劉桂榮(1975-),男,山西呂梁人,博士，教授，研究方向:微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)。E-mail:lgr5791@sxu.edu.cn

O175

A

0253-2395(2017)03-0411-05