閆穎

[摘 要]探索規(guī)律的過程就是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的過程。在教學(xué)中，教師可以從探索數(shù)的規(guī)律（數(shù)的性質(zhì)、數(shù)的運算規(guī)律）、探索圖的規(guī)律（圖形的特征、圖形的測量）、“探索規(guī)律”專題學(xué)習(xí)三個方面入手，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

[關(guān)鍵詞]探索規(guī)律；合情推理；數(shù)的規(guī)律；圖的規(guī)律；專題學(xué)習(xí)

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）23-0072-02

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是探索并認(rèn)識數(shù)量關(guān)系及空間形式規(guī)律的過程。這一過程常常伴隨推理活動，其中既有演繹推理，也有合情推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷出某些結(jié)果。合情推理是“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”的必經(jīng)之路，在“探索規(guī)律”的教學(xué)中，教師可以從三個方面發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

一、在探索數(shù)的規(guī)律中形成合情推理能力

數(shù)與代數(shù)的大量概念、性質(zhì)、法則、公式和規(guī)律的學(xué)習(xí)，往往都是通過具體的實例展開，對這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)、理解和掌握，一般要經(jīng)過從具體到抽象、特殊到一般的過程，這個過程正是合情推理的思維過程。

1.經(jīng)歷數(shù)的性質(zhì)抽象概括的過程

在理解數(shù)的意義，掌握數(shù)的讀寫后，一般都要探索數(shù)的性質(zhì)。數(shù)的性質(zhì)可通過推理歸納得出。

例如，教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”時，教師引導(dǎo)學(xué)生先聯(lián)系具體事實：“鉛筆的單價是0.3元，橡皮的單價是0.30元，它們的價格相等嗎？”“看圖比較0.1米、0.10米和0.100米的線段，它們的長度一樣嗎？”通過有序觀察小數(shù)的變化，學(xué)生初步感知：都是小數(shù)末尾添上0或去掉0，而小數(shù)的大小相等。再通過舉例驗證，進而得出“小數(shù)末尾添上0或者去掉0，小數(shù)大小不變”的規(guī)律，即小數(shù)的性質(zhì)。

又如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時，通過觀察直觀圖，學(xué)生判斷出，教師引發(fā)猜測：“像這樣分子、分母變了，但分?jǐn)?shù)的大小不變的現(xiàn)象是分?jǐn)?shù)的個別現(xiàn)象（板書：個別現(xiàn)象）還是普遍規(guī)律（板書：普遍規(guī)律）？其他的分?jǐn)?shù)有沒有這種現(xiàn)象呢？如果有的話，請舉例說明（板書：舉例）?！痹趯W(xué)生舉例，教師先明確：“這還只是我們的猜測（板書：猜測），要知道這個猜測是否正確，我們還需要驗證（板書：驗證）。那么，怎樣驗證以下這些分?jǐn)?shù)一定與相等？”為了方便學(xué)生的研究，教師選擇了三個與相等的分?jǐn)?shù)，請學(xué)生按照提示先算一算、填一填，再分組觀察討論，說說自己的發(fā)現(xiàn)。學(xué)生完成并在小組內(nèi)交流后全班匯報，教師初步小結(jié)：“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變?！边M而引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑：“同時乘或除以的數(shù)既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)，是不是任何一個數(shù)都行呢？”學(xué)生思考后得出“0除外”。最后，師生共同完善規(guī)律。

歸納是從特殊到一般，從個別事物概括一般規(guī)律的思維方法，小學(xué)階段主要采用的是不完全歸納法，即對若干個特例進行觀察比較、抽象概括，進而得出相關(guān)的規(guī)律。

2.體驗探索數(shù)的運算規(guī)律的過程

數(shù)的運算中存在著大量的運算規(guī)律，如計算法則、運算律、商不變規(guī)律和積的變化規(guī)律等，這些運算規(guī)律都是高度概括的運算知識，是在大量的計算現(xiàn)象中歸納出來的。這些內(nèi)容的教學(xué)價值不僅在于讓學(xué)生掌握運算規(guī)律，還要發(fā)展學(xué)生初步的推理能力。因此，教師要讓學(xué)生體驗“解決個別實際問題—看到數(shù)學(xué)現(xiàn)象形成猜測—大量舉例豐富例證—觀察比較抽象概括—符號表示規(guī)律”的探索規(guī)律的過程，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

例如，教學(xué)“加法交換律和結(jié)合律”時，教師先出示課本的情境圖，并提出問題：“仔細觀察這幅圖，算一算跳繩的學(xué)生有多少人，應(yīng)該怎樣列式計算？”有學(xué)生回答：“28+17=45（人）?！苯處熥穯枺骸边€可以怎么列式？”另一個學(xué)生說：“17+28=45（人）?！苯處熇^續(xù)追問：“觀察這兩個算式，它們有什么異同點？”當(dāng)學(xué)生得出“兩個加數(shù)一樣，但加數(shù)的位置不同，和相等”的結(jié)論后，教師指出：“這兩個算式的得數(shù)是一樣的，可以用‘=把它們連起來，改寫成‘28+17=17+28的等式。你們能照樣子說出一個這樣的等式嗎？”最后學(xué)生舉例驗證，進而抽象概括出加法交換律。教師采用歸納推理的方式展開教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、實驗和歸納等學(xué)習(xí)活動中主動認(rèn)識運算律。

又如，教學(xué)“乘法交換律和加法結(jié)合律”時，教師在課始先回顧加法交換律和結(jié)合律，引發(fā)學(xué)生類比猜想：“加法運算中有這樣的規(guī)律，乘法運算中是不是也有類似的規(guī)律？你打算怎樣研究？”教師采用類比推理的方式，引導(dǎo)學(xué)生類比加法運算律寫出一些乘法算式，再計算比較結(jié)果是否相等，通過觀察大量的例證進而抽象概括出乘法的交換律和結(jié)合律。

不管是歸納推理還是類比推理，都是讓學(xué)生體驗運算規(guī)律的探索過程，即由個別現(xiàn)象形成猜測，再舉例豐富例證，通過觀察大量例子抽象概括出運算規(guī)律。

二、在探索圖的規(guī)律中形成合情推理能力

“圖形與幾何”的教學(xué)強調(diào)聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實生活，在已有生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過觀察、操作、比較、猜想、驗證、分析和推理等活動，了解一些幾何體和平面圖形，探究它們的基本特征，掌握測量和畫圖的基本方法，并運用測量方法解決一些簡單的實際問題。其中，探究圖形特征和掌握圖形測量方法是發(fā)展合情推理能力的重要途徑。

1.經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)圖形特征的過程

研究某一種圖形，一般從認(rèn)識其特征開始。發(fā)現(xiàn)圖形的特征，通常是在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上進行合理的猜想、分析和推理。這里的推理多是從特殊到一般的合情推理。

例如，教學(xué)“三角形內(nèi)角和定理”時，教師先出示一副三角尺，讓學(xué)生計算同一塊三角尺上的3個內(nèi)角的度數(shù)和，得出“每塊三角尺上的3個內(nèi)角的和都是180°”的結(jié)論后，引導(dǎo)學(xué)生猜想：“其他三角形的內(nèi)角和是多少度？也會是180°嗎？”由此確定探究的內(nèi)容和目標(biāo)。接著，組織學(xué)生通過實驗驗證：選擇不同形狀的三角形（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）進行操作，一部分學(xué)生用“量”和“算”的方法，分別量出三角形的3個內(nèi)角的度數(shù)后再相加；另一部分學(xué)生用“剪”和“拼”（或“折”和“拼”）的方法，即把三角形的3個內(nèi)角剪下來（或折起來）再拼在一起，看拼成的是什么角。在學(xué)生小組交流和全班匯報后，發(fā)現(xiàn)無論是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，它們的3個內(nèi)角的和都是180°?！叭切蔚膬?nèi)角和等于180°”是三角形關(guān)于“角”的重要特征，教師不能僅僅讓學(xué)生知道這一特征，而應(yīng)讓學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)。因此，在教學(xué)中設(shè)計“質(zhì)疑—解疑—應(yīng)用”的線索，突出“猜測—實驗—驗證”的推理過程，正是讓學(xué)生體驗了合情推理的“由特殊到一般”的思維過程。

2.經(jīng)歷圖形測量的過程

對圖形的研究具有定性的一面，也有定量的一面。量的研究離不開測量，測量是按照某種規(guī)律，用數(shù)據(jù)來描述觀察到的現(xiàn)象，即對事物做出量化描述。測量一般包括確定所要測量物的屬性、選擇具有同一屬性的測量單位和通過比較待測物體與測量單位進行測量。測量過程中蘊含的合情推理思想有助于提高學(xué)生分析和解決問題的能力。

例如，教學(xué)“圓的周長”時，教師應(yīng)利用“猜想—驗證—應(yīng)用”的線索，讓學(xué)生有意識地獲得并掌握圓的周長的計算方法，同時體驗合情推理的思想。求圓的周長的過程不同于求多邊形的周長，教師具體可以分五步展開教學(xué)。第一步是對比感知，初步猜想。通過對比幾個不同直徑長度的圓，引導(dǎo)學(xué)生初步猜想——圓的周長與直徑有關(guān)。第二步是深入對比，量化猜測。將圓與它的內(nèi)接正六邊形和外切正方形比較，把猜想進一步“量化”——圓的周長比它的直徑的3倍長，比它的直徑的4倍短。第三步是操作計算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。測量幾個大小不同的圓的周長，計算各個圓的周長和直徑的比值，發(fā)現(xiàn)所有的圓的周長總是它的直徑的3倍多一些。第四步是分析數(shù)據(jù)，驗證猜想。明確圓的周長和直徑的比值都是一個固定的數(shù)，即圓周率，同時介紹圓周率的性質(zhì)。第五步是推導(dǎo)公式。根據(jù)圓的周長是它直徑的π倍推導(dǎo)出C=πd或者C=2πr。

三、在“探索規(guī)律”專題學(xué)習(xí)中形成合情推理能力

規(guī)律是客觀存在的，是隱含且可以被發(fā)現(xiàn)的，只要對豐富的具體現(xiàn)象進行深入細致的研究，從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律。蘇教版教材從三年級上冊開始，每冊都編排一次“探索規(guī)律”的專題學(xué)習(xí)。這部分內(nèi)容有特定的編寫形式，教學(xué)一般分四步展開：第一步是呈現(xiàn)現(xiàn)象、引發(fā)注意，激發(fā)學(xué)生探索規(guī)律的興趣；第二步是組織觀察、操作等數(shù)學(xué)活動，幫助學(xué)生探索并找到規(guī)律；第三步是學(xué)生踴躍表達、交流所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，提升數(shù)學(xué)思考；第四步是引導(dǎo)學(xué)生回顧探索過程，反思收獲、積累經(jīng)驗。這一過程既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維發(fā)展脈絡(luò)，又體現(xiàn)了由具體到抽象、特殊到一般的合情推理特征，是培養(yǎng)學(xué)生合情推理的重要素材。

例如，教學(xué)“一一間隔排列”時，教師首先出示有趣的現(xiàn)象，學(xué)生通過“看”“數(shù)”“比”“圈”等活動，由表及里逐步體驗現(xiàn)象中的規(guī)律，再通過變換情境讓學(xué)生體會到情境里的物體數(shù)量增加了，但排列規(guī)律沒有改變，即兩種物體之間依舊相差1，且兩端物體的個數(shù)比中間物體多1。接著，組織擺學(xué)具的操作活動，學(xué)生通過動手操作繼續(xù)探索間隔排列的規(guī)律，在直觀感知的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生交流，采用不同形式（語言描述、畫圖、寫式子等）來表征規(guī)律。最后，引導(dǎo)學(xué)生反思探究活動過程，探索規(guī)律需要科學(xué)的態(tài)度，既要大膽猜想，又要及時驗證，讓學(xué)生深刻體會到平時經(jīng)常使用的數(shù)一數(shù)、比一比、畫一畫等方法都可以應(yīng)用于探索規(guī)律。規(guī)律是數(shù)學(xué)化程度較高的思維活動，其重要思維方式就是合情推理，因此，在以上的教學(xué)過程中，學(xué)生不僅探究了數(shù)學(xué)規(guī)律，而且經(jīng)歷了從特殊到一般的合情推理過程，順應(yīng)了學(xué)生的思維，發(fā)展了合情推理能力。

小學(xué)階段的學(xué)習(xí)需要合情推理能力，這對于學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法、提高學(xué)習(xí)效率有很大的幫助。在教學(xué)中，教師要注重總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗、探索更多有助于學(xué)生培養(yǎng)合情推理能力的方法，以提高課堂教學(xué)效率，更好的發(fā)揮學(xué)生的潛能。

[本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點資助課題“小學(xué)數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗形成的案例研究”（編號：C-a/2016/02/01）和徐州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“小學(xué)數(shù)學(xué)探索規(guī)律教學(xué)中合情推理的案例研究”（編號：GH12-15-L145）的階段成果。]

（責(zé)編 李琪琦）