趙飛

【摘 要】“釘子板上的多邊形”一課的教學(xué)往往都是以數(shù)據(jù)為載體，課堂始終停留于低水平的操作、觀察等層面，且實驗探究的過程與結(jié)果都缺少科學(xué)性。因此，教師在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中要強化“四個抓手”，即“價值體悟”“精選材料”“上位引領(lǐng)”“感悟方法”，以切實提高實驗教學(xué)的有效性。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實驗 四個抓手 有效性

數(shù)學(xué)實驗因其可以激活學(xué)生思維，使思維通過操作外顯，又能讓學(xué)生在“做中學(xué)”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方式。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，以實驗探究為手段，承載著學(xué)生獲取知識、積累經(jīng)驗、發(fā)展能力、學(xué)會思考等眾多目標。如何挖掘與重組教材，讓目標得到一一落實，切實提高數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的有效性，是值得我們深思的問題。

一、緣起

去年秋，筆者參加區(qū)實驗聯(lián)盟學(xué)校的教研活動，活動內(nèi)容是同課異構(gòu)蘇教版五年級上冊“釘子板上的多邊形”。幾位教師的教學(xué)流程基本相同，都是先組織學(xué)生用計算法、數(shù)格法得到點子圖中幾個多邊形的面積，并引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)“多邊形的面積與邊上釘子數(shù)有關(guān)”，初步得出結(jié)論；然后在對結(jié)論的驗證中，發(fā)現(xiàn)“多邊形的面積還與內(nèi)部釘子數(shù)有關(guān)”，得出內(nèi)部釘子數(shù)為2的面積表達式；接著分組研究多邊形內(nèi)部釘子數(shù)為3、4……的情況，分別得出幾個面積表達式，并抽象出一個統(tǒng)一的表達式，即皮克公式；最后引導(dǎo)學(xué)生簡略回顧探究過程，總結(jié)經(jīng)驗。

如此教學(xué)，就會使實驗過程與結(jié)論都只能以數(shù)據(jù)為載體，始終停留于低水平的操作層面。如何讓新知在本源處自然發(fā)生、生長？如何用上位知識解釋規(guī)律，把握知識本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生能力？

基于以上的思考和認知，我們以該課教學(xué)內(nèi)容為載體，開展了以“切實提高數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的有效性”為主題的微課題研究，試圖列舉出該課教學(xué)中容易發(fā)生的問題，分析問題產(chǎn)生的原因，并提出解決問題的辦法，以提高數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的有效性。

二、解讀

（一）從教學(xué)內(nèi)容分析

這是一節(jié)探索規(guī)律的課，其教學(xué)重點不僅是找到規(guī)律本身，而且還要注重學(xué)生找規(guī)律的過程。教學(xué)中通過猜想、舉例、驗證、歸納、抽象等一系列數(shù)學(xué)活動，發(fā)現(xiàn)與總結(jié)規(guī)律，流程符合常規(guī)。但是從理論角度分析，其探索過程與結(jié)果都有不科學(xué)的地方。過程不科學(xué)表現(xiàn)在，格點與面積的關(guān)系是用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)的，而規(guī)律具有“期間限制”，也就是說用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)的規(guī)律未必為真。結(jié)果不科學(xué)表現(xiàn)在，皮克公式“s= m+n÷2-1”表示的意思是多邊形的面積等于內(nèi)部釘子數(shù)加邊上釘子數(shù)除以2的商，再減1，不同單位間的數(shù)值（平方厘米與枚數(shù)）是怎么相等的？缺少了釘子與格子（即面積）對應(yīng)過程的感悟，以致對結(jié)果缺乏本質(zhì)理解。

怎樣既能照顧學(xué)生接受程度，又不犯科學(xué)性錯誤呢？嚴育洪老師指出：如果讓格點之間的間隔越來越小，也就是使離散的格點連續(xù)化，也就是面積單位越來越小，也就是“微分”，則利用皮克公式可以求出一般多邊形的面積。

當用一“點”代表一“格”時，皮克公式可以從畫圖的方法中得到驗證。例如，將正方形（如右圖）邊上、角上、內(nèi)部的9個點看作9個圓。多邊形邊上的圓面積只有一半屬于這個多邊形，多邊形角上的圓面積只有四分之一屬于這個多邊形，多邊形內(nèi)部的圓面積全部屬于多邊形。8÷2默認多邊形邊上與角上每兩個圓合并成一個整圓，實際情況是角上4個圓合起來只有1個圓屬于這個多邊形，多算了一個圓，所以減1，即s=m+n÷2-1=1+8÷2-1=4。

實際上，多邊形邊上釘子數(shù)與面積的關(guān)系也可以借助內(nèi)角和與外角和的知識驗證。例如，設(shè)多邊形是n邊形（就有n個頂點），它的內(nèi)角和是（n-2）×180°。圖中（如右圖）只有黑色區(qū)域?qū)儆诙噙呅危姸嗪谏珔^(qū)域合并成一個個圓，就得到（n-2）×180°÷360°，即（n÷2-1）個圓。或者將多邊形所有角的任意一邊延長，與另一條邊的夾角是外角，這些角上的所有圓中的外角部分（灰色區(qū)域）計算面積時多算了，要減去。因為多邊形的外角和是360°，所以正好減去一個整圓。（注：蘇教版教材將圓的知識安排在五年級下冊，這里雖然用到“圓”，但是只涉及直角、平角、周角等知識，與圓面積的計算無關(guān)，不影響整節(jié)課的教學(xué)）

用畫圖的方法驗證規(guī)律具有特殊性，而有了多邊形內(nèi)角和、外角和知識的支撐，就能使驗證從具體到抽象，從特殊走向一般。

以上對皮克定理進行驗證、解釋，除了能培養(yǎng)學(xué)生嚴謹、追本溯源的數(shù)學(xué)精神，還可以使學(xué)生更好地理解“不同單位間的數(shù)值（平方厘米與枚數(shù)）是怎么相等的”這一問題——因為“微分”使釘子與格子（即面積）產(chǎn)生了對應(yīng)關(guān)系。

（二）從編排意圖分析

在學(xué)習(xí)該課前，學(xué)生已經(jīng)掌握了用割補法、數(shù)格法以及平面圖形的面積公式求多邊形的面積。在學(xué)了眾多方法之后，教材還編排這部分內(nèi)容，其意圖并不是讓學(xué)生多掌握一種求面積的方法，而是要在矛盾沖突中凸顯新知識的學(xué)習(xí)價值。數(shù)學(xué)的教與學(xué)不是為了形成某個數(shù)學(xué)概念或記住某種法則，而是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中積累探索規(guī)律的經(jīng)驗。更為重要的是，教學(xué)的最終目標要落腳于方法的習(xí)得、思維的拓展、能力的提高。因此，教師要重視總結(jié)，讓學(xué)生積累探究的經(jīng)驗，提升思想。

三、重建

通過對教學(xué)內(nèi)容及編排意圖的分析，筆者認為，在實驗教學(xué)的“提出問題”環(huán)節(jié)要注意價值體悟，促主動學(xué)習(xí)；在“提出猜想”環(huán)節(jié)要精選材料，促合理猜想；在“舉例驗證”環(huán)節(jié)要上位引領(lǐng)，促本質(zhì)理解；在“總結(jié)反思”環(huán)節(jié)要感悟方法，促經(jīng)驗積累。

（一）價值體悟，促主動學(xué)習(xí)

【教學(xué)場景1】問題引發(fā)思考

出示：

師：釘子板上有一個三角形，你能說出它的面積嗎？（不能）

師：以前，奧地利有一個叫皮克的年輕人發(fā)現(xiàn)了一個公式，用來計算釘子板上多邊形的面積可方便了。這個神奇的公式，是老師告訴你們，還是你們自己研究？

生：我們自己研究。

好奇是學(xué)習(xí)、探索的最大動力。由于三角形在釘子板上擺放位置特殊，使得學(xué)生積累、掌握的知識與經(jīng)驗失去了用武之地。皮克發(fā)現(xiàn)的公式能方便地解決眼前的難題，從而在矛盾沖突中初步凸顯皮克公式的學(xué)習(xí)價值，激起學(xué)生探究的興趣，促使學(xué)生積極主動地投入學(xué)習(xí)。

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，教師可出示以下計算平面圖形面積的練習(xí)。

第一個三角形可以用面積計算公式求出面積，也可以用皮克公式來求；第二個三角形一般用皮克公式求面積；第三個三角形只能用面積計算公式求面積。這樣的練習(xí)，進一步凸顯了皮克公式的價值，又讓學(xué)生認識到新知識也是有局限性的，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識、解題方法本身沒有優(yōu)劣之分，只不過各自的適用范圍、環(huán)境不同而已，促使學(xué)生用新的眼光來審視數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)。

（二）精選材料，促合理猜想

【教學(xué)場景2】從猜想開始

出示：

師：觀察上圖，你認為多邊形面積與什么有關(guān)？有什么根據(jù)？

生：邊上的釘子數(shù)越多，面積越大，說明面積與邊上的釘子數(shù)有關(guān)。

出示：

生：內(nèi)部的釘子數(shù)越多，面積越大，說明面積與內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。

小結(jié)：釘子板上的多邊形的面積不僅與邊上的釘子數(shù)有關(guān)，而且與內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。

上述環(huán)節(jié)中，在不改變?nèi)切芜吷厢斪訑?shù)的前提下，把底邊中心往下分別拉1格、2格成為四邊形，直觀地看出多邊形面積還與多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。合理的素材選擇，有利于學(xué)生在直觀觀察中進行問題聚焦，在對比中作出合理、適時的猜想。

（三）上位引領(lǐng)，促本質(zhì)理解

【教學(xué)場景3】開啟探究之旅

師：釘子板上的多邊形的面積與邊上的釘子數(shù)、內(nèi)部的釘子數(shù)有什么關(guān)系？大家打算怎么研究？

學(xué)生思考、交流，統(tǒng)一意見：從簡單的入手，先研究內(nèi)部的釘子數(shù)為1時的情況。（出示教材第108頁圖）學(xué)生數(shù)出圖中4個多邊形的釘子數(shù)，運用面積公式算出各個圖形的面積，并填寫書中表格，再與同學(xué)交流自己的發(fā)現(xiàn)。

小結(jié)：內(nèi)部的釘子數(shù)是1時，多邊形的面積等于邊上的釘子數(shù)除以2。如果用字母a、s、n分別表示內(nèi)部的釘子數(shù)、多邊形的面積、邊上的釘子數(shù)，三者之間的關(guān)系可表示為：a=1時，s=n÷2。

師：下面該研究什么？（a=2時的情況）用剛才的方法繼續(xù)去發(fā)現(xiàn)！

學(xué)生自主研究，并得出a=2時，s=n÷2+1。

接著，學(xué)生自主研究a=3，a=4……時的情況，分別得出幾個面積表達式，并在教師引導(dǎo)下抽象出皮克公式：s=m+n÷2-1。

師：剛才，我們是怎樣得到皮克定理的？（生回答略）

師：這種研究方法叫“不完全歸納法”，是數(shù)學(xué)實驗常用方法之一。除了舉例驗證，還有方法驗證皮克定理，想知道嗎？（生：想?。?/p>

師：如果把“釘子”放大就變成一個個“圓”。（出示下圖）

師：看，正方形4個角上的圓是否都屬于這個正方形？

生1：不是。角上的圓只有四分之一屬于這個正方形。

生2：我發(fā)現(xiàn)角上的圓屬于這個正方形的部分（即黑色區(qū)域）合起來正好1個整圓。（動畫演示）

師：這張圖呢？（出示下圖）

生：邊上的圓只有一半屬于這個正方形，角上的圓只有四分之一屬于這個正方形，內(nèi)部的圓全部屬于正方形。

生：我發(fā)現(xiàn)邊上、角上、內(nèi)部的圓屬于這個正方形的部分（即黑色區(qū)域）合起來正好是4個整圓。（動畫演示）

生：我還發(fā)現(xiàn)正方形的面積與整圓的個數(shù)是相等的。

師：你的發(fā)現(xiàn)很有價值！雖然面積與圓的個數(shù)的單位不同，但數(shù)值卻相等。因此，計算釘子板上多邊形的面積就可以轉(zhuǎn)化成求整圓的個數(shù)，即釘子數(shù)。

師：其他圖形也可以用畫圖法驗證嗎？大家試試看。（學(xué)生活動，再次用畫圖法驗證皮克公式）

教師組織學(xué)生匯報，其中有不少學(xué)生在點子圖上畫出了三角形、平行四邊形以及其他不規(guī)則的圖形。這時，教師可相機拋出用多邊形內(nèi)角和、外角和知識驗證皮克公式的方法，并布置課后研究任務(wù)。

師：實際上，除了用舉例法、畫圖法驗證皮克定理，還可以用多邊形內(nèi)角和、外角和知識去驗證。有興趣從一個全新的角度再去研究嗎？

生（眾）：有！

師：課后分小組研究，把研究的過程與結(jié)果寫成一份報告。

為了兼顧小學(xué)生的知識基礎(chǔ)和知識教學(xué)科學(xué)性原則，該課教學(xué)可以再向前進一步，即引導(dǎo)學(xué)生用已有的知識來解釋規(guī)律，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力，培養(yǎng)學(xué)生追本溯源的數(shù)學(xué)精神。上述教學(xué)過程，在用不完全歸納法得出皮克公式之后，學(xué)生用畫圖法進行驗證。其一，使教學(xué)從低水平的操作層面，上升到以形釋數(shù)、有一定數(shù)學(xué)思考的較高水平的思維層面，讓知識教學(xué)更嚴謹、更科學(xué)；其二，使學(xué)生在活動中發(fā)現(xiàn)“面積”與“釘子數(shù)”的對應(yīng)關(guān)系，達到對知識本質(zhì)的理解。但是，受教學(xué)目標、教學(xué)時間、學(xué)生差異等因素的影響，驗證并探尋皮克公式背后的原理可以采取“延時研究+ 長作業(yè)”的形式，在適當時機開展探究原理的活動，用開放的時間、空間，讓數(shù)學(xué)實驗更加豐富，更加深刻。

（四）感悟方法，促經(jīng)驗積累

【教學(xué)場景4】回顧實驗歷程

師：今天我們一起研究了釘子板上多邊形面積與釘子數(shù)之間的關(guān)系?；仡櫼幌?，我們是怎樣一步步找到規(guī)律的。（生發(fā)言略）

小結(jié)：在研究的過程中，我們從簡單入手，通過畫圖、觀察、收集、比較、猜想、驗證等活動，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。這就是找規(guī)律的過程。

課尾的總結(jié)，有研究方法的總結(jié)——先簡單后復(fù)雜，向?qū)W生滲透“天下難事，必作于易”的思想；有研究策略的總結(jié)——畫圖、列舉、列表等，多種策略參與規(guī)律探究的全過程，培養(yǎng)學(xué)生運用知識解決問題的能力；有實驗程序的總結(jié)——提出問題、收集數(shù)據(jù)、作出猜想、驗證猜想、總結(jié)反思，引導(dǎo)學(xué)生再次回顧實驗歷程，積累探索規(guī)律的經(jīng)驗，提升思想，發(fā)展能力。

綜上所述，數(shù)學(xué)實驗對培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的思維，具有重要的作用。所以，在實驗教學(xué)中要強化“四個抓手”，即“價值體悟”“精選材料”“上位引領(lǐng)”“感悟方法”，以切實提高實驗教學(xué)的有效性，讓學(xué)生在實驗中獲取知識、積累經(jīng)驗、發(fā)展能力，成為學(xué)習(xí)的主人。

（江蘇省揚州市邗江區(qū)運西小學(xué) 225128）