丁堅(jiān)鋒

[摘 要] 本文展示了一道幾何題解題思路的形成過(guò)程，揭示了它的幾何特征，并提出通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別幾何問(wèn)題本質(zhì)特征探究問(wèn)題解法的教學(xué)，有助于學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.

[關(guān)鍵詞] 解法探究；幾何直觀

作為一名數(shù)學(xué)教師，在解題時(shí)也會(huì)出現(xiàn)“卡殼”的尷尬局面. 筆者在一次備課時(shí)遇到一道幾何題，想了半個(gè)小時(shí)沒(méi)有解決，后來(lái)經(jīng)過(guò)一番思索，跳出原來(lái)的思路，終于找到了解決問(wèn)題的辦法，真有“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的感覺(jué). 筆者對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行了反思，并對(duì)這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)特征進(jìn)行了探究.

問(wèn)題呈現(xiàn)

試題 （2016年北京市朝陽(yáng)區(qū)中考二模試卷第10題）如圖1，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)O在過(guò)點(diǎn)A且平行于BC的直線上運(yùn)動(dòng)，以△ABC的高為半徑的⊙O分別交線段AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則所對(duì)的圓周角的度數(shù)（ ）

A. 從0°到30°變化

B. 從30°到60°變化

C. 總等于30°

D. 總等于60°

思考過(guò)程

1. 一次失敗的探索過(guò)程

要說(shuō)明所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于30°，即證明∠EOF=60°. 筆者從常見(jiàn)的“共點(diǎn)雙等腰三角形”圖形中得到啟示，嘗試通過(guò)構(gòu)造等邊三角形，證三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題.

如圖2，在AC上截取AG，使AG=AO，連接OG，得正三角形AOG，所以AO=OG. 由已知得OE=OF，∠OAE=∠OGF=120°. 思來(lái)想去也僅能得到這些條件，而這些條件并不能證明△OAE≌△OGF.

然后，筆者又嘗試通過(guò)改變OG的作法，證明△OAE≌△OGF. 如圖3，過(guò)點(diǎn)O作OG∥AB，交BC于點(diǎn)H，若能證明BE=BH，就能得到AE=GF，全等的條件也就能滿足了，可是，證明BE=BH太困難了. 到此，筆者放棄了這個(gè)思路.

2. 在記憶中尋找“舊相識(shí)”

經(jīng)歷一次失敗的探究之后，筆者重新審題和讀圖，忽然間，腦子里浮現(xiàn)出了曾經(jīng)做過(guò)的一道幾何題，這兩道題的條件不同，但是圖形特征很相似. 于是，筆者再一次進(jìn)行了嘗試.

如圖4，作點(diǎn)E關(guān)于直線AO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接OE′，AE′，易知E′，A，C三點(diǎn)共線，OF=OE=OE′. 設(shè)∠OE′A=∠OFA=α，∠AOE′=∠AOE=β，則α+β=60°. 所以∠FOE′=180°-2α，∠FOE=∠FOE′-∠EOE′=180°-2α-2β=60°. 問(wèn)題得到了解決.

與此同時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E′剛好落在⊙O上，如圖5，延長(zhǎng)CA交⊙O于點(diǎn)E′，連接EE′，得到等腰三角形AEE′，不難發(fā)現(xiàn)∠EAE′=120°，故圓周角∠AE′E=30°. 這個(gè)方法（記為解法2）非常簡(jiǎn)便，令人叫絕，也令筆者陷入深思：還有沒(méi)有其他的解法？這個(gè)方法是不是最簡(jiǎn)便的方法？是圖形的哪些特征決定了這個(gè)解法最簡(jiǎn)便？

3. 借助點(diǎn)的軌跡尋思路

波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)道：“在求解過(guò)程中，我們很可能再三地改變我們的觀點(diǎn)，或者改變考慮問(wèn)題的途徑. 我們應(yīng)該不斷地變更我們的出發(fā)點(diǎn). ”當(dāng)解題遇到困難時(shí)，更要回到已知，選擇合適的出發(fā)點(diǎn).

我們要證明∠EOF=60°，則一定存在∠EOF=∠BAC的事實(shí)，那么點(diǎn)A，E，F(xiàn)，O一定在同一個(gè)圓上，基于這樣一個(gè)想法，筆者又開(kāi)始了新的探索.

如圖6，設(shè)過(guò)A，E，F(xiàn)的圓交直線AO于點(diǎn)O′，連接EO′，F(xiàn)O′，則∠O′EF=∠O′AF=60°，∠EO′F=∠EAF=60°，所以△O′EF是等邊三角形. 所以O(shè)′E=O′F. 所以點(diǎn)O′在EF的垂直平分線上. 因?yàn)镺E=OF，所以點(diǎn)O也在EF的垂直平分線上. 而EF的垂直平分線與直線AO只有一個(gè)交點(diǎn)，故O′與O重合. 問(wèn)題亦得到解決.

剝開(kāi)表象，探究本質(zhì)

1. 改變條件，分析結(jié)論的變化規(guī)律

筆者在上述解法探究過(guò)程中，嘗試過(guò)將△ABC換成等腰直角三角形、一般的等腰三角形和改變⊙O的半徑，進(jìn)行結(jié)論的類(lèi)比和規(guī)律的探究.

如圖7，當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，有∠EOF=∠BAC=90°；如圖8，將△ABC換成一般的等腰三角形（AB=AC），當(dāng)⊙O的半徑在變化時(shí)，∠EOF=∠BAC仍成立.

若把圖1倒過(guò)來(lái)，便成了圖9，這個(gè)問(wèn)題可以敘述為：CN為正三角形ABC的外角∠ACM的平分線，點(diǎn)O是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO，以點(diǎn)O為圓心、AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CN于點(diǎn)P，則∠AOP=60°. 類(lèi)似地，將正三角形ABC分別換成正方形、正五邊形和正六邊形，如圖10～12，∠AOP分別為90°，108°，120°. 顯然，換成其他的正多邊形都有類(lèi)似的結(jié)論，這不禁讓人想起∠AOP與正多邊形的內(nèi)角是否有關(guān). 但是，不以AO為半徑就沒(méi)有這個(gè)結(jié)論，把正多邊形的外角平分線換成其他的線，結(jié)論也是不成立的.

事實(shí)上，正多邊形不是必要條件，∠AOP的度數(shù)與正多邊形的內(nèi)角也沒(méi)有必然的聯(lián)系，那么它與什么有關(guān)？

2. 通過(guò)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)圖形的本質(zhì)特征

下面以正五邊形為例說(shuō)明正多邊形（因?yàn)樽C法完全一樣）具有這種特征. 如圖14，CN為正五邊形ABCDE的外角∠DCM的平分線，易知∠ACB=∠MCN=36°，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′C，則∠A′CB=∠ACB=∠MCN，所以點(diǎn)A′在直線CN上.

因?yàn)樵瓎?wèn)題中具有這個(gè)基本圖形（圖13）的特征，解法2正是利用了這種特征，所以會(huì)如此簡(jiǎn)便.

基于問(wèn)題解決的思考

探究幾何圖形本質(zhì)特征有助于培養(yǎng)幾何直觀，提高析題能力.

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）里提出的十個(gè)核心概念之一. 它是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知，所以它能幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué).

西方哲學(xué)家通常認(rèn)為，直觀就是未經(jīng)充分的邏輯推理，而對(duì)于事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對(duì)象的全貌和對(duì)本質(zhì)的認(rèn)識(shí). 然而，直觀需要基于人腦記憶的快速提取和信息的處理. 按照?qǐng)D式理論，人腦中所保存的一切知識(shí)都能分成單元、構(gòu)成“組塊”和組成系統(tǒng). 數(shù)學(xué)知識(shí)可以被提煉成記憶線索和“組塊”，如定義、定理、常見(jiàn)的幾何基本圖形和數(shù)學(xué)模型等都可以看成是“組塊”. 它的優(yōu)點(diǎn)是“組塊”中所包含的知識(shí)較簡(jiǎn)約，結(jié)構(gòu)化程度高，便于識(shí)記. 數(shù)學(xué)解題活動(dòng)就是利用“組塊”特征，從問(wèn)題中抽取出其特點(diǎn)、本質(zhì)或者基本的東西，并構(gòu)建起它們之間的聯(lián)系，逐步消除目標(biāo)差，從而找到正確的解題思路.

上文中對(duì)圖形本質(zhì)特征的探究就是對(duì)問(wèn)題核心條件的凝練，是對(duì)問(wèn)題深度認(rèn)知的過(guò)程，是提高問(wèn)題表征能力的過(guò)程，也是一種構(gòu)建內(nèi)在心理表征的過(guò)程. 這種活動(dòng)就是以已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過(guò)與其他因素的相互作用來(lái)構(gòu)建新的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者建立起良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成新的記憶“組塊”. 那么，作為數(shù)學(xué)教育工作者，就不能一味地追趕教學(xué)進(jìn)度，搞題海戰(zhàn)術(shù)，而要重視通過(guò)向?qū)W生展現(xiàn)思路尋找的過(guò)程，挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，使其領(lǐng)悟思維策略的自然與合理性，并鼓勵(lì)學(xué)生從事抽象與概括活動(dòng)，提高問(wèn)題表征能力和幾何直觀能力.