孟慶甲

摘 要：智慧數(shù)學(xué)是一種數(shù)學(xué)教育理念，一種教學(xué)主張。主要倡導(dǎo)“數(shù)學(xué)是智慧的，課堂是智慧的，教師的教是智慧的，學(xué)生的學(xué)是智慧的”。本文著重從內(nèi)涵詮釋與建構(gòu)基礎(chǔ)、本質(zhì)探求與基本原則、整體架構(gòu)與教學(xué)探索三個(gè)方面來闡述智慧數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)主張與實(shí)踐建構(gòu)。

關(guān)鍵詞：智慧數(shù)學(xué)；教學(xué)主張；課堂教學(xué)；建構(gòu)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)論，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。然而，數(shù)學(xué)教學(xué)如何讓學(xué)生在潤物細(xì)無聲中一改過去“數(shù)學(xué)是抽象的、枯燥的、不好玩的，甚至是頭痛的”印象，轉(zhuǎn)變?yōu)椤皵?shù)學(xué)是有趣的、好玩的、讓人迷戀的，能激發(fā)潛能、啟迪智慧”的形象，這就急需我們倡導(dǎo)和擁有“智慧數(shù)學(xué)”課堂教學(xué)主張，進(jìn)而積極探索與構(gòu)建智慧數(shù)學(xué)課堂教學(xué)范式。因?yàn)榻逃恼嬷B在于將知識轉(zhuǎn)化為智慧，使文明積淀成人格。

一、智慧數(shù)學(xué)的內(nèi)涵詮釋與建構(gòu)基礎(chǔ)

（一）智慧數(shù)學(xué)的內(nèi)涵詮釋

什么是智慧？《辭?！飞辖忉尀椤皩κ挛锬苷J(rèn)識、辨析、判斷處理和發(fā)明創(chuàng)造的能力”?！缎氯A字典》解釋是“對事物能迅速、靈活、正確地理解和解決的能力”。其他的辭書大多解釋為“聰明才智”或“智謀”。著名教育家馬克斯·范梅南是這樣理解“智慧”的：“展現(xiàn)智慧的人似乎都具有在復(fù)雜而微妙的情境中迅速地、十分有把握地和恰當(dāng)?shù)匦袆?dòng)的能力?！痹诒疚闹校腔凼侵笌熒跀?shù)學(xué)教與學(xué)的過程中應(yīng)具有的“深刻的洞察力、敏銳的觀察力、準(zhǔn)確的判斷力及靈活應(yīng)對、合理選擇策略、正確解決問題的能力”。

什么是智慧數(shù)學(xué)？智慧數(shù)學(xué)是一種數(shù)學(xué)教育理念，一種教學(xué)主張，主要倡導(dǎo)“數(shù)學(xué)是智慧的，課堂是智慧的，教師的教是智慧的，學(xué)生的學(xué)是智慧的”。主張教師運(yùn)用“教育智慧”（智慧的思想與策略），深度解讀教材、創(chuàng)新設(shè)計(jì)預(yù)案、精妙創(chuàng)設(shè)情境、生動(dòng)呈現(xiàn)內(nèi)容、精心組織活動(dòng)、智慧引領(lǐng)探究、啟迪多維思考、精準(zhǔn)歸納升華，從而打造智慧數(shù)學(xué)課堂，開展智慧教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)智慧學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維乃至數(shù)學(xué)素養(yǎng)的智慧生長與發(fā)展。因此，智慧數(shù)學(xué)是一種幫助學(xué)生激發(fā)與建立完整智慧體系的教育方式，其教育宗旨在于，引導(dǎo)學(xué)生智慧開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及智慧思維能力，點(diǎn)燃智慧、發(fā)展智慧、應(yīng)用智慧和創(chuàng)造智慧。

（二）智慧數(shù)學(xué)的教學(xué)建構(gòu)基礎(chǔ)

“智慧數(shù)學(xué)”課堂教學(xué)的建構(gòu)理論基礎(chǔ)主要有三個(gè)方面：一是腦科學(xué)研究的厚重基礎(chǔ)；二是兒童學(xué)習(xí)心理的本性需求；三是教育智慧創(chuàng)新發(fā)展的時(shí)代召喚。

1. 從腦科學(xué)研究角度審視，智慧數(shù)學(xué)可以最大限度地“開發(fā)人的無限潛能”

人腦是人的思維器官，沒有人腦就沒有人的智慧。科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，人類大腦無比的神奇與非凡，而且充滿了無限的潛能。就其貯存量而言，人的大腦能以每秒1000個(gè)信息單位的速度進(jìn)行不發(fā)生重疊的信息存貯，且貯存量大約為5億冊圖書的信息量，然而現(xiàn)實(shí)中人腦潛能只利用了百分之五左右。從腦科學(xué)角度看，教育所起的主要作用就是創(chuàng)設(shè)豐富多彩、動(dòng)態(tài)發(fā)展、對兒童構(gòu)成智力挑戰(zhàn)的環(huán)境，開發(fā)兒童的潛能，促進(jìn)兒童的成長發(fā)展。而數(shù)學(xué)教育，特別是智慧數(shù)學(xué)課堂教學(xué)能夠真正地啟迪和開發(fā)兒童數(shù)學(xué)方面的巨大潛能，讓兒童得以智慧生長和發(fā)展。

2. 從兒童學(xué)習(xí)心理角度深思，智慧數(shù)學(xué)是實(shí)現(xiàn)學(xué)生探索心欲的課程與佳徑

著名教育家蘇霍姆林斯基認(rèn)為：求知欲，好奇心——這是人的永恒的，不可改變的特性。人的內(nèi)心里有一種根深蒂固的需要，總想感到自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者。在兒童的精神世界中，這種需求特別強(qiáng)烈。同時(shí)他還指出：如果教師的聰明才智深化到培養(yǎng)每個(gè)學(xué)生創(chuàng)造性的能力上來，如果教師所講的話善于激勵(lì)學(xué)生投入創(chuàng)造性能力的競賽，那么，學(xué)校里將不會有一個(gè)平庸的學(xué)生，理所當(dāng)然地，生活中也將不會有一個(gè)不幸的人。而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性能力正是啟迪其智慧，開發(fā)其潛能的具體體現(xiàn)。智慧數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)主張恰恰是從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理這一角度不斷地點(diǎn)燃求知欲，實(shí)現(xiàn)學(xué)生探索心欲的佳徑。

縱觀人類數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，數(shù)學(xué)發(fā)展本身就是充滿著觀察與猜想的活動(dòng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程與人類數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程具有很強(qiáng)的相似性。而智慧數(shù)學(xué)課堂能夠引領(lǐng)學(xué)生通過觀察、描述、畫圖、操作、猜想、思考、交流與應(yīng)用等，讓學(xué)生的身心、手腦、思維靈活起來，同時(shí)親眼見證數(shù)學(xué)過程生動(dòng)而形象的性質(zhì)，親身體驗(yàn)如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”，并從中感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力和誘惑力，從而引發(fā)和促進(jìn)學(xué)生的智慧學(xué)習(xí)。

3.從教學(xué)智慧理論的發(fā)展歷程展望，智慧數(shù)學(xué)真正是為了學(xué)生的智慧生長

打造智慧課堂，為發(fā)展學(xué)生智慧而教，國外這一研究領(lǐng)域以北美“現(xiàn)象學(xué)教育學(xué)”的領(lǐng)袖人物之一范梅南為代表。他的代表作是《教學(xué)機(jī)智——教育智慧的意蘊(yùn)》，其中“教學(xué)機(jī)智在教學(xué)行為中的重要性”“教學(xué)機(jī)智的表現(xiàn)形式”“探尋在具體情境中如何機(jī)智和充滿智慧地采取行動(dòng)”等理論極具前瞻性和借鑒意義。近年來，國外心理學(xué)界的學(xué)者（如斯滕伯格）也介入到了對教學(xué)智慧的研究之中，他們參與到了美國“為智慧而教”這一全國性的項(xiàng)目之中。斯滕伯格提出智慧平衡理論，并闡述了“為智慧而教”的16條教學(xué)原則。

2006年，國家督學(xué)成尚榮先生提出“為智慧的生長而教”及“智慧課堂”的概念，他認(rèn)為，課程改革、教育改革正使課堂發(fā)生根本性的變革：從知識課堂走向智慧課堂，為學(xué)生智慧的生長而教。

著名特級教師黃愛華亦認(rèn)為，孩子的心應(yīng)該是智慧的海洋，不應(yīng)是真理的倉庫；學(xué)生擁有的應(yīng)該是“活”的智慧，而不是“死”的知識。智慧課堂以知識為載體教給學(xué)生智慧：教師智慧地教，學(xué)生智慧地學(xué)，體現(xiàn)智慧的生成，發(fā)展生命的靈性，是學(xué)生蘸得智慧的課堂，是教師智慧成長的課堂。

以上的這些智慧教學(xué)理論的研究，為智慧數(shù)學(xué)課堂教學(xué)主張的實(shí)踐與探索提供了理論上的堅(jiān)強(qiáng)支撐，同時(shí)亦指明了研究的方向，即智慧數(shù)學(xué)的價(jià)值目標(biāo)是“為了學(xué)生的智慧生長而教”，從而真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長，智慧共生、共贏。

二、智慧數(shù)學(xué)的本質(zhì)探求與基本原則

（一）智慧數(shù)學(xué)的本質(zhì)探求

1.靈動(dòng)性 智慧數(shù)學(xué)是靈動(dòng)的、生動(dòng)的、輕盈的，充滿靈性，無論是數(shù)學(xué)知識的生動(dòng)呈現(xiàn)、教師的智慧引領(lǐng)、學(xué)生的多維思考，還是師生的交往互動(dòng)都是靈活的，機(jī)智的，隨機(jī)應(yīng)變，順勢而為，不拘泥于預(yù)設(shè)、形式和框架的束縛。

2. 思辨性 智慧數(shù)學(xué)追求學(xué)生內(nèi)在思想的解放，智慧與潛能的充分激發(fā)和釋放，讓學(xué)生走進(jìn)每一堂數(shù)學(xué)課都充滿著一種無可壓抑的渴望。去求證、爭鳴他們的關(guān)注點(diǎn)，教師要做的就是創(chuàng)設(shè)一個(gè)引領(lǐng)學(xué)生期盼走進(jìn)的思想的空間——一個(gè)充滿濃厚的思辨色彩的數(shù)學(xué)課堂，不斷地喚醒、激發(fā)、呵護(hù)，能使學(xué)生在不受未經(jīng)審察的常規(guī)和習(xí)慣的羈絆下進(jìn)行獨(dú)立的思考，讓思想自由萌動(dòng)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加深層、深入與深刻，同時(shí)亦讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加具有批判性和思辨性。

3. 生長性 每個(gè)學(xué)生在成長的過程中，不僅僅是身心的成長，更是知識、技能、情感與智慧的生長。因此智慧數(shù)學(xué)關(guān)注學(xué)生知識的自主建構(gòu)、思維的自由連接、智慧的自然生長、情感的自信舒展。這種生長既有竹子般節(jié)節(jié)拔高式生長，亦有球形樹冠式生長，更有四通八達(dá)的網(wǎng)絡(luò)式生長。

4. 簡約性 數(shù)學(xué)教材所展現(xiàn)的是濃縮、精練的知識內(nèi)容，教師如何將這些具有抽象性的數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)給孩子們，并且讓孩子們樂于接受、喜于探索是最有價(jià)值、最亟待解決的問題。而智慧數(shù)學(xué)積極倡導(dǎo)教學(xué)目標(biāo)簡明、教學(xué)素材簡化、教學(xué)情境簡單、教學(xué)手段簡樸、教學(xué)環(huán)節(jié)簡練以及教學(xué)語言簡潔，從而實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的簡單、簡潔、清晰、流暢和自然，學(xué)生的學(xué)習(xí)簡約而不簡單。

5. 全維性 智慧數(shù)學(xué)關(guān)注思維的多元、多向和全維。不能僅僅局限于點(diǎn)、線、面，不能只偏好單向思維、順向思維、“二手思維”，而是應(yīng)全方位、多角度、深層次地加以深入剖析，要站在不同的思維點(diǎn)位、更高的思維峰度、更遠(yuǎn)的思維視野及更寬的思維視角，這樣思考問題才更加全面，思考方式更加全維。

（二）智慧數(shù)學(xué)的教學(xué)基本原則

1. 形象直觀原則 研究發(fā)現(xiàn)，小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展過渡的階段，他們的認(rèn)知與理解大多數(shù)是建立在直觀感知、感性理解的基礎(chǔ)之上。法國數(shù)學(xué)家龐加萊亦言：“雖然我們是通過邏輯去證明，但我們是通過直觀去創(chuàng)造的?！边\(yùn)用直觀演示、再現(xiàn)，可以令數(shù)學(xué)教學(xué)化平淡為生動(dòng)、化深?yuàn)W為淺顯、化抽象為具體、化冗長為簡潔、化枯燥為趣味，使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)倍感生動(dòng)有趣、形象鮮明、極具誘惑，極易形成清晰的表象，啟發(fā)學(xué)生的思路，有利于開放性、創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)。

2.靈活多變原則 在教學(xué)過程中，學(xué)生作為一個(gè)有生命、有思想的個(gè)體，帶著自己的經(jīng)驗(yàn)、情感、思想?yún)⑴c到師生雙邊活動(dòng)中來，必然會生成許多意外的情況。因此課堂教學(xué)時(shí)，教師要靈活多變，不能被課堂教學(xué)的預(yù)設(shè)所限制，更不能面對學(xué)生的預(yù)設(shè)外生成（尤其是那些精彩、精妙的生成）無動(dòng)于衷，而應(yīng)該機(jī)智應(yīng)對，順勢而為，順著學(xué)生的思路、生成進(jìn)行有針對性的引導(dǎo)，讓生成之花由起初的含苞待放變?yōu)轶@艷怒放，讓“猶抱琵琶半遮面”變?yōu)椤肮獠收杖恕薄?/p>

3. 問題驅(qū)動(dòng)原則 課堂是點(diǎn)燃學(xué)生智慧的火把，而好的問題正是點(diǎn)燃智慧火把的火種。恰到好處的提問，可以揭露學(xué)生認(rèn)識中的矛盾，引起學(xué)生探究的欲望，激發(fā)學(xué)生積極思維，使學(xué)生情緒處于最佳狀態(tài)。而且問題的恰當(dāng)與否直接影響兒童的思維進(jìn)展和潛能激發(fā)，因此課堂教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)適時(shí)、適切地創(chuàng)設(shè)富有趣味性、挑戰(zhàn)性的問題情境，圍繞教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)幾個(gè)逐層遞進(jìn)的核心問題，潛移默化引領(lǐng)學(xué)生圍繞這些問題開展學(xué)習(xí)、探究、研討、爭辯、驗(yàn)證和應(yīng)用。讓學(xué)生歷經(jīng)豐富的內(nèi)心波瀾和挑戰(zhàn)過程的刺激，體驗(yàn)和享受問題解決的快樂。

4. 批判反思原則 亞里士多德曾說過：“我愛我?guī)?，但我更愛真理。”因此課堂教學(xué)時(shí)，教師要且行且思，不斷審視自己的教學(xué)方式、教學(xué)語言是否能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，點(diǎn)燃學(xué)生的智慧潛能，如果不能的話，教師要及時(shí)反思，改變策略，調(diào)整預(yù)案。在學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，更要鼓勵(lì)和培養(yǎng)學(xué)生的批判精神和反思能力，因?yàn)閯?chuàng)新時(shí)代需要具有批判精神和反思能力的人。

5. 內(nèi)化升華原則 課堂教學(xué)不僅具有傳達(dá)知識的屬性，更兼具啟迪智慧的責(zé)任與使命。因此智慧數(shù)學(xué)課堂，無論是學(xué)習(xí)、探究“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”還是“綜合與實(shí)踐”，無論是新授課、練習(xí)課還是復(fù)習(xí)課，無論是概念課、計(jì)算課還是解決問題課與空間圖形課，教師都要引領(lǐng)學(xué)生在充分感知、理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行內(nèi)化鞏固，自主建構(gòu)知識網(wǎng)、能力鏈，最終升華為兒童自己的數(shù)學(xué)思維乃至數(shù)學(xué)思想。

三、智慧數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)整體架構(gòu)與實(shí)踐探索

（一）智慧數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)整體架構(gòu)

智慧數(shù)學(xué)課堂教學(xué)主要蘊(yùn)含兩根主線，一根是兒童智慧學(xué)習(xí)主線，另一根是教師智慧教學(xué)主線，這兩根主線相輔相成、教學(xué)相長、智慧共生，共同構(gòu)建了智慧數(shù)學(xué)整體架構(gòu)（如圖1）。

（二）智慧數(shù)學(xué)的課堂實(shí)踐探索

1. 教師精妙創(chuàng)設(shè)情境，提問引疑、點(diǎn)燃動(dòng)機(jī)；學(xué)生正視疑難、謀劃解決

在教學(xué)中，教師要依據(jù)教材教學(xué)內(nèi)容，精心構(gòu)思、精妙創(chuàng)設(shè)問題情境，點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，讓學(xué)生在富有挑戰(zhàn)性、趣味性、懸念性、刺激性的情境中認(rèn)識、感知、理解和掌握新知，同時(shí)能正視疑難、謀劃解決，并在類似真實(shí)的生活情境中加以應(yīng)用，以達(dá)到活學(xué)活用的目的。

（1）情境創(chuàng)設(shè)要體現(xiàn)一個(gè)“精”。創(chuàng)設(shè)情境目的是為了更好地開展智慧學(xué)習(xí)，因此，情境應(yīng)該緊緊圍繞學(xué)習(xí)內(nèi)容而設(shè)置，并且體現(xiàn)一個(gè)“精”字。不能為情境而情境，更不能太爛、太泛、太過注重包裝，以致添加許多非數(shù)學(xué)信息，而使其失去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原汁原味，甚至從促進(jìn)學(xué)習(xí)變成了新的干擾元素。

（2）情境創(chuàng)設(shè)要突出一個(gè)“妙”。通過巧妙的情境設(shè)計(jì)，讓學(xué)生真正感受到學(xué)習(xí)的內(nèi)在需要，才能真正激發(fā)、喚醒探究新知的內(nèi)驅(qū)力。

例如：“數(shù)的改寫”一課，一位教師圍繞“人體中的數(shù)據(jù)”創(chuàng)設(shè)情境：“人的心臟如果一分鐘跳70次，一晝夜就超過100000次，人活到60歲時(shí)，心臟已經(jīng)跳動(dòng)了2000000000次。它的工作量是驚人的，一年能使血液流動(dòng)2500000000米，60年心臟可壓出血液130000噸?！毕茸寣W(xué)生自由朗讀，期間有的學(xué)生邊讀邊用手按住心臟，有的則數(shù)起0的個(gè)數(shù)。教師啟迪：“讀后有什么想法？”有的學(xué)生說：“我們的心臟真可憐，同時(shí)也真了不起，我們要好好地保護(hù)心臟。”有的學(xué)生說：“這些數(shù)字末尾的0太多了，看得我眼都花了，我建議把這些超級大的數(shù)改寫成語文數(shù)字，這樣便于認(rèn)讀。”許多學(xué)生紛紛贊同。教師順勢點(diǎn)題：“大家的建議非常好！在生活和學(xué)習(xí)中，我們有必要對一些大的數(shù)稍作改寫，使其讓人們讀起來、寫起來比較簡便。”

以上教學(xué)，教師沒有采取雖能達(dá)標(biāo)但缺乏學(xué)習(xí)主體參與的“告訴——強(qiáng)記——訓(xùn)練”方法，而是“曲徑通幽”，別具匠心地創(chuàng)設(shè)了探究情境，引出問題，引發(fā)有效思考，從而自然地實(shí)現(xiàn)了對新知的生成重建與對數(shù)學(xué)思想方法的意義建構(gòu)。

2. 教師生動(dòng)呈現(xiàn)內(nèi)容，明朗方向、清晰目標(biāo)；學(xué)生聚焦問題、把握本質(zhì)

同一學(xué)習(xí)內(nèi)容的不同呈現(xiàn)方式直接影響學(xué)生的理解、探究。生動(dòng)呈現(xiàn)內(nèi)容，即讓原本靜態(tài)的知識動(dòng)起來，原本枯燥的內(nèi)容趣味起來，原本平面的材料立體起來，原本抽象的思維形象起來。這樣有利于問題聚焦、把握本質(zhì)，有利于學(xué)生的再創(chuàng)造，有利于調(diào)動(dòng)和鏈接學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗(yàn)，激活智慧潛能，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)和富有個(gè)性化地探索問題、解決問題，進(jìn)而形成適宜的智慧學(xué)習(xí)方式。

例如，特級教師戴厚祥執(zhí)教“圓錐的體積”時(shí)，是這樣生動(dòng)呈現(xiàn)內(nèi)容的：首先電腦呈現(xiàn)動(dòng)畫情境（伴圖配音）：“夏天，森林里悶熱極了，小動(dòng)物們都熱得喘不過氣來。一只小白兔去‘動(dòng)物超市購物，在冷飲專柜熊伯伯那兒買了一個(gè)圓柱形的雪糕。這一切都被躲在一旁的狐貍看見了，它就去熊伯伯的專柜里買了一個(gè)圓錐形的雪糕。小白兔剛張開嘴，滿頭大汗的狐貍拿著一個(gè)圓錐形的雪糕一溜煙跑了過來。（動(dòng)畫中圓柱形和圓錐形的雪糕是等底等高的）”接著教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題展開討論，問題一：狐貍貪婪地問：“小白兔，用我手中的雪糕跟你換，怎么樣？”如果這時(shí)小白兔和狐貍換了雪糕，你覺得小白兔有沒有上當(dāng)？問題二：（動(dòng)畫演示）這時(shí)狐貍手上又多了一個(gè)同樣大小的圓錐形雪糕。小白兔這時(shí)和狐貍換雪糕，你覺得公平嗎？問題三：如果你是森林中的小白兔，狐貍手中的圓錐形雪糕有幾個(gè)時(shí)，你才肯與它交換？隨后，教師進(jìn)一步引發(fā)探究的方向：“小白兔究竟跟狐貍怎樣交換才公平合理呢？學(xué)習(xí)了圓錐的體積后，我們就能弄明白這個(gè)問題。”

上例教學(xué)的亮點(diǎn)在于，戴教師通過創(chuàng)設(shè)一個(gè)趣味橫生的童話情境，生動(dòng)呈現(xiàn)內(nèi)容，讓學(xué)生在判斷公平與不公平中，展開了對等底等高圓柱和圓錐體積關(guān)系的猜想，在猜想中找到了“固著點(diǎn)”（學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與教學(xué)難點(diǎn)最為接近的知識經(jīng)驗(yàn)），并把它作為學(xué)生學(xué)習(xí)上的支撐，從而深深觸及了學(xué)生的心理需求，有效地實(shí)現(xiàn)了新知的智慧“同化”和“順應(yīng)”。

3. 教師指示探究范圍，提出要點(diǎn)、智慧引領(lǐng)；學(xué)生追本溯源、多重感知

在新知的探索研究過程中，教師應(yīng)運(yùn)用自身的教學(xué)實(shí)踐智慧（智慧的思想和策略），設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)、不斷深入的觸及知識本質(zhì)的核心問題，精心組織活動(dòng)，提出要點(diǎn)、智慧引領(lǐng)，引發(fā)學(xué)生深層次的思考、探討、體驗(yàn)和感悟，以期追本溯源，多重感知。

例如，教學(xué)“可能性及可能性的大小”一課，在教學(xué)例1“從口袋里（袋中有一個(gè)紅球和一個(gè)黃球，這兩個(gè)球除了顏色不同，其他都完全一樣）任意摸出1個(gè)球，可能摸出哪種顏色的球？”時(shí)，筆者引領(lǐng)學(xué)生緊緊圍繞這樣幾個(gè)核心問題來思考：（1）如果給你實(shí)驗(yàn)材料來驗(yàn)證，你打算摸多少次，為什么？（問題設(shè)計(jì)目的在于讓學(xué)生明白實(shí)驗(yàn)的次數(shù)要適當(dāng)，次數(shù)太少，不能真實(shí)反映“可能性”這一隨機(jī)現(xiàn)象，太多又容易浪費(fèi)時(shí)間）（2）在實(shí)驗(yàn)過程中要注意什么才能保證摸出的結(jié)果真實(shí)公正呢？（問題設(shè)計(jì)目的在于讓學(xué)生懂得實(shí)驗(yàn)過程一定要科學(xué)有序、規(guī)范合理）隨后讓學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)操作10次，緊接著引領(lǐng)學(xué)生：（1）觀察、比較各小組的摸球結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？（2）每次摸之前你能確定摸出球的顏色嗎？如果摸了99次，第100次能確定嗎？這樣步步深入，層次引領(lǐng)，讓學(xué)生體會和感悟到：第一，無論是同一個(gè)組，還是不同的組，無論是第一次，還是第10次，在這樣的袋子里摸球，都出現(xiàn)了兩種不同的可能，可能摸到紅球，也可能摸到黃球。第二，不管摸多少次，每次摸之前都無法確定摸球的結(jié)果。

4. 教師設(shè)題討論探索，啟迪善思、多維推理；學(xué)生智慧推求、思辨解疑

啟迪善思、多維推理，即引領(lǐng)學(xué)生多角度、多層次、多維度、全方位地思考問題、感悟新知，以此智慧推求、思辨解疑，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的批判性、靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性、敏捷性。這樣的教學(xué)就如同生活中的刨春筍，一層層地把外殼刨去，最后留下最為精華的部分。

例如，教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”一課，教師可以在充分解讀教材，把握重難點(diǎn)的基礎(chǔ)上，緊扣數(shù)學(xué)本質(zhì)，大膽重組教材，巧妙設(shè)計(jì)，啟迪、引領(lǐng)學(xué)生在問題中多維思考，自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，在互動(dòng)中智慧生成數(shù)學(xué)模型。第一，拋出問題，大膽猜想。（1）大家會用小棒圍三角形嗎？（目的是讓學(xué)生形象地感知“圍”三角形就是“頭連頭，尾連尾”，這樣才是一個(gè)封閉的平面圖形）（2）任意三根小棒一定能圍成三角形嗎？（目的是引導(dǎo)學(xué)生通過大膽猜想，小心求證，為后續(xù)學(xué)習(xí)總結(jié)歸納、探尋解決問題的科學(xué)方法做好鋪墊）第二，驗(yàn)證猜想，初建模型。圍繞“圍成三角形的三條邊必須符合哪些條件才可以”啟迪、引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷3個(gè)條件的探索過程，明確了三條線段必須同時(shí)滿足3個(gè)條件（第一條線段長+第二條線段長>第三條線段長、第一條線段長+第三條線段長>第二條線段長、第二條線段長+第三條線段長>第一條線段長）才能圍成三角形，發(fā)展了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和推理能力。整個(gè)多維思考過程彌補(bǔ)了不完全歸納法的缺陷，從正反兩方面來尋找突破口，從而水到渠成地建立了“任意兩邊之和大于第三邊”這一數(shù)學(xué)模型。第三，優(yōu)化提升，完善模型。圍繞問題“為什么有些學(xué)生在判斷三根小棒能否圍成三角形時(shí)，判斷的速度非?？?，竅門在哪？”從而引導(dǎo)學(xué)生打破剛才建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，抓住本質(zhì)屬性，形成一個(gè)最為優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)——“兩條短邊之和大于第三邊”。第四，應(yīng)用模型，解決問題。精心設(shè)計(jì)拓展性問題：“三根小棒，一根3厘米，另一根9厘米，還有一條邊可以多長才能夠圍成三角形？”這樣一方面幫助學(xué)生鞏固三角形三邊的關(guān)系，另一方面，又極大地拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使其思維更加全維、嚴(yán)謹(jǐn)。

5. 教師指導(dǎo)應(yīng)用求證，智慧引證、歸納升華；學(xué)生驗(yàn)證推想、拓展應(yīng)用

精準(zhǔn)歸納升華，即通過多層次實(shí)踐探究，推理歸納，促進(jìn)學(xué)生驗(yàn)證推想、歸納應(yīng)用，同時(shí)在知識結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方面不斷地加以內(nèi)化與升華。

例如，教學(xué)“可能性及可能性的大小”一課時(shí)，寓數(shù)學(xué)知識于游戲中，融數(shù)學(xué)思想于對話中，在師生、生生對話中，教師巧妙地拋出一個(gè)個(gè)極具價(jià)值的問題，引領(lǐng)學(xué)生去論、去辯、去爭，進(jìn)而總結(jié)歸納，不斷升華。

第一次歸納：判斷可能的結(jié)果。課件出示例2的4張撲克牌（紅桃A、紅桃2、紅桃3、紅桃4），動(dòng)畫演示反扣過程，提問：任意摸出1張，可能摸出哪一張？有幾種可能？引導(dǎo)學(xué)生思考得出：可能摸出紅桃A，或紅桃2，或紅桃3，或紅桃4，一共有4種可能。

第二次歸納：認(rèn)識可能性大小。先是引導(dǎo)學(xué)生思考：如果把黑板上4張牌中“紅桃4”換成“黑桃4”（在課件上換牌），你想說些什么？進(jìn)而提問：如果有個(gè)摸牌比賽，摸到多的算贏。讓你選花色的話，你會選擇什么顏色？為什么？大部分學(xué)生選擇紅桃，但也有少數(shù)學(xué)生選擇黑桃。隨后組織學(xué)生開展游戲——摸牌比賽。通過摸牌的最終結(jié)果比較和討論反思，逐步歸納認(rèn)識到：雖然紅桃和黑桃這兩種花色都可能摸到，但是可能性是有大小的，放得多，可能性就大，放得少可能性就小。

第三次歸納：體驗(yàn)可能性相等。教師追問：怎樣調(diào)整使得紅桃和黑桃摸到的可能性一樣大？學(xué)生在研討中歸納出：當(dāng)兩種牌張數(shù)相同時(shí)，摸牌的可能性是相等的，可見事件發(fā)生的可能性不僅有大小，還可能相等。

第四次歸納。提問：回顧上面摸牌活動(dòng)，能說說在摸牌活動(dòng)中，你又有了什么收獲嗎？學(xué)生結(jié)合剛才的游戲操作，小組討論，從而清晰歸納出：摸牌時(shí)，可能摸出其中的任何一張，但摸之前不能確定會摸到哪一張。如果不同花色的牌張數(shù)不同，摸到不同花色的可能性就有大小，但如果不同花色的牌張數(shù)相同，摸到不同花色的可能性就相等。

綜上所述，智慧數(shù)學(xué)是真正為了實(shí)現(xiàn)學(xué)生智慧生長的一種教育理念和教學(xué)主張，如果教師能擁有和積極踐行“智慧數(shù)學(xué)”這一理念，如果教師心中總是裝著每一個(gè)學(xué)生，總是為了學(xué)生的生長而教，總是能夠恰到好處地進(jìn)行智慧引領(lǐng)，學(xué)生就會一直處于開智的興奮狀態(tài)，閃爍著智慧的雙眼，擁有獨(dú)特的智慧思維，從而創(chuàng)造出一個(gè)充滿智慧的數(shù)學(xué)課堂。