李忠民

摘 要：數(shù)感是課程標(biāo)準(zhǔn)界定的十大核心概念之一，對于三四年級的學(xué)生而言，數(shù)感培養(yǎng)正當(dāng)其時。北師大版三四年級數(shù)學(xué)教材中有大量數(shù)感培養(yǎng)的機(jī)會。數(shù)學(xué)教師要準(zhǔn)確把握學(xué)生的數(shù)感現(xiàn)狀，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)感理解，以利用合適的數(shù)感教學(xué)策略去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。數(shù)感培養(yǎng)還是洞察小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)智慧的窗口，教學(xué)中宜深研之。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)感；數(shù)感培養(yǎng)

有人將數(shù)學(xué)通俗地理解為“關(guān)于數(shù)的學(xué)問”，雖然這樣的界定不完全科學(xué)，但從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來看，卻還是有其意義的。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，正是從數(shù)（第三聲）數(shù)（第四聲）開始的，小學(xué)生所建立起的數(shù)學(xué)學(xué)科理解，就是數(shù)及數(shù)的運(yùn)算。在筆者看來，正是基于這一實際，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）在確定十個核心概念的時候，才將“數(shù)感”放在首位。應(yīng)當(dāng)說學(xué)生是帶著數(shù)感走入數(shù)學(xué)課堂的，尤其是小學(xué)生，其生活經(jīng)驗雖然不豐富，但對于數(shù)的認(rèn)識卻是豐富的——中國家庭有傳統(tǒng)的“識數(shù)”的學(xué)前教育。而數(shù)學(xué)教師實施教學(xué)的一個重要目的，就是培養(yǎng)、提升學(xué)生的數(shù)感。本文試以北師大版小學(xué)三四年級相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)為例（北師大版教材），談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

一、三四年級學(xué)生的數(shù)感現(xiàn)狀

筆者曾經(jīng)在三年級下學(xué)期的某一課堂上，給學(xué)生穿插了那個經(jīng)典的國王獎勵大米給大臣的數(shù)學(xué)小故事，這個故事的魅力在于學(xué)生所預(yù)測的結(jié)果與實際所要給的大米數(shù)量之間的差異。這種差異對沒有聽說過此故事且不能一下子從指數(shù)的角度來分析此故事的人來說，是顯性存在的，但對于三年級的學(xué)生來說，卻不盡然。筆者在教學(xué)中注意到，在故事講完之后，不同學(xué)生的感覺是不同的，有部分學(xué)生感覺到“不可思議”“太夸張”（這是學(xué)生的原話），也有部分學(xué)生沒有任何感覺，這可以從學(xué)生的表情上看出來。

坦率地說，這個故事筆者很早之前就對學(xué)生講過，但也只有在開始關(guān)注數(shù)感之后，才發(fā)現(xiàn)不同學(xué)生的反應(yīng)其實是對應(yīng)著不同學(xué)生的數(shù)感水平的。感覺到“不可思議”“太夸張”的學(xué)生，之所以有這種感覺，是因為在結(jié)果出現(xiàn)之前，他們已經(jīng)初步猜想了一個結(jié)果——這個結(jié)果顯然是用數(shù)來表示的，而當(dāng)教師給出一個那么大的數(shù)之后，這部分學(xué)生會認(rèn)識到兩個數(shù)之間巨大的落差，從而產(chǎn)生了相應(yīng)的心理刺激，最終表現(xiàn)為表情或語氣的夸張；而沒有感覺的學(xué)生，恰恰說明了他們的數(shù)感是不如前面那部分學(xué)生的，他們沒有一種良好的用數(shù)來作為猜測結(jié)果的意識，對于兩數(shù)之間的差異也缺乏必要的敏感性。

相應(yīng)的測試放在四年級進(jìn)行，也可以得到類似的結(jié)果，只不過比例有所不同。這說明三四年級的學(xué)生在數(shù)感的水平上表現(xiàn)出相似的分布，這也提醒我們在數(shù)感培養(yǎng)的過程中要注意分不同層次進(jìn)行培養(yǎng)。

二、建立正確的小學(xué)數(shù)感理解

要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，教師首先要對數(shù)感有一個較為準(zhǔn)確的理解。從經(jīng)驗的角度來看，數(shù)感更多的是直覺性的，說得通俗一點就是“關(guān)于數(shù)及數(shù)的應(yīng)用的感覺”。也許有人說對數(shù)感不宜進(jìn)行經(jīng)驗性理解，可有意思的是，實際上課程標(biāo)準(zhǔn)也沒有對數(shù)感進(jìn)行直接的定義，而是通過其外延來闡述的——數(shù)感主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的大小關(guān)系；能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估計運(yùn)算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性做出解釋。這樣的闡述與上述通俗理解是比較一致的，因為無論是理解還是運(yùn)用，實際上都是基于對數(shù)的感覺來進(jìn)行的。而實際教學(xué)中，通俗理解既是數(shù)感培養(yǎng)的基礎(chǔ)，也是數(shù)感培養(yǎng)的最終判斷依據(jù)——如果學(xué)生對數(shù)的感覺好了，那就是數(shù)感形成了；而外延表述則更適合教師在教學(xué)的過程中形成數(shù)感培養(yǎng)的策略或思路。

成人由于生活經(jīng)驗的原因，通常都是具有數(shù)感的；而小學(xué)生由于生活經(jīng)驗的缺乏（生活中與數(shù)相關(guān)的情境缺乏），數(shù)感的形成就會更為緩慢。成人由于生活經(jīng)驗豐富，因而容易忽視學(xué)生生活經(jīng)驗缺乏對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生的消極影響，如果數(shù)學(xué)教師也有這樣的現(xiàn)象，那可以肯定的是，這樣的忽視會使得數(shù)感培養(yǎng)變得步履艱難。

因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師不僅要知道數(shù)感的通俗理解和數(shù)感的外延理解，更要從小學(xué)生認(rèn)知特點與生活常識的角度，知道他們的生活經(jīng)驗與曾經(jīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)給他們提供了多少數(shù)感形成的機(jī)會。需要指出的是，常規(guī)的數(shù)的學(xué)習(xí)及數(shù)的運(yùn)算，對數(shù)感培養(yǎng)的作用是極為有限的，筆者曾進(jìn)行過跟蹤調(diào)查，不少學(xué)生到了高年級數(shù)感仍然較差。所以不要指望學(xué)生天天學(xué)數(shù)、算數(shù)，就能形成數(shù)感，數(shù)學(xué)感的培養(yǎng)還是要講求策略的。

三四年級的學(xué)生處于小學(xué)的中間學(xué)段，基本的數(shù)已經(jīng)學(xué)過了，復(fù)雜的數(shù)及運(yùn)算尚未遇到，此時進(jìn)行數(shù)感培養(yǎng)是一個較好的時機(jī)。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)感培養(yǎng)策略

在筆者的研究與探索中，逐步積累了一些數(shù)感培養(yǎng)的策略。筆者在此進(jìn)行闡述：

策略一：用單位度量生活事物，用數(shù)描述、解釋生活問題。到了三四年級階段，學(xué)生對單位相對熟悉，而在新的單位學(xué)習(xí)的時候，如果能夠基于生活實例來幫助學(xué)生建立對單位的理解，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的基本策略；同時，數(shù)（指正數(shù)）已經(jīng)是學(xué)生比較熟悉的了，因此用數(shù)解釋生活問題而不是簡單地用數(shù)描述生活，就成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的重要策略。如在“千克、克、噸”（三年級下冊）的單位學(xué)習(xí)中，教材設(shè)計讓學(xué)生“掂一掂”，如果簡單地將“掂一掂”理解為學(xué)生的簡單動作，那就比較膚淺了，這其實是一種體驗，是為了建立一種基于生活事物的重量的理解，輕的物體先“稱一稱”，然后“掂一掂”，重的物體“估計一下”再“稱一稱”，這樣學(xué)生就能形成對重量單位的比較準(zhǔn)確的感覺，這種感覺就是數(shù)感。而利用數(shù)去描述、解釋生活問題，也可以結(jié)合相關(guān)知識的教學(xué)來進(jìn)行，比如說“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”，生活中常常有這個東西只有那個東西價格的一半、三分之一這樣的描述，將這樣的生活事例引入課堂，讓學(xué)生描述，讓學(xué)生提問，就可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

策略二：感受大數(shù)的意義。第一點舉出的例子中，是學(xué)生對大數(shù)數(shù)感的缺失，而大數(shù)的教學(xué)，特別有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。在北師大教材中，大數(shù)的學(xué)習(xí)是在二年級進(jìn)行的，到了三四年級階段，可以抓住一些契機(jī)來培養(yǎng)學(xué)生對大數(shù)的數(shù)感，如上面從“克”到“千克”，看起來是一個單位進(jìn)制的數(shù)學(xué)問題，但也可以轉(zhuǎn)變?yōu)閷嶋H問題：生活中為什么需要千克這個大單位？那是因為生活中會遇到大數(shù)；那什么是大數(shù)？再讓學(xué)生去舉生活中的例子，而學(xué)生所舉的例子都會趨向質(zhì)量超大的物體（這是小學(xué)生的認(rèn)知特點），如大象的質(zhì)量、地球的質(zhì)量、太陽的質(zhì)量等，而教師基于學(xué)生的原有認(rèn)識再將這些數(shù)據(jù)以不同的質(zhì)量單位提供給他們，他們在驚訝于這些質(zhì)量的數(shù)值的時候，就會產(chǎn)生大數(shù)的感覺。

策略三：用負(fù)數(shù)描述生活。負(fù)數(shù)是課程改革之后進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)的“新”內(nèi)容，十多年來，筆者始終認(rèn)為其有“新”意，是因為要幫助學(xué)生建立負(fù)數(shù)認(rèn)識，并且初步形成負(fù)數(shù)的數(shù)感，還是有著不斷挑戰(zhàn)的價值的。而至今筆者感覺最好的辦法，仍然是讓學(xué)生用負(fù)數(shù)去描述生活。教材上給出的素材是累積性的，如給出北京、漠河等地區(qū)的氣溫，如果教師直接給出這些數(shù)據(jù)，學(xué)生是沒有感覺的，而如果教師給出生活情境，告訴學(xué)生中國各地區(qū)的溫度分布，并與自己所在地區(qū)的溫度（冷暖程度）進(jìn)行對比，那學(xué)生就可以產(chǎn)生生活認(rèn)知，這種認(rèn)知水平是遠(yuǎn)高于純粹的數(shù)據(jù)累積的。因為有了生活，有了生活感受，有了基于冷暖程度的對比，學(xué)生對不同數(shù)值尤其是負(fù)數(shù)所表示的溫度的感覺是不一樣的，這樣更利于學(xué)生形成關(guān)于負(fù)數(shù)的數(shù)感。

總的來說，對于三四年級學(xué)段的學(xué)生而言，這三個策略都是行之有效的數(shù)感培養(yǎng)策略。

四、由小學(xué)數(shù)感培養(yǎng)所想到的

數(shù)感培養(yǎng)作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，一直是小數(shù)教研的重點。在研究數(shù)感培養(yǎng)的過程中，筆者想到了很多——如果說數(shù)感培養(yǎng)是一個引子的話，那其衍生出的是關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的很多有價值的思考。

比如說，包括數(shù)感培養(yǎng)在內(nèi)的教學(xué)，如何基于小學(xué)生已有的生活經(jīng)驗去進(jìn)行——學(xué)生在生活中的經(jīng)歷如何轉(zhuǎn)換成能夠服務(wù)于數(shù)學(xué)知識構(gòu)建與能力形成的經(jīng)驗，是需要研究的。又比如說，如果遇到學(xué)生的生活經(jīng)驗不足，又該通過什么樣的方式來充實學(xué)生的生活經(jīng)驗。再比如說，從生活語言的運(yùn)用到數(shù)學(xué)語言能力的形成，其間要經(jīng)過哪些教學(xué)過程？從數(shù)感培養(yǎng)的研究中，這些問題都是可以管窺答案的：情境是將生活經(jīng)歷轉(zhuǎn)換成生活經(jīng)驗的有效辦法；而生活經(jīng)驗不足，則可以通過生活事例列舉或是數(shù)學(xué)活動來豐富學(xué)生的生活經(jīng)驗；數(shù)感的形成既是直覺，又是數(shù)學(xué)語言運(yùn)用的能力，這種直覺與數(shù)學(xué)語言聯(lián)系起來，可以成為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)感培養(yǎng)可以帶動更多的教學(xué)思考，教師不妨以之為突破點，尋找小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的大智慧。