林炳江

摘 要：本文就針對初中幾何解題技巧進(jìn)行探討，特別是幾何難題，可通過聯(lián)想問題中涉及的“基本知識”，“基本方法”，“基本圖形”三方面中的幾點出發(fā)尋找解題突破口。通過聯(lián)想“基本知識”，使解題有充分的理論導(dǎo)向；通過聯(lián)想“基本方法”，使解題有切實的技能指導(dǎo)；通過聯(lián)想“基本圖形”，使解題有清晰的思路引領(lǐng)。

關(guān)鍵詞：幾何難題；解題技巧

一、前言

縱觀全國各地歷年中考，中考以課程目標(biāo)，內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)及學(xué)業(yè)考試說明為依據(jù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的基本理念，全面評價學(xué)生在知識技能，數(shù)學(xué)思考，問題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn)。目前存在情況是中考不僅承載著學(xué)生學(xué)業(yè)考試的任務(wù)，并且還肩負(fù)著高中招生責(zé)任，這就要求中考在一定程度上要具備著選拔功能。分析中考數(shù)學(xué)學(xué)科試題，不難看出中考特別注重對基礎(chǔ)知識，基本技能的考查。重視“雙基”，不是重視考查學(xué)生積累了多少“雙基”，而是重視考查學(xué)生能正確運(yùn)用“雙基”來解決一些問題。而分析中考難度分布，要想突破高分，幾何題成為高分關(guān)鍵。可以發(fā)現(xiàn)每年中考的選擇，填空，解答中壓軸題絕大多數(shù)題為幾何題，并且都十分注重對數(shù)學(xué)綜合能力的考查。如何在教學(xué)中有效地落實幾何難題解題指導(dǎo)，會直接成為中考成功的關(guān)鍵。事實上，幾何難題解題并非無規(guī)律可循，在解題教學(xué)中，從“基本知識”，“基本方法”，“基本圖形”出發(fā)分析題目，就可以找到解題突破口，從而解決問題。

二、基于基本知識的突破

（2013·臺州）已知[?A1B1C1]與[?A2B2C2]的周長相等，現(xiàn)有兩個判斷：

①若[A1B1=A2B2，A1C1=A2C2]，則[?A1B1C1]≌[?A2B2C2]；

②若[∠A1=∠A2，∠B1=∠B2]，則[?A1B1C1]≌[?A2B2C2]；

對于上述的兩個判斷，下列說法正確的是（ ）。

A.①正確②錯誤 B.①錯誤②正確

C.①，②都錯誤 D.①，②都正確

參考解答：①由周長相等，兩對邊對應(yīng)相等可得第三對邊相等，進(jìn)而由SSS判定定理得到三角形全等；②由兩對角對應(yīng)相等可得三角形相似，并且由周長相等確定相似比為1，從而有三角形全等。

此題解題時，應(yīng)首先聯(lián)想全等三角形這一基本知識，學(xué)生對于第一問并不陌生，完全能輕易解決；第二問會有所犯難，此時應(yīng)聯(lián)想[∠A1=∠A2，∠B1=∠B2]涉及基本知識是什么？容易知道涉及相似，且周長與相似之間的關(guān)系為相似三角形的周長比等于相似比，這是第二問的關(guān)鍵點。

（2011·臺州）如圖，圓的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切圓于點Q，則PQ的最小值為（ ）。

參考解答：由切線性質(zhì)與勾股定理知，[PQ2=PO2-OQ2]，而OQ大小不變，則當(dāng)PO最小時，PQ取得最小值[5]。

本題解題時，首先聯(lián)想基本知識——切線性質(zhì)，再者由于在直角三角形中有線段之間的運(yùn)算關(guān)系，很自然會聯(lián)想到勾股定理這一基本知識，使解題變得輕而易舉。

三、基于基本方法的突破

幾何中基本方法有很多，需要在平時教學(xué)中慢慢滲透，要求學(xué)生能碰到具體問題時能想起一些常用的解題方法。比如：證明線段相等的方法，證明全等的方法，證明相切的方法，添輔助線的方法等。

參考解答：先根據(jù)四邊形ABCD是菱形可知，AD=BC，由[∠A=120°]可知[∠B=60°]，作點P關(guān)于直線BD的對稱點P，連接PQ，PC，則PQ的長即為PK+QK的最小值，由圖可知，當(dāng)點Q與點C重合，CP⊥AB時PK+QK的值最小，再在[Rt?BCP']中利用銳角三角函數(shù)的定義求出PC的長即可。

此題解題的關(guān)鍵是掌握利用軸對稱求最短路徑的常規(guī)方法與多動點問題往往先固定其它動點，考慮其中一個動點這一常用方法。教學(xué)中數(shù)學(xué)解題基本方法滲透的重要性可見一斑。

（2013·呼和浩特）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（4，0），B（-6，0），點C是y軸上的一個動點，當(dāng)[∠BCA=45°]時，點C的坐標(biāo)為 。

參考解答：如答圖1所示，構(gòu)造含有90°圓心角的圓心點P，則圓心點P與y軸的交點即為所求的點C（注意點P可在第三象限，此時點C在y軸負(fù)半軸上）。

解決幾何問題有些時候不僅要思考基本知識，而且同時要考慮基本方法。在本題中，AB固定不動，點C在運(yùn)動，且[∠BCA=45°]。在所學(xué)知識中，弦所對同側(cè)圓周角相等，此時弦不動而角在動，題中線段不動角在動。于是就會聯(lián)想將AB看成弦，[∠ACB]是弦AB所對圓周角，進(jìn)而需要作一個圓。而作圓的基本方法是尋找圓心與半徑。本題正因為基于這樣的基本知識與基本方法的聯(lián)想，才使問題迎刃而解。

四、基于基本圖形的突破

基本圖形是幾何教學(xué)必不可少的部分，比如全等三角形與相似三角形中的“8”字形；垂徑定理中半徑，弦的一半以及弦心距構(gòu)成的直角三角形；射影定理中的直角三角形與斜邊上的高構(gòu)成的基本圖形等。雖然有些教材中已不作要求，但不可否認(rèn)學(xué)生對于基本圖形的熟記非常有助于學(xué)生解題時的思路啟發(fā)。有種基本圖形在幾何問題中經(jīng)常出現(xiàn)，且往往存在于幾何難題中，在這里暫且將它稱為“三等角圖”。

（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；

（2）點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點，過點P作直線PM，交x軸于點M（點M，O不重合），交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N。試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；

（3）如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點，點E在線段OA上（與點O，A不重合），點D（m，0）是x軸正半軸上的動點，且滿足[∠BAE=∠BED=∠AOD]。繼續(xù)探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數(shù)分別是1個，2個？

此題第（3）小題給出[∠BAE=∠BED=∠AOD]，如果教學(xué)中能有“三等角圖”基本圖形的落實，則學(xué)生自然會利用[?ODE]∽[?AEB]解決問題，這為學(xué)生直接提供解題的思路。

（2013·義烏）已知[y=6xx>0]圖象上一點P，[PA⊥x]軸于點[Aa，0]，點B的坐標(biāo)為（0，b）（b>0），動點M是y軸正半軸上B點上方的點，動點N在射線AP上，過點B作AB的垂線，交射線AP于點D，交直線MN于點Q，連接AQ，取AQ中點C。

（1）連接BP，求[?PAB]的面積；

（2）當(dāng)點Q在線段BD上時，若四邊形BQCN是菱形，面積為[23]，求此時P點坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點Q在射線BD上時，且[a=3]，[b=1]，若以點B，C，N，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求這個平行四邊形的周長。

第（3）小題中，已知[∠DBA=90°]，直角頂點落在y軸上，符合“三等角圖”特征。只需過D作[DE⊥y]軸于點E就構(gòu)造出“三等角圖”，從而可求得[BD=310]。而在求周長時，平時教學(xué)中，應(yīng)滲透點Q在射線BD上，經(jīng)常會分為點Q在線段BD上或在線段BD的延長線上這一基本方法。當(dāng)點Q在射線BD上時，如圖所示，這里隱含著A字形相似與直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半的基本圖形，這些基本圖形對學(xué)生在解決問題時相當(dāng)重要。當(dāng)點Q在線段BD的延長線上時，不必重起爐灶，因為在幾何中，動態(tài)問題雖然圖形形狀，位置會發(fā)生變化，但解決問題的方法不會發(fā)生改變，這也是幾何解題技巧中一種基本方法。

五、總結(jié)

基于“基本知識”，“基本方法”，“基本圖形”的解題技巧對于解決幾何難題有比較明顯的效果。學(xué)生在解題時通過聯(lián)想“基本知識”，使學(xué)生有充分的理論導(dǎo)向；通過聯(lián)想“基本方法”，使學(xué)生有切實的技能指導(dǎo)；通過聯(lián)想“基本圖形”，使學(xué)生有清晰的思路引領(lǐng)。如何使這種解題技巧在數(shù)學(xué)教學(xué)中常態(tài)化，普遍化值得進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部基礎(chǔ)教育司.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]林小波.在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實學(xué)法指導(dǎo)[J].北京：中國教育學(xué)會，2013（7）.