李元坤

【摘 要】 在數(shù)學教育中數(shù)學史能讓學生更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學，了解數(shù)學，吸取知識的原汁，它還可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、民族自豪感和愛國主義，提高毅力和學習興趣，形成辨證唯物主義世界觀。

【關(guān) 鍵 詞】 數(shù)學史；數(shù)學教育

大學時，學校已經(jīng)開設(shè)過《數(shù)學史》這門課程，在中學數(shù)學教育中，我又經(jīng)常結(jié)合教學實際，向同學們介紹數(shù)學史的相關(guān)知識。多年的實踐使我感到數(shù)學史知識的適當滲透不但沒給我的教學和學生的學習增加壓力，反而有力地促進了學生對數(shù)學本質(zhì)的掌握。

一、在大學數(shù)學教育中必須開設(shè)《數(shù)學史》

若同學們大學畢業(yè)后面臨教育教學工作，自身不僅要透徹了解所教的那一部分數(shù)學，更要從宏觀上知道數(shù)學知識的發(fā)生與發(fā)展、內(nèi)在結(jié)構(gòu)的關(guān)系。當所教的學生通過教師也能知道知識的前因后果時，他們將會對數(shù)學更感興趣，能更好地掌握相關(guān)知識。因此，教師必須具備《數(shù)學史》的知識。

若同學們畢業(yè)后面臨數(shù)學教研工作，學習《數(shù)學史》后，更能把握數(shù)學這門學科的各分支學科的進展情況及相互關(guān)系，這樣，易于把握研究方向，減少重復(fù)性、盲目性。例如：知道三大作圖問題已不可能解決后，也就不會在這方面浪費精力了。

二、通過學習《數(shù)學史》，充分認識到數(shù)學來源于實踐

在遠古時代，因為產(chǎn)品交換和分配等需要，人們已認識了自然數(shù)。自然數(shù)的形成經(jīng)歷了數(shù)覺階段、等數(shù)性的發(fā)現(xiàn)階段、屈指計數(shù)階段、數(shù)符與位置原則的發(fā)現(xiàn)階段，并由意大利數(shù)學家Peano于1901年闡述了自然數(shù)公理。

而在對自然數(shù)的運算中人們發(fā)現(xiàn)加法的逆運算減法運算在自然數(shù)范圍內(nèi)不封閉，從而引入負數(shù)，把自然數(shù)集擴充到整數(shù)集。同樣，乘法的逆運算除法運算在整數(shù)集內(nèi)不封閉，又引入分數(shù)，把整數(shù)集擴充到有理數(shù)集。后來，人們因解決單位正方形的對角線的長度、已知正方形的面積計算其邊長等問題，逐步認識并引入無理數(shù)，把有理數(shù)集擴充到實數(shù)集，Dedekind于19世紀創(chuàng)立了完全嚴格的實數(shù)理論，Cantor還認為，實數(shù)系是完備的阿基米德全序域。

1545年，Cardano遇到負數(shù)不能開方，不得不面對新數(shù)，但又始終不為數(shù)學界接受，故一直被看作“虛數(shù)”、“想象的數(shù)”。直到19世紀，在Guass、Hamilton等人的努力下，創(chuàng)立了嚴密的復(fù)數(shù)理論后，數(shù)系才從實數(shù)集擴展到復(fù)數(shù)集。

為了解決空間問題，Hamilton于1843年提出了四元數(shù)，1847年，Cayley又提出了八元數(shù)，但八元數(shù)的乘法運算既不滿足交換律，也不滿足結(jié)合律，在日常生活中難以遇到，于是數(shù)系的推廣，到八元數(shù)告終。

三、數(shù)學的美，其實質(zhì)在于思維的和諧性

從古至今，從內(nèi)到外，無數(shù)先輩們?yōu)閿?shù)學研究奉獻了畢生精力，有的甚至招來橫禍。究其原因，一方面，人們被數(shù)學在現(xiàn)實生活中的適用性所吸引；另一方面，更為數(shù)學的發(fā)展不斷追求完美性、思維的和諧性這種魅力所陶醉。從數(shù)學史中縱觀對曲線概念的研究，就是不斷追求這個概念的和諧性的過程。

Euclid在《幾何原本》中回答道“曲線是無寬的長”、“曲線是表面的邊界”，這種回答雖然直觀，但犯了邏輯循環(huán)的錯誤。

Rene Descartes又說“曲線是滿足方程F（x，y）=0的點（x，y）運動所形成的圖像”，這個定義的實質(zhì)是一自由度的流形。但存在兩方面的缺陷：一是有些方程如x2+y2=-3并不表示“尋常曲線”；二是不少曲線找不到方程與之對應(yīng)。為此，Jordan又給曲線定義為：函數(shù)關(guān)系式x=f（t）y=g（t）（a≤t≤b，f（x），g（x）是連續(xù)函數(shù)）所形成的圖像叫做曲線，該定義強調(diào)連續(xù)性。

最后，烏利松用拓撲學的觀點完美地對曲線解釋如下：

單位線段上的點經(jīng)過同胚映射f所形成的圖形叫作曲線，其中同胚映射f滿足三個條件：（1）同胚映射f是一一映射；（2）同胚映射f的象在曲線上；（3）同胚映射f的原象及象都是連續(xù)的。

至此，一個全新的、完美的、和諧的曲線定義展現(xiàn)在我們眼前。

四、數(shù)學史的教育功能

（一）開闊學生視野，激發(fā)學習興趣

事實證明，課堂授課時那些知識豐富、循循善誘的老師遠較那些授課時簡單乏味、就事論事的教師受學生歡迎。如果教師在教授數(shù)一些常見的數(shù)學概念、理論和方法時，能夠指出它們的來源、典故及歷史演變過程，將會使學生興趣盎然。比如，教師在講授“勾股定理”時，如果僅僅給出推導(dǎo)證明，學生也能夠掌握。但是，如果教師給出中國古代的證明思路，或者提及古希臘畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)這個定理的經(jīng)過，課堂氣氛就會活躍起來。

在教授數(shù)學知識的時候，教師如果能不失時機地、適當向?qū)W生滲透一些相關(guān)典故、背景或名人趣事，學生開闊了視野，知道了數(shù)學知識的取得是如此曲折動人，就會對知識點產(chǎn)生更深刻的認識。知道了知識的來龍去脈，學生的知識面會得到不同層次擴展。如果他們知道，從古至今，“勾股定理”的證法已經(jīng)超過300多種，甚至還曾經(jīng)有一位美國總統(tǒng)醉心于這個定理的證明，學生們一定會產(chǎn)生旺盛的求知欲，努力從各方面去思考證明思路。

（二）感受前人嚴謹態(tài)度，增強自我探索精神

數(shù)學是人類文明的重要組成部分，是人類智慧的結(jié)晶，數(shù)學的歷史像一條大河幾乎貫穿了人類的整個文明史，它時而波濤洶涌，時而風平浪靜。數(shù)學今天的繁榮昌盛是千百年來無數(shù)數(shù)學先驅(qū)前仆后繼，辛勤耕耘的結(jié)果。數(shù)學先賢們的嚴謹態(tài)度值得我們學習，他們的獻身精神值得我們景仰，他們的經(jīng)驗教訓值得我們?nèi)ソ梃b，許多數(shù)學家孜孜不倦、鍥而不舍地追求真理的精神值得我們?nèi)ジ袆印?/p>

以繼牛頓之后最偉大的數(shù)學家之一、18世紀數(shù)學界的靈魂人物歐拉（L. Euler，1707—1783）為例，他在年近花甲時雙目失明，不久，除了其本人和一些手稿幸免于難外，他的住所和財產(chǎn)全都在一場大火后蕩然無存，正所謂禍不單行。盡管遭受一系列的不幸和沉重打擊，歐拉仍然沒有倒下，他的科學活動絲毫沒有減少。歐拉的記憶力和心算能力是罕見的。心算不僅限于簡單的運算，高等數(shù)學同樣可以心算。歐拉在完全失明前，還能朦朧地看到一些東西，他抓緊這最后的時刻，在一塊大黑板上寫下他發(fā)現(xiàn)的公式，然后口述其內(nèi)容，由他的學生筆錄。

在數(shù)學史上，這樣的數(shù)學先賢不勝枚舉，他們崇高的理想、頑強的意志、為真理獻身的精神及高尚的道德情操，無不是后人應(yīng)該繼承的寶貴遺產(chǎn)。

（三）了解祖國傳統(tǒng)數(shù)學，培養(yǎng)學生愛國情懷

就數(shù)學而言，中華民族有著光輝燦爛的過去，在元代以前，中國的許多成果處于世界領(lǐng)先位置?？梢哉f，數(shù)學是中國古代最發(fā)達的基礎(chǔ)科學之一。僅以現(xiàn)在的初中數(shù)學知識為例，十進位值制、線性方程組的解法，正負數(shù)運算、開平方開立方法則，圓周率的計算都是古代取得的輝煌成就，有些成就領(lǐng)先世界千年以上。

數(shù)學是璀璨奪目的中國古代文化的重要組成部分，古代偉大的數(shù)學貢獻不僅是當今進行愛國主義教育的絕佳材料，古代數(shù)學家實事求是，敢于堅持真理、勇于攀登高峰的高尚品德，也可以激勵后人振興中華，為實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的而奮斗的自強精神。

總體來說，在數(shù)學教學中滲透數(shù)學史知識的終極目的就是提高學生學習數(shù)學的積極性，使學生加深對數(shù)學本質(zhì)的理解，增長知識面，擴大視野。作為挑起21世紀數(shù)學教育重擔的數(shù)學教師們應(yīng)深切理解這一點，盡早學習、研究一些數(shù)學史，提高自身數(shù)學史素養(yǎng)，將數(shù)學史與教育結(jié)合起來。讓我們的學生能真正了解數(shù)學、學好數(shù)學、掌握數(shù)學。

【參考文獻】

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[2] 梁宗巨. 世界數(shù)學通史[M]. 沈陽：遼寧教育出版社，2005.