福建 黃清波

(作者單位：福建省南安市國光第二中學(xué))

復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題

復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題是高考和模擬考試中的一個熱點(diǎn)問題，備受命題人青睞.復(fù)合函數(shù)涉及內(nèi)外兩層函數(shù)，這本來就是學(xué)生的一個難點(diǎn),問題的解決往往涵蓋函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論和化歸轉(zhuǎn)化四種重要數(shù)學(xué)思想,所以復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題具有關(guān)系復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、難度大等特點(diǎn),對考生的思維能力、運(yùn)算能力和耐心細(xì)致、處變不驚的心理素質(zhì)都有較高的要求，可以說是小題中的大題.這類問題大多作為選擇題或填空題的最后一題把關(guān)壓軸. 本文以福建省廈門市2016屆普通中學(xué)高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查文科卷第12題為例對復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的解法進(jìn)行剖析,希望對大家有所幫助.

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A.(-1,0)∪(0,+∞) B.(-∞,0)∪(0,1)

C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

【命題意圖】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法將條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵.利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng)，難度較大，學(xué)生得分率低.

一、解法探究

1.直譯法

【解法1】由選項(xiàng)知k≠0.當(dāng)k>0時，

所以f(f(x))=0無解.

所以f(f(x))=0無解.

若x>1，lnx>0，f(f(x))=f(lnx)=ln(lnx)，

則f(f(x))=0，得x=e.符合題意.

當(dāng)k<0時，

若x>1，lnx>0，f(f(x))=f(lnx)=ln(lnx)，

則f(f(x))=0，得x=e.

所以f(f(x))=0無解.

又因?yàn)殛P(guān)于x的方程f(f(x))=0有且只有一個實(shí)數(shù)解，則x≤0時，f(f(x))=0無解.則-1

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞)，故選 A.

2.換元法

【解法2】由選項(xiàng)知k≠0.

設(shè)t=f(x)，則由f(f(x))=0，得f(t)=0.

若關(guān)于x的方程f(f(x))=0有且只有一個實(shí)數(shù)解，則其等價為f(x)=1有唯一解.

又當(dāng)x>0時，f(x)=lnx=1，得x=e.

此時只要滿足-k<1，即-1

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞)，故選A.

3.圖象法

【解法3】由選項(xiàng)知k≠0.

當(dāng)k>0時，分別作出y=f(t)，t=f(x)的圖象.

如圖1，f(t)=0，得唯一解t=1.如圖2，f(x)=1，得唯一解x=e.即k>0符合題意.

圖1

圖2

當(dāng)k<0時，分別作出y=f(t)，t=f(x)的圖象.

如圖3，f(t)=0，得唯一解t=1.如圖4，若f(x)=1有唯一解，只需-k<1，即-1

圖3

圖4

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-1,0)∪(0,+∞)，故選A.

【點(diǎn)評】解法1(直譯法)采用直譯的方式確定函數(shù)解析式，繼而轉(zhuǎn)化為解方程問題，思路自然，貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū).但分類復(fù)雜，計算煩瑣，復(fù)雜題目不易求出函數(shù)解析式.解法2(換元法)將f(x)看成一個整體t，利用t的“橋梁”作用解方程f(t)=0和方程f(x)=1.通過分解，使問題載體保持簡單，步步為營直到順利解決，體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的威力，是通性通法，也是命題意圖.解法3(圖象法)將數(shù)形結(jié)合與推理論證結(jié)合起來，問題一目了然，結(jié)果不言自明，達(dá)到“秒殺”的效果. 當(dāng)然，高考是限時的選拔性考試，考生必須有爭分奪秒的速度意識.所以我們提倡“小題巧做”.本題也可考慮采用特殊值法，當(dāng)k=1時，符合題意，直接就排除B,C,D.

【解析】(換元法)設(shè)t=h(x)，則由f(h(x))=0，得f(t)=0.即t2-3t+2=0，解得t1=1或t2=2.

(1)當(dāng)t=1時，h(x)=1.

(2)當(dāng)t=2時，h(x)=2.

【解析】(圖象法)分別作出y=f(t)，t=h(x)的圖象.

圖5

圖6

如圖，若f(h(x))有5個零點(diǎn)，對于圖6則必須存在t1=1且t2>0(t1≠t2).即方程t2+bt+2=0必須有兩個不等實(shí)根，且一根等于1，另一根大于0.由韋達(dá)定理，t1·t2=2，得t2=2.

二、高考鏈接

【解法1】(換元法)令t=f(a)，則由f(f(a))≤2轉(zhuǎn)化為f(t)≤2.

當(dāng)t≥0時，f(t)=-t2≤2，解得t≥0；

當(dāng)t<0時，f(t)=t2+t≤2，解得-2≤t<0.

故不等式f(t)≤2的解集為[-2,+∞).

下面解不等式f(a)≥-2.

當(dāng)a<0時，f(a)=a2+a≥-2，解得a<0.

【解法2】(圖象法)分別作出y=f(t)，t=f(a)的圖象.

圖7

圖8

如圖7，f(t)≤2，得t≥-2.

【變式】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)=x(x-1).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式，并畫出函數(shù)f(x)的圖象；

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=f(x)，求函數(shù)g(x)的極值點(diǎn)；

(Ⅲ)設(shè)函數(shù)h(x)=f(f(x))，求函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個數(shù).

【命題意圖】此題主要考查二次函數(shù)、分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、極值點(diǎn)、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等.其中第(Ⅲ)問h(x)=f(f(x))的解析式不好求，且次數(shù)將達(dá)到4次，較難判斷零點(diǎn)，會導(dǎo)致不少學(xué)生放棄.須對函數(shù)h(x)的重新構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、分析.對學(xué)生要求較高.

【解析】(Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

令x<0，則-x>0.

有f(x)=-f(-x)=-[(-x)(-x-1)]=-x2-x.

作出函數(shù)f(x)的圖象的圖象，如圖9.

圖9

(Ⅱ)由(Ⅰ)得函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)的圖象，如圖10.

圖10

由圖可知，x∈(-∞,-1)，g′(x)<0；x∈(-1,0)，g′(x)>0；x∈(0,1)，g′(x)<0；x∈(1,+∞)，g′(x)>0；

由極值點(diǎn)的定義可知，函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)為x=-1和x=1，極大值點(diǎn)為x=0.

(Ⅲ)函數(shù)h(x)的零點(diǎn)為f(f(x))=0的根.

設(shè)t=f(x)，則f(t)=0.

分別作出y=f(t)、t=f(x)的圖象，如圖11，12.

圖11

圖12

由圖11易得f(t)=0有三個根，分別為t1=-1，t2=0，t3=1.

對應(yīng)圖12，當(dāng)t1=-1時，t=f(x)=-1有一解，

即對應(yīng)y=h(x)有1個零點(diǎn)，

當(dāng)t1=0時，t=f(x)=0有三解，

即對應(yīng)y=h(x)有3個零點(diǎn)，

當(dāng)t1=1時，t=f(x)=1有一解，

即對應(yīng)y=h(x)有1個零點(diǎn).

綜上，函數(shù)y=h(x)有5個零點(diǎn).

(作者單位：福建省南安市國光第二中學(xué))