山西 李有貴

運(yùn)用“點(diǎn)圓”法求圓的方程

在平面解析幾何中，求解有關(guān)方程的問(wèn)題時(shí)，往往要建立方程組，借助于解方程的方法進(jìn)行求解，但由于未知數(shù)較多，從而容易造成“入手容易”“答對(duì)困難”的現(xiàn)象.其主要原因是未知數(shù)多，運(yùn)算量大，這樣不僅影響了解題速度，也極容易出錯(cuò).因而，盡量減少運(yùn)算量是快速、準(zhǔn)確解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.為此，本文將介紹運(yùn)用“點(diǎn)圓”的思想巧求方程的方法，供同學(xué)們借鑒與參考，從而啟迪思維，提高解題能力.

【例1】有一圓與直線4x-3y+6=0相切于點(diǎn)A(3,6)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(5,2)，求此圓的方程.

【解】將點(diǎn)A(3,6)表示成“點(diǎn)圓”形式：(x-3)2+(y-6)2=0，設(shè)所求圓的方程為(x-3)2+(y-6)2+λ(4x-3y+6)=0，將點(diǎn)B(5,2)代入上述圓方程得，λ=-1.

所以滿足條件的圓方程為(x-3)2+(y-6)2-(4x-3y+6)=0

即x2+y2-10x-9y+39=0為所求的圓方程.

【評(píng)注】本例大家需要做好兩個(gè)準(zhǔn)備：

其一：所謂“點(diǎn)圓”，就是將平面上某一點(diǎn)看成是以此點(diǎn)為圓心，半徑為0的圓，即約定點(diǎn)(a,b)的方程為(x-a)2+(y-b)2=0；

其二：過(guò)直線Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2-r2=0的公共點(diǎn)的圓系方程為

(x-a)2+(y-b)2-r2+λ(Ax+By+C)=0，

過(guò)兩圓x2+y2+D1x+E1y+F1=0與x2+y2+D2x+E2y+F2=0的公共點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.

【例2】求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,-1)，且與圓C:x2+y2+2x-6y+5=0相切于點(diǎn)N(1,2)的圓方程.

【解】將點(diǎn)N(1,2)表示成“點(diǎn)圓”形式，

即(x-1)2+(y-2)2=0，

設(shè)所求的圓方程為

(x-1)2+(y-2)2+λ(x2+y2+2x-6y+5)=0，

將點(diǎn)M(4,-1)代入上式得

18+36λ=0,

所以滿足條件的圓方程為

即(x-3)2+(y-1)2=5為所求的圓方程.

【評(píng)注】切點(diǎn)看成點(diǎn)圓,這時(shí)所求圓就是過(guò)已知圓與點(diǎn)圓的公共點(diǎn)的圓,因而可以過(guò)兩圓公共點(diǎn)的圓系方程求解.設(shè)出圓系方程,代入點(diǎn)M的坐標(biāo)就可求出圓的方程.常規(guī)解法，求出線段MN的垂直平分線l1的方程，以及直線CN的方程，兩直線l1,CN的交點(diǎn)即為圓心A，再求出AN的長(zhǎng)度，得到圓的方程.

【例3】求與直線l1:4x-3y+25=0相切于點(diǎn)A(-4,3)，且半徑為5的圓方程.

【解】將切點(diǎn)(-4,3)表示成“點(diǎn)圓”形式，

即(x+4)2+(y-3)2=0，

設(shè)所求的圓方程為

(x+4)2+(y-3)2+λ(4x-3y+25)=0，

因?yàn)榇藞A半徑為5，

即λ=±2

故所求的圓方程為(x+8)2+(y-6)2=25或x2+y2=25.

【評(píng)注】切點(diǎn)看成點(diǎn)圓,這時(shí)所求圓就是過(guò)直線與點(diǎn)圓的公共點(diǎn)的圓,因而可以用過(guò)直線與圓公共點(diǎn)的圓系方程求解.設(shè)出圓系方程,將方程變成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，利用半徑為5，求出λ的值，因而得到圓的方程.常規(guī)解法，求出以A為圓心5為半徑的圓的方程與過(guò)A(-4,3)垂直于直線l1的直線l2的方程的交點(diǎn)，得到兩個(gè)圓心坐標(biāo)，寫出圓的方程.

【例4】求圓心在直線l1:2x+y=0，且與直線l2:x+y=1相切于點(diǎn)A(2,-1)的圓的方程.

【解】將點(diǎn)(2,-1)表示成“點(diǎn)圓”形式，

即(x-2)2+(y+1)2=0.

設(shè)所求的圓方程為(x-2)2+(y+1)2+λ(x+y-1)=0，

因圓心在直線2x+y=0上，

即λ=2，

所以所求圓的方程為

(x-1)2+(y+2)2=4.

【評(píng)注】切點(diǎn)看成點(diǎn)圓,這時(shí)所求圓就是過(guò)直線與點(diǎn)圓的公共點(diǎn)的圓,因而可以用過(guò)直線與圓公共點(diǎn)的圓系方程求解.設(shè)出圓系方程,找到圓心坐標(biāo)，代入圓心所在直線方程，求出λ的值，因而得到圓的方程.常規(guī)解法，先求出點(diǎn)A(2,-1)與直線l2垂直的直線l3的方程，再求出兩直線l1,l3的交點(diǎn)，即為圓心M.最后求出MA的長(zhǎng)度，得到圓的方程.

山西省臨縣第一中學(xué))