江蘇 王安寓

(作者單位：江蘇省南京市六合區(qū)實驗高級中學(xué))

慧眼識別霧中花 基礎(chǔ)聯(lián)想還本質(zhì)

2016—2107學(xué)年南京高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了兩道稍有爭議的題目，很多老師認(rèn)為它們超綱了，不適合學(xué)生們做.筆者認(rèn)為這恰好是符合高考精神的兩道好題——多考“想”的少考“算”的，思維才是一個考生的根本.我們應(yīng)擦亮慧眼，聯(lián)想基礎(chǔ)知識，展現(xiàn)思維能力，還好題以數(shù)學(xué)本質(zhì).

筆者初次接觸這道題目，初步認(rèn)為是考查旋轉(zhuǎn)矩陣的，但仔細(xì)思考，文科考生是不學(xué)矩陣的，無從計算，故不可能只是用旋轉(zhuǎn)矩陣來求解.那么，應(yīng)該從哪個角度突破呢？筆者認(rèn)為可以從三個角度解決該問題.

視角一：解析幾何中的對稱問題

對稱問題主要就是兩點：對稱兩點的中點在對稱軸上、對稱的兩點連線與對稱軸垂直.具體到題目1，就是：在對勾曲線上的對稱的兩點的中點在對稱軸上、對稱的兩點連線與對稱軸垂直.從這個角度入手，必能解決問題.

聯(lián)想基礎(chǔ)知識：雙曲線的對稱軸必過雙曲線的對稱中心.對勾函數(shù)是雙曲線，其對稱中心為原點.

點評：本題極易錯解為過極值點(1,2)和(-1,-2)的直線為對勾函數(shù)的對稱軸.極值點是函數(shù)從一種單調(diào)性變?yōu)榱硪环N單調(diào)性時的界點，不一定是雙曲線的頂點.

方法一運用的知識點是對稱問題的常規(guī)考點，只是將對稱的兩點在對勾函數(shù)圖象上提前使用，將對稱的知識點后置.這種運算順序是合理的.

視角二：巧用韋達(dá)定理

對勾函數(shù)圖象上的所有點關(guān)于對稱軸對稱，逆向思考，與對稱軸垂直的直線，如果與對勾函數(shù)圖象相交，則兩個交點必關(guān)于對稱軸對稱.

聯(lián)想基礎(chǔ)知識：雙曲線的對稱軸必過雙曲線的對稱中心.對勾函數(shù)是雙曲線，其對稱中心為原點.有如下解法：

【點評】這種解法有很熟悉的感覺.常規(guī)處理解析幾何的手段和過程就是這樣的.方法二較方法一的優(yōu)點就是求對稱的兩點的中點時書寫簡單，整個過程一氣呵成，但所用知識點仍是基礎(chǔ)內(nèi)容.視角二仍是解析幾何的視角，只是更進(jìn)一步，想的更多一點，因此書寫的少一點.

視角三：雙曲線的實軸平分兩條漸近線

聯(lián)想雙曲線對稱軸的性質(zhì)：雙曲線的實軸過雙曲線的兩個頂點，且平分兩條漸近線.這恰是破題的關(guān)鍵點.

聯(lián)想基礎(chǔ)知識：雙曲線的對稱軸必過雙曲線的對稱中心.對勾函數(shù)是雙曲線，其對稱中心為原點.雙曲線的實軸除了過雙曲線的頂點外，它還平分兩條漸近線的夾角.對勾函數(shù)的兩條漸近線分別是：y=x與y軸.

【點評】從平分兩條漸近線的夾角入手破題是最簡單的求解方法.對勾函數(shù)有兩條漸近線，漸近線夾角的平分線即為對稱軸.多么基礎(chǔ)的知識！正所謂：慧眼識別霧中花，基礎(chǔ)聯(lián)想還本質(zhì).這道題目一點也不超綱，考查的都是基礎(chǔ)知識.方法一和方法二是從對稱的計算入手求解；方法三是從雙曲線的對稱軸的特點入手求解.特別是方法三，只是運用了角平分線、倍角公式，就解決了問題，更顯本題的基礎(chǔ)性，重在考查考生的思維能力，多想才能少算.

另外，該題也給我們提供了求類似函數(shù)的對稱軸的方法，運用方法三可以得到以下結(jié)論：

另外，給出結(jié)論1的一個簡單應(yīng)用：

運用了雙曲線上任意兩點之間，頂點距離最小.

方法一：∵x-y-1<0，

∴x

∵4x-y-3≥0，

∴4x-y-1≥2.

【點評】這種方法涉及的都是基礎(chǔ)知識(基本的不等式運算和兩個正數(shù)的均值公式)，一點也不超綱.看到不等式組的條件，就一定用線性規(guī)劃嗎？思維不能僵化.要用慧眼識別霧中花，基礎(chǔ)知識搞定它.

線性規(guī)劃的方法真的不行嗎？答案是否定的.線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)是直線型的居多，但也有非直線型的目標(biāo)函數(shù).

圖1

【點評】運用線性規(guī)劃知識求解該題目，難點是對“目標(biāo)函數(shù)”的解讀.“目標(biāo)函數(shù)”是一次分式型函數(shù)(雙曲線)，如何運動變化是理解或求解的難點.抓住一次分式型函數(shù)(雙曲線)的漸近線的運動變化，觀察一次分式型函數(shù)(雙曲線)與可行域的關(guān)系，找到可能的分界點(或分界位置)，通過導(dǎo)數(shù)、方程組求解.

當(dāng)然，在考場上，有限的時間內(nèi)，作精細(xì)的圖形是不可能的，時間也不允許.我們可以通過換元，轉(zhuǎn)移戰(zhàn)場——將“目標(biāo)函數(shù)”簡化，而已知的約束條件復(fù)雜化，得到方法三.

當(dāng)2-u=0時，由2v(2-u)≥u得0≥u，矛盾；

圖2

【點評】利用換元將目標(biāo)函數(shù)化為常規(guī)的直線，但約束條件中出現(xiàn)了非直線，并且要分類討論.這也是必須的，畢竟是14題，起到選拔作用.我所帶的班級30人中只有1人做對，真正起到了把關(guān)的作用.換元后的圖形相對好做一點，至少能用線性規(guī)劃知識求解.

另外，在高考試題中，這樣考查線性規(guī)劃的題目也是有的.

當(dāng)直線y=zx與曲線y=ex相切時,z最小.

設(shè)直線y=zx與曲線y=ex相切于點B(x0,y0),

∴z的最小值為e.

(作者單位：江蘇省南京市六合區(qū)實驗高級中學(xué))