山東 楊宗柱

(作者單位：山東省泰安英雄山中學(xué))

二項(xiàng)式中的系數(shù)問題

一、求展開式中項(xiàng)的系數(shù)

【例1】(2016·北京)在(1-2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為 .(用數(shù)字作答)

二、求展開式中與系數(shù)相關(guān)的參數(shù)

【點(diǎn)評(píng)】已知二項(xiàng)式展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)，求相關(guān)參數(shù)的值，是二項(xiàng)式定理的逆向應(yīng)用.解這類問題主要是利用通項(xiàng)公式，建立關(guān)于參數(shù)的方程，由待定系數(shù)法求解.

三、求兩個(gè)二項(xiàng)式積的展開式中項(xiàng)的系數(shù)

【例3】(2014·浙江理·5)在(1+x)6(1+y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n)，則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )

A.45 B.60 C.120 D.210

【點(diǎn)評(píng)】求兩個(gè)二項(xiàng)式積的展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)，可分別展開兩個(gè)二項(xiàng)式，由多項(xiàng)式乘法求得所求項(xiàng)的系數(shù).

【變式3】 (1+2x)3(1-x)4展開式中x2的系數(shù)為 .

提示：因?yàn)?1+2x)3(1-x)4展開式的通項(xiàng)為

又由題意知r+s=2，

四、賦值法求展開式各項(xiàng)系數(shù)的和

【點(diǎn)評(píng)】求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1.

( )

A.-60 B.60

C.-30 D.30

五、求系數(shù)最大的“項(xiàng)”

(Ⅰ)若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)；

(Ⅱ)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

當(dāng)n=14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8.

所以n=12或n=-13(舍去).

設(shè)Tk+1項(xiàng)的系數(shù)最大，

【點(diǎn)評(píng)】二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)一定是展開式中的中間項(xiàng)(或中間兩項(xiàng))；而系數(shù)最大的項(xiàng)通過解不等式組的方法解決，且一定要考慮到系數(shù)前的符號(hào).

六、綜合應(yīng)用

【點(diǎn)評(píng)】本題與基本不等式的應(yīng)用結(jié)合，考查了二項(xiàng)式展開式的項(xiàng)的系數(shù)的逆向應(yīng)用，體現(xiàn)了知識(shí)間的交匯.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若(xcosθ+1)5的展開式中x2的系數(shù)與(x+a)4的展開式中x3的系數(shù)相等，試求cos2θ的值.

故cos2θ=2cos2θ-1=0.

(作者單位：山東省泰安英雄山中學(xué))