卓 斌

高中生“數(shù)學(xué)化”能力的內(nèi)涵與培養(yǎng)建議

卓 斌

高中生“數(shù)學(xué)化”能力是指高中學(xué)段的學(xué)生能夠運(yùn)用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)去解決生活中碰到的較簡單的實(shí)際問題和邏輯地建構(gòu)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)的能力。具體地，可劃分為橫向數(shù)學(xué)化、縱向數(shù)學(xué)化能力兩個(gè)層次。主要培養(yǎng)建議有：創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，激發(fā)學(xué)生橫向數(shù)學(xué)化的熱情；注重?cái)?shù)學(xué)閱讀能力培養(yǎng)，夯實(shí)學(xué)生橫向數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)；加強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象思維的訓(xùn)練，突破學(xué)生橫向數(shù)學(xué)化的難點(diǎn)；完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的縱向數(shù)學(xué)化；引領(lǐng)學(xué)生繪制知識(shí)樹，實(shí)現(xiàn)章節(jié)知識(shí)體系的縱向數(shù)學(xué)化；倡導(dǎo)數(shù)學(xué)互動(dòng)與交流，提升學(xué)生縱向數(shù)學(xué)化層次。

數(shù)學(xué)化能力；橫向數(shù)學(xué)化；縱向數(shù)學(xué)化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》把“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”作為其基本理念之一，并指出：“開展數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)活動(dòng)符合社會(huì)需要，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，有利于擴(kuò)展學(xué)生的視野”，因此“應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力”［1］。無論是發(fā)展學(xué)生的“數(shù)學(xué)應(yīng)用”意識(shí)，還是提升學(xué)生的“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)，其本質(zhì)都是培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，即培養(yǎng)高中生的“數(shù)學(xué)化”能力。那么，高中生的“數(shù)學(xué)化”能力的內(nèi)涵有哪些？又該怎樣培養(yǎng)高中生的“數(shù)學(xué)化”能力呢？本文對這兩個(gè)問題進(jìn)行初步探討，期待得到大家的批評指正。

一、對“數(shù)學(xué)化”能力的理解

1.“數(shù)學(xué)化”的思想溯源。

“數(shù)學(xué)化”思想是荷蘭數(shù)學(xué)教育家漢斯·弗賴登塔爾在他的巨著《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中首次提出的。什么是“數(shù)學(xué)化”呢？弗賴登塔爾認(rèn)為，人們在觀察，認(rèn)識(shí)和改造客觀世界的過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程，就叫作數(shù)學(xué)化。簡單地說，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過程就是數(shù)學(xué)化。他指出：“毫無疑問，學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化；自然先在最低層次，對非數(shù)學(xué)事物進(jìn)行數(shù)學(xué)化以保證數(shù)學(xué)的應(yīng)用，接著還應(yīng)進(jìn)到下一層次，至少能對數(shù)學(xué)事物進(jìn)行局部組織?！保?］按照弗賴登塔爾教授的觀點(diǎn)，“數(shù)學(xué)化”應(yīng)該包含兩個(gè)層次：（1）對非數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)化，以保證數(shù)學(xué)的應(yīng)用性；（2）對數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行局部的組織。

特萊弗斯和哥弗里等人經(jīng)過進(jìn)一步研究認(rèn)為，可在“數(shù)學(xué)化”過程中區(qū)分出水平和垂直兩種成分。其中水平成分是將問題運(yùn)用數(shù)學(xué)的方式來陳述，即由現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，是把情景問題表述為數(shù)學(xué)問題的過程。垂直的數(shù)學(xué)化是運(yùn)用數(shù)學(xué)工具著手處理，即在數(shù)學(xué)范疇內(nèi)對已經(jīng)符號化的問題作進(jìn)一步抽象化處理。這是對弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)化兩個(gè)層次學(xué)說的新發(fā)展。

斯托利亞爾提出數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)三階段模式［3］：（1）“經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化”，即借助于觀察、試驗(yàn)、歸納、類比、概括積累事實(shí)材料；（2）“數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化”，由積累的材料中抽象出原始概念和公理體系，并在這些概念和體系的基礎(chǔ)上演繹出理論；（3）“數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用”即應(yīng)用理論。其中數(shù)學(xué)活動(dòng)的第一和第三兩個(gè)階段的重要性并不低于第二階段。這與弗賴登塔爾的“數(shù)學(xué)化”思想不謀而合，有異曲同工之妙。

2.“數(shù)學(xué)化”的概念界定。

基于上述研究成果，我們認(rèn)為高中生的“數(shù)學(xué)化”能力是指高中學(xué)段的學(xué)生能夠運(yùn)用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)去解決生活中碰到的較簡單的實(shí)際問題和邏輯地建構(gòu)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)的能力。高中生“數(shù)學(xué)化”能力包括兩個(gè)方面，一方面指橫向數(shù)學(xué)化能力，即高中學(xué)生具有數(shù)學(xué)地解決生活中碰到的較簡單的實(shí)際問題的能力；另一方面指縱向數(shù)學(xué)化能力，即能夠邏輯地組織所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，使之結(jié)構(gòu)化、自動(dòng)化，逐步完善具有較強(qiáng)遷移力的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的能力。一般地，高中生的數(shù)學(xué)化能力可用下面框圖表示：

圖1

二、高中生“數(shù)學(xué)化”能力的培養(yǎng)建議

1.創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，激發(fā)學(xué)生橫向數(shù)學(xué)化的熱情。

心理學(xué)研究表明：“思維來自于疑問，意向產(chǎn)生于恰當(dāng)?shù)膯栴}情境”。教師通過精心設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}背景，充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，喚醒學(xué)生強(qiáng)烈的問題意識(shí)，從而使其發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并積極地解決問題。

【案例1】參觀畫展時(shí)，為了保護(hù)壁畫，通常要在壁畫前方用垂直于地面的透明玻璃墻與觀眾隔開，應(yīng)該站在何處欣賞壁畫效果最好呢？與參觀者的身高有關(guān)嗎？

圖2

如果以觀察壁畫的高度為自變量，以人的身高為參數(shù)，并賦予具體數(shù)據(jù)，可以提出如下數(shù)學(xué)問題：圖2是小明觀看壁畫的縱截面示意圖，已知壁畫高度AB是2m，壁畫底端與地面的距離BO是1m，玻璃墻與壁畫之間的距離OC是1m．若小明身高為 am（0＜a＜2），他在壁畫正前方多遠(yuǎn)處時(shí)，觀看這幅畫上下兩端所成的視角最大呢？

在教學(xué)實(shí)踐中，我們主要通過生活問題、相關(guān)學(xué)科問題以及課題學(xué)習(xí)等途徑創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生體驗(yàn)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決身邊生活問題的樂趣，感受數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的魅力，從而產(chǎn)生“數(shù)學(xué)有用，數(shù)學(xué)能用”的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)橫向數(shù)學(xué)化的持續(xù)熱情。

2.注重?cái)?shù)學(xué)閱讀能力培養(yǎng)，夯實(shí)學(xué)生橫向數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)。

斯托利亞爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)?！痹诟呖贾?，數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率不理想的一個(gè)重要原因就是題目的文字表述偏長，而學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力較差，不能準(zhǔn)確地、完整地弄清題意，不能靈活地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文字語言、符號語言、圖表語言之間的轉(zhuǎn)換，難以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這種現(xiàn)象說明培養(yǎng)數(shù)學(xué)閱讀能力是提高學(xué)生橫向數(shù)學(xué)化能力的重要基礎(chǔ)。

為此，我們可以采用以下措施來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力。

（1）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的良好習(xí)慣。首先，教師讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)閱讀的重要性，讓學(xué)生感到通過閱讀能成功地學(xué)會(huì)一些東西，以此提高學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的自覺性。譬如，高中新教材中增加了很多閱讀材料，教師應(yīng)合理有效地利用，既可以拓展學(xué)生的知識(shí)面，又能夠滲透數(shù)學(xué)文化。其次，指導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)閱讀時(shí)，嘗試去欣賞和感受數(shù)學(xué)語言中蘊(yùn)涵的簡單美、對稱美、和諧美，或者發(fā)現(xiàn)并提出自己的問題，或者嘗試解決所給出的問題，獲得一種閱讀成功的愉悅感。

（2）注重?cái)?shù)學(xué)教科書的閱讀。數(shù)學(xué)教科書是數(shù)學(xué)教材編寫專家在充分考慮學(xué)生生理心理特征、教育教學(xué)原理、數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)等諸多因素的基礎(chǔ)上精心編寫而成，具有極高的閱讀價(jià)值。但是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍存在忽視教科書的現(xiàn)象，教師往往在講授內(nèi)容之后才讓學(xué)生翻開課本，做練習(xí)，布置課后作業(yè)，僅把教科書當(dāng)成習(xí)題集。其實(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中明確地提出，教師必須“指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀課文”，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的最重要抓手。

（3）注重多種數(shù)學(xué)語言互譯的訓(xùn)練。數(shù)學(xué)語言包括文字語言、符號語言和圖表語言三種形式，靈活地實(shí)現(xiàn)三者之間的轉(zhuǎn)換，是數(shù)學(xué)閱讀有別于其他閱讀的最顯著特征。高中新教材尤其注重這三種數(shù)學(xué)語言之間的切換，例如立體幾何中的每一個(gè)公理、定理和性質(zhì)幾乎均以三種語言的形式出現(xiàn)。此外，還要重視培養(yǎng)學(xué)生“說題”的習(xí)慣。所謂“說題”，就是讓學(xué)生通過閱讀問題所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)材料，然后分別說出問題的已知條件有哪些？所求的結(jié)論是什么？涉及哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？擬采用的數(shù)學(xué)方法和解題思路是什么？說題過程是學(xué)生統(tǒng)攬全題，找準(zhǔn)問題的要素，剖析關(guān)鍵的詞句，探索解題思路，預(yù)測解題步驟的過程。同時(shí)，也是學(xué)生在閱讀的基礎(chǔ)上，形成個(gè)人見解的思維過程。我們的教學(xué)實(shí)踐表明，訓(xùn)練學(xué)生說題，是一條培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)譯能力的有效途徑。

3.加強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象思維的訓(xùn)練，突破學(xué)生橫向數(shù)學(xué)化的難點(diǎn)。

數(shù)學(xué)抽象是指從研究對象中找出事物的數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄事物的其他屬性的過程。數(shù)學(xué)概念大都是一系列實(shí)際問題的數(shù)學(xué)抽象物，數(shù)學(xué)原理也都是一系列實(shí)際結(jié)論抽象概括的結(jié)果。在教學(xué)過程中，我們應(yīng)該嘗試挖掘蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)材料中的抽象過程，增加學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的實(shí)際體驗(yàn)，幫助學(xué)生突破橫向數(shù)學(xué)化的難點(diǎn)。

【案例2】“哥尼斯堡七橋問題”。哥尼斯堡城位于普雷格爾河的兩岸，河中有兩個(gè)小島，共有七座橋連接小島和兩岸（如圖3），城中居民每到閑暇的日子就喜歡漫游全城，于是有人為了旅游節(jié)省時(shí)間，就提出如下方案：能否設(shè)計(jì)一條環(huán)游路線方案，從某地出發(fā)經(jīng)過每座橋一次且只經(jīng)過一次再返回到原地的路線？

圖3

著名的數(shù)學(xué)家歐拉用四個(gè)點(diǎn)表示河岸和小島，用七條線段表示七座橋，將其連接（如圖4），把問題的本質(zhì)表述為：是否存在從某點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過每條線段一次且只經(jīng)過一次又回到原點(diǎn)的回路？

圖4

加強(qiáng)高中生抽象思維的培養(yǎng)，一是利用多種情境，充分展示數(shù)學(xué)抽象概括的思維過程；二是利用題組教學(xué)和變式教學(xué)，對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象概括能力的強(qiáng)化訓(xùn)練。

4.完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的縱向數(shù)學(xué)化。

南京師范大學(xué)的喻平教授把由概念域、概念系、命題域、命題系形成的結(jié)構(gòu)，稱之為“CPFS”結(jié)構(gòu)，并指出：學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)存在個(gè)別差異，優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)是完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的必要條件，能促進(jìn)問題的成功解決。［4］我們認(rèn)為，完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)，是培養(yǎng)其局部數(shù)學(xué)知識(shí)縱向數(shù)學(xué)化能力的一條重要途徑。

【案例3】學(xué)完“等差數(shù)列”以后，我們提出問題：寫出一個(gè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件。

通過思考這一個(gè)開放性問題，得出以下結(jié)論：（1）an+1-an=d（d為常數(shù)）；（2）2an+1=an+an+2；（3）an=an+b（a，b為常數(shù)）；（4）Sn=an2+bn（a，b為常數(shù)）。從而促使等差數(shù)列概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在學(xué)生頭腦中儲(chǔ)存下來，形成豐滿的概念域和命題域。

【案例4】學(xué)完“空間直線和平面”這一單元后，學(xué)生普遍感到其中的公理、定理、性質(zhì)特別多，很瑣碎，易混淆。于是，我們就引導(dǎo)學(xué)生對這一單元知識(shí)體系進(jìn)行縱向數(shù)學(xué)化，通過繪制如圖5所示的結(jié)構(gòu)圖建構(gòu)線線、線面和面面之間轉(zhuǎn)化關(guān)系，促使學(xué)生形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

圖5

實(shí)踐表明，學(xué)優(yōu)生和學(xué)困生在數(shù)學(xué)知識(shí)的表征上具有很明顯的差異。學(xué)優(yōu)生頭腦中的知識(shí)是按層次排列的，有很清晰的條理性和邏輯性；學(xué)困生的則是水平方式排列的，知識(shí)顯得比較零散和孤立。因此，教師應(yīng)幫助學(xué)生對所學(xué)知識(shí)進(jìn)行縱向數(shù)學(xué)化，形成一個(gè)有層次、有條理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

5.引領(lǐng)學(xué)生繪制知識(shí)樹，實(shí)現(xiàn)章節(jié)知識(shí)體系的縱向數(shù)學(xué)化。

波利亞認(rèn)為：“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉庫是一個(gè)解題者的重要資本?！痹谡鹿?jié)復(fù)習(xí)時(shí)，我們通過引導(dǎo)學(xué)生繪制“知識(shí)樹”，培養(yǎng)其縱向數(shù)學(xué)化的能力。所謂“數(shù)學(xué)知識(shí)樹”是借用樹的主干、支干，葉子和果實(shí)等形象地表示章節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)在學(xué)生大腦中生成的圖式。繪制數(shù)學(xué)知識(shí)樹的目的就是引導(dǎo)學(xué)生重新閱讀數(shù)學(xué)教材，重溫做過的數(shù)學(xué)例習(xí)題，能夠把書由厚讀到薄，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的、有序的、容易被激活的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

【案例5】以“數(shù)列”一章為例。本章知識(shí)樹大致有四個(gè)層次的知識(shí)序列：第一個(gè)層次是該章的三個(gè)知識(shí)主干，即一般數(shù)列，等差數(shù)列和等比數(shù)列；以等差數(shù)列這一主干（第二個(gè)層次）為例，又包含三個(gè)支干，即定義、通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式；以等差數(shù)列前項(xiàng)和公式這一支干（第三個(gè)層次）為例，又包含三個(gè)公式，即；第四個(gè)層次是指策略性知識(shí)，即第三個(gè)層次中滲透的數(shù)學(xué)思想方法，如倒序相加法，方程思想和函數(shù)思想。這樣，一棵枝繁葉茂的數(shù)列知識(shí)樹就牢牢地扎根于學(xué)生的腦海中。

6.倡導(dǎo)數(shù)學(xué)互動(dòng)與交流，提升學(xué)生縱向數(shù)學(xué)化層次。

在課堂教學(xué)和課外輔導(dǎo)中，經(jīng)常遇到這樣的情形：學(xué)生對自己所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)不能準(zhǔn)確地表達(dá)出來，對自己不懂的地方也提不出明確的問題。我們認(rèn)為這種現(xiàn)象表明學(xué)生不習(xí)慣進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，也不善于數(shù)學(xué)交流，不能夠邏輯地組織所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，使之結(jié)構(gòu)化、序列化。

我們認(rèn)為，提升學(xué)生縱向數(shù)學(xué)化層次就是要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，主要有以下一些具體做法。

（1）恰當(dāng)?shù)亟M織課堂討論。課堂討論中，一般由教師給出一個(gè)中心議題或?qū)嶋H問題，學(xué)生在各自獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，以學(xué)習(xí)小組形式圍繞問題各抒己見、相互交流。實(shí)踐表明，課堂討論為師生之間、生生之間的多向交流創(chuàng)設(shè)了良好的氛圍，可以極大地激發(fā)每個(gè)學(xué)生的創(chuàng)造性和主動(dòng)性，常常會(huì)收到課前意想不到的教學(xué)效果，是各種創(chuàng)新性解法和奇思妙想產(chǎn)生的沃土。我們曾對“點(diǎn)到直線距離公式”的推導(dǎo)開展課堂討論，師生集思廣益，共給出了八種不同的解法，極大地拓展了縱向數(shù)學(xué)化的層次。

（2）創(chuàng)造“寫數(shù)學(xué)”的機(jī)會(huì)。為了促進(jìn)數(shù)學(xué)交流，我們創(chuàng)造了很多機(jī)會(huì)讓學(xué)生“寫數(shù)學(xué)”，即讓學(xué)生把他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心得體會(huì)、反思要點(diǎn)或研究成果通過文字形式表達(dá)出來。譬如每一章節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)完之后，要求學(xué)生列出本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，對所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行縱向數(shù)學(xué)化；每一次數(shù)學(xué)作業(yè)或數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的典型的錯(cuò)題，在講評之后，要求學(xué)生訂正整理到“錯(cuò)題本”上，并反思、剖析出錯(cuò)原因等。

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［S］.北京：人民教育出版社，2012.

［2］弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1999.

［3］A.A.斯托利亞爾.數(shù)學(xué)教育學(xué)［M］.丁爾陞，等，譯.北京：人民教育出版社，1985.

［4］喻平，單墫．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（02）．

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1005-6009（2017）43-0024-04

卓斌，江蘇省宿遷市中小學(xué)教學(xué)研究室（江蘇宿遷，223800）教研員，正高級教師，江蘇省特級教師。