解大鵬

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 安徽 合肥 230601)

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等價(jià)無(wú)窮小性質(zhì)及應(yīng)用的教學(xué)拓展研究

解大鵬

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 安徽 合肥 230601)

利用等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)處理函數(shù)極限問(wèn)題是微積分中處理函數(shù)極限的一類重要的方法。本文較為系統(tǒng)地歸納了等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)， 通過(guò)實(shí)際算例重點(diǎn)闡明這些性質(zhì)在函數(shù)極限問(wèn)題中的應(yīng)用，并且針對(duì)不同的情形， 給出了一些方法和建議。

等價(jià)無(wú)窮??；極限；應(yīng)用

等價(jià)無(wú)窮小概念屬于微積分學(xué)中最基本的概念，同時(shí)也是比較重要的概念。大多數(shù)《數(shù)學(xué)分析》和《高等數(shù)學(xué)》教材都或詳或略地對(duì)這方面內(nèi)容有所涉及。然而，不少教材卻存在內(nèi)容編排不盡合理和個(gè)別知識(shí)點(diǎn)表述不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)葐?wèn)題，導(dǎo)致很多讀者很難掌握這部分內(nèi)容。因此, 有必要對(duì)等價(jià)無(wú)窮小進(jìn)行深入的探討。

等價(jià)無(wú)窮小具有很好的性質(zhì)，很多應(yīng)用問(wèn)題都會(huì)或多或少的與這些性質(zhì)相關(guān)，掌握并充分利用好等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì), 往往會(huì)使一些復(fù)雜的函數(shù)極限問(wèn)題簡(jiǎn)單化， 可起到事半功倍的效果，很多學(xué)者對(duì)此做了大量的研究，參看文獻(xiàn)[1-6]。為了使教師們更加準(zhǔn)確地理解和把握這部分教學(xué)內(nèi)容，使“等價(jià)無(wú)窮小”在教材中發(fā)揮其應(yīng)有的作用，本文將在相關(guān)學(xué)者研究的基礎(chǔ)上全面系統(tǒng)地歸納等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)及其在函數(shù)極限問(wèn)題中的應(yīng)用。

1 教學(xué)困惑

在講授等價(jià)無(wú)窮小代換求極限的內(nèi)容時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到利用等價(jià)無(wú)窮小替換求有和、差運(yùn)算的分式極限問(wèn)題。 有些算例雖然做法不符合常理但結(jié)果正確這讓學(xué)生很費(fèi)解，而且現(xiàn)有教材普遍存在對(duì)利用等價(jià)無(wú)窮小替換求有和、差運(yùn)算的分式極限問(wèn)題表述不恰當(dāng)或欠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那闆r，大致可以分為以下幾類情形[1]:

(1)認(rèn)為若對(duì)和差運(yùn)算作等價(jià)代換，則要出錯(cuò)。

(2)認(rèn)為加減運(yùn)算不能進(jìn)行等價(jià)代換。

(3)認(rèn)為加減運(yùn)算一般不能進(jìn)行等價(jià)代換。

(4)對(duì)該問(wèn)題未予說(shuō)明。

(5)給出了關(guān)于和差運(yùn)算的代換定理。

這會(huì)導(dǎo)致教師對(duì)此問(wèn)題講解不到位，以至于學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小代換計(jì)算函數(shù)極限時(shí)產(chǎn)生困惑，導(dǎo)致解題過(guò)程錯(cuò)誤百出, 有時(shí)甚至還很難判斷錯(cuò)在什么地方。因此, 有必要對(duì)等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)進(jìn)行深入的討論，以便恰當(dāng)運(yùn)用, 達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的。

2 等價(jià)無(wú)窮小性質(zhì)的推廣及在求函數(shù)極限中的應(yīng)用

等價(jià)無(wú)窮小的基本性質(zhì)：設(shè)f,f1,g,g1,h均為同一自變量變化過(guò)程中的無(wú)窮小,則

(1)等價(jià)無(wú)窮小的反身性：f～f；

(2)等價(jià)無(wú)窮小的對(duì)稱性：若f～g，則g～f；

(3)等價(jià)無(wú)窮小的傳遞性：若f～g,g～h，則f～h；

這些屬于等階無(wú)窮小的基本性質(zhì)，將其推廣到更為廣泛的函數(shù)類中時(shí)，可以起到簡(jiǎn)化計(jì)算的作用。

解 當(dāng)x→0時(shí)，arctanx3～x3,arcsin2x3～2x3,ln(1+x3)～x3,sin32x～8x3，故有

于是，由定理1可知，

由這個(gè)定理，還可以推廣到n個(gè)函數(shù)和的等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

所以由定理2可得

正如以上性質(zhì)定理所描述的那樣，把等價(jià)無(wú)窮小代換推廣到和與差的形式，能夠適用的函數(shù)類范圍也隨之?dāng)U大，于是簡(jiǎn)化了函數(shù)的極限運(yùn)算過(guò)程。在運(yùn)用這些性質(zhì)定理時(shí)容易忽略條件而亂用或錯(cuò)用得到錯(cuò)誤計(jì)算結(jié)果， 因此解題時(shí)需要尤為注意。

錯(cuò)解 當(dāng)x→0時(shí)，有

定義1[4]設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)n階可導(dǎo)且存在正整數(shù)k使得

f(x0)=f′(x0)=f″(x0)=···=f(k-1)(x0)=0,f(k)(x0)≠0

則稱f(x)在x0處滿足k階條件。

解 令f(x)=cosx-e-x2,g(x)=x+ln(1-x)，則有

下面的定理，能更好的在冪指函數(shù)求極限中運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小代換。

定理5[5]設(shè)在x=x0的某個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi)，f(x)與g(x)連續(xù)，且當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)→1,g(x)→，則。

在求含變上限積分的極限中，如果恰當(dāng)選用等價(jià)無(wú)窮小代換，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)便易求的極限形式．常用的幾種變上限積分的等價(jià)無(wú)窮小公式為：當(dāng)x→0時(shí)，

直接使用洛必達(dá)法則可以證明以上公式(證明略)。

例7 求極限

解 由變上限積分的等價(jià)無(wú)窮小公式可知：

由上述例題可以看出被積函數(shù)之間都是等價(jià)無(wú)窮小，所以可以得到被積函數(shù)用等價(jià)無(wú)窮小代換后的變上限積分仍然是等價(jià)無(wú)窮小，可推出如下定理：

由定理7還能列出一些上面未列出的等階無(wú)窮小公式，如：

例8 求極限

本例也可使用洛必達(dá)法則來(lái)求解， 但若使用洛必達(dá)法則來(lái)求解則會(huì)使得解題過(guò)程非常繁瑣，而且易于出錯(cuò)，而恰當(dāng)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小代換的方法則會(huì)收到意想不到的效果．

4 教學(xué)建議

根據(jù)以上分析，下面就該節(jié)內(nèi)容的教學(xué)提出幾點(diǎn)建議:

(1)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并修正教材中表述不夠嚴(yán)謹(jǐn)之處，并借此強(qiáng)調(diào)，要善于思考，

敢于質(zhì)疑。

(2)引導(dǎo)學(xué)生積極養(yǎng)成發(fā)散思維的習(xí)慣。在補(bǔ)充、擴(kuò)展和深化時(shí)，教師不要一味地告訴學(xué)生將要發(fā)生什么、該怎么做，而是要引導(dǎo)他們自己去尋找和發(fā)現(xiàn)。如在補(bǔ)充和一般化等價(jià)代換關(guān)系、補(bǔ)充和差函數(shù)等價(jià)代換定理時(shí)，可用巧妙的提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生去探索、發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)、證明和應(yīng)用。

(3)擴(kuò)充的內(nèi)容要恰當(dāng)而適度。補(bǔ)充和差函數(shù)的等價(jià)代換定理和無(wú)窮小的運(yùn)算律，例題補(bǔ)充多少，難度控制在什么程度，等等，這些都要結(jié)合各專業(yè)課程標(biāo)準(zhǔn)等具體情況具體分析。另外，還要將對(duì)解決這些問(wèn)題有幫助的參考書(shū)籍及參考論文和網(wǎng)址等告知學(xué)生，為學(xué)生自主探索指明道路[1]。

5 結(jié)束語(yǔ)

等價(jià)無(wú)窮小代換求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，若所求的函數(shù)為分式，可以同時(shí)代換整個(gè)分子和整個(gè)分母，也可用等價(jià)無(wú)窮小代換整個(gè)分子或分母。但不能隨意對(duì)分子或分母中的某個(gè)加項(xiàng)用等價(jià)無(wú)窮小替換來(lái)求得。對(duì)于不同的情形， 給出了相應(yīng)的措施只有選擇合適的等價(jià)無(wú)窮小替換，才能正確求得有和，差分式的極限。等價(jià)無(wú)窮小代換時(shí)，應(yīng)第一時(shí)間判斷函數(shù)是否符合各性質(zhì)定理的條件，這一點(diǎn)非常重要。在求極限時(shí)，若不能滿足等價(jià)無(wú)窮小代換的條件時(shí)，應(yīng)該先對(duì)所求極限函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，使之符合等價(jià)無(wú)窮小代換的條件。求極限過(guò)程中，等價(jià)無(wú)窮小代換可與其它方法結(jié)合使用。

[1] 潘建輝，胡學(xué)剛，鄧志穎．關(guān)于“無(wú)窮小的比較”的教學(xué)研究[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2011，14(5)：43-46．

[2] 龔萍．等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)及其運(yùn)用推廣[J]．河北理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，31(3): 102-105．

[3] 魏曉娜，李曼生．等價(jià)無(wú)窮小的應(yīng)用研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究，2010，29(10)：59-61．

[4] 蹇小平．極限求解中等價(jià)無(wú)窮小量替換條件的推廣[J]．湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，29(3)：254-257．

[5] 周斌．等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)與運(yùn)用[J]．內(nèi)江科技，2011，4(4)：93．

[6] 李秀敏．王靈色．等階無(wú)窮小在求極限過(guò)程中的應(yīng)用[J]．高等數(shù)學(xué)研究， 2002，5(3)：36-37．

Research on Teaching Expansion of Equivalent Infinitesimal Nature and Application

XIE Dapeng

(SchoolofMathematicsandStatistics,HefeiNormalUniversity,Hefei230061,China)

The properties of function limit problem of equivalent infinitesimal is one of the most important methods in the calculus of function limit processing. In this paper, the properties of equivalent infinitesimal are systematically summarized, and the applications of these properties in the limit of function are emphasized with the practical examples. Some methods and suggestions are given for different conditions.

equivalent infinitesimal; limit; application

2017-01-20

安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2015A196)

解大鵬( 1981-) ，男，吉林洮南人，講師，碩士，主要從事微分方程及大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

O171; G642

B

1674-2273(2017)03-0039-04