李小曼，李大創(chuàng)，楊 名,曹卓良

(1.安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院， 安徽 合肥 230039； 2.合肥師范學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230601)

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基于量子隨機(jī)行走的兩光子Bell態(tài)測(cè)量

李小曼1,2，李大創(chuàng)1,2，楊 名1,曹卓良1,2

(1.安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院， 安徽 合肥 230039； 2.合肥師范學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230601)

量子糾纏態(tài)是量子信息和量子通訊領(lǐng)域中的核心資源，實(shí)現(xiàn)量子糾纏態(tài)中的完全Bell態(tài)測(cè)量，將對(duì)量子信息學(xué)的發(fā)展有重要的意義。本文，我們基于量子隨機(jī)行走提出了一種實(shí)現(xiàn)雙光子Bell態(tài)測(cè)量的物理方案?；谠摲桨傅牟僮鬟^程有明顯的簡(jiǎn)化，本方案在實(shí)驗(yàn)上具有一定的可行性和指導(dǎo)意義。

量子隨機(jī)行走；Bell態(tài)；量子信息；量子糾纏

在量子信息處理和量子通訊領(lǐng)域中，量子糾纏[1,2,3]具有很重要的地位。量子糾纏，尤其是糾纏光子由于其在傳輸過程中不易發(fā)生退相干，在實(shí)現(xiàn)諸如量子糾纏交換[4,5]、量子隱形傳態(tài)[6,7]和遠(yuǎn)程態(tài)制備[8]之類量子信息處理方案中都起著至關(guān)重要的作用。

1995年，Kwiat[9]等人利用自發(fā)參數(shù)下轉(zhuǎn)換方法實(shí)驗(yàn)上制備了兩光子偏振糾纏Bell態(tài)。Zeilinger[10]等人基于線性光學(xué)利用兩個(gè)糾纏光子對(duì)產(chǎn)生一個(gè)三光子Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)態(tài)的思想。如何區(qū)分正交的量子態(tài)在量子信息領(lǐng)域中愈來愈重要。目前為止，國內(nèi)外的研究組提出了多種區(qū)分處于偏振糾纏的Bell態(tài)及三光子GHZ的方案[11]。例如，2005年Barrett[12]等提出的基于弱非線性實(shí)現(xiàn)非破壞性的Bell態(tài)分析方案。最近，林秀敏[13]等先后提出了基于腔場(chǎng)和法拉第旋轉(zhuǎn)的Bell態(tài)分析器及GHZ態(tài)分析器，成功地實(shí)現(xiàn)對(duì)兩光子Bell態(tài)及三光子GHZ態(tài)的非破壞性區(qū)分。

本文中，首先提出一個(gè)基于量子隨機(jī)行走實(shí)現(xiàn)非破壞性測(cè)量?jī)晒庾覤ell態(tài)方案。在此方案中，通過對(duì)探測(cè)器進(jìn)行測(cè)量就可以對(duì)四個(gè)處于偏振糾纏的Bell態(tài)進(jìn)行完全且非破壞性的區(qū)分。先前的實(shí)驗(yàn)方案中利用偏振分束器，該方案利用常見的光學(xué)器件，如：半波片(HWPs)、光束偏轉(zhuǎn)器(BDs)，在實(shí)驗(yàn)上能夠很容易實(shí)現(xiàn)。

1 基于量子隨機(jī)行走的雙光子Bell態(tài)測(cè)量

在這一部分中，我們將設(shè)計(jì)一個(gè)量子隨機(jī)行走的物理方案來區(qū)分四個(gè)Bell態(tài)。在設(shè)計(jì)方案中，我們把四個(gè)Bell態(tài)作為量子隨機(jī)行走的硬幣態(tài)，經(jīng)過三步行走之后，我們通過測(cè)量光子的位置就可以區(qū)分出部分Bell態(tài)。

我們簡(jiǎn)單回顧一下一維分離量子隨機(jī)行走[14,15,16]概念，系統(tǒng)聯(lián)合希爾伯特空間可以用硬幣空間和位置空間來描述，即H≡HC?HP。其中硬幣空間由正交矢量{|n〉p,n∈Z}展開，表示該粒子處在直線上的位置；硬幣空間由正交矢量{|H〉C,|V〉C}來表示，表示的是硬幣的狀態(tài)。粒子的初態(tài)可以寫成|Ψ(0)〉=|Ψ(0)〉C?|Ψ(0)〉P，其中|Ψ(0)〉C為硬幣初始態(tài)，|Ψ(0)〉P為位置初始態(tài)。

不失一般性，我們通常假設(shè)粒子從x=0開始運(yùn)動(dòng)，并且硬幣初始態(tài)處于|H〉和|V〉的相干疊加態(tài)。如果粒子的初態(tài)是|Ψ(0)〉，經(jīng)過t步行走，粒子的末態(tài)：|Ψ(t)〉=Ut|Ψ(0)〉。

現(xiàn)在，我們考慮兩個(gè)粒子的量子隨機(jī)行走，系統(tǒng)的聯(lián)合希爾伯特空間：

H12≡H1?H2≡(HC1?HP1)?(HC2?HP2)，

其中，H1表示粒子1的希爾伯特空間，H2表示粒子2的希爾伯特空間。

兩個(gè)粒子的量子隨機(jī)行走的演化算符：

U12=U1?U2，

其中，U1和U2的定義與單個(gè)粒子的U的定義類似。

假設(shè)兩個(gè)粒子的初始位置都在x=0，兩個(gè)粒子的硬幣初始態(tài)為任意糾纏態(tài)|Ψ(0)〉C12=α1|H〉1|H〉2+α2|H〉1|V〉2+α3|V〉1|H〉2+α4|V〉1|V〉2，系數(shù)滿足歸一化條件，那么系統(tǒng)的初態(tài)為：

雙光子偏振Bell態(tài)可以寫成：

我們將雙光子的偏振自由度和位置自由度作為量子隨機(jī)行走的硬幣自由度和位置自由度，初始硬幣態(tài)是四個(gè)Bell態(tài)中的其中一個(gè)，兩個(gè)光子初始位置都在x=0。那么，系統(tǒng)的初始態(tài)為：

雙光子量子隨機(jī)行走的3步演化過程如圖1所示。在我們所設(shè)計(jì)物理方案中，硬幣算符可以用半波片(HWPs)來實(shí)現(xiàn)，位置移動(dòng)算符可以用光束偏轉(zhuǎn)器(BDs)來實(shí)現(xiàn)。

圖1 實(shí)現(xiàn)Bell態(tài)測(cè)量光路圖

第一步，硬幣算符為：

其余的為單位算符I。其中，硬幣算符為Ci,j，下標(biāo)i=1,2,3表示第幾步操作，j=1,2代表對(duì)從第幾個(gè)分支出來光子的操作。每一個(gè)位置移動(dòng)算符都為S。

第二步，硬幣算符僅僅是NOT門操作，即：

第三步，硬幣算符是Hadamard門操作，即：

經(jīng)過第一步行走，系統(tǒng)的狀態(tài)為：

經(jīng)過了一步行走，我們交換兩光子在x=-1的線路，這是我們所設(shè)計(jì)的物理方案的重要組成部分，可以在兩光子之間產(chǎn)生線路糾纏，并且在實(shí)驗(yàn)上很容易實(shí)現(xiàn)。經(jīng)過了線路交換，兩光子演化為：

兩步量子隨機(jī)行走之后，由于兩光子的空間波函數(shù)完全疊加，根據(jù)全同性原理可得：

(|H〉|0〉)1(|V〉|0〉)1+(|H〉|0〉)2(|V〉|0〉2)+(|V〉|0〉)2(|H〉|0〉2)],

(|H〉|0〉)1(|V〉|0〉)1-(|H〉|0〉)2(|V〉|0〉2)

-(|V〉|0〉)2(|H〉|0〉2)], 經(jīng)過了第三步演化，系統(tǒng)的末態(tài)為：

(|V〉|-1〉)1(|V〉|-1〉)1+

(|H〉|1〉)2(|H〉|1〉)2-

(|V〉|-1〉)2(|V〉|-1〉)2],

(|V〉|-1〉)1(|V〉|-1〉)1

-(|H〉|1〉)2(|H〉|1〉)2+

(|V〉|-1〉)2(|V〉|-1〉)2],

(|V〉|-1〉)1(|V〉|-1〉)2)],

(|V〉|-1〉)1(|H〉|1〉)2)].

2 討論和結(jié)論

經(jīng)過三步量子隨機(jī)行走，我們對(duì)兩個(gè)光子進(jìn)行探測(cè)，如果兩光子從同一分支出來，那么無法區(qū)分初始硬幣態(tài)，如果兩光子從不同分支出來，那么就可以成功區(qū)分初始硬幣態(tài)。我們通過探測(cè)并分析，初始硬幣態(tài)與相應(yīng)探測(cè)器響應(yīng)的結(jié)果如下表：

表1 初始硬幣態(tài)與探測(cè)器響應(yīng)結(jié)果的對(duì)應(yīng)關(guān)系表

經(jīng)過分析，我們可以區(qū)分出兩個(gè)光子Bell態(tài)，再對(duì)相應(yīng)的硬幣態(tài)進(jìn)行量子門操作即可得到兩個(gè)Bell態(tài)。

本文中我們利用量子隨機(jī)行走實(shí)現(xiàn)雙光子Bell態(tài)測(cè)量。在物理方案中，通過對(duì)光子不同位置的探測(cè)，即實(shí)現(xiàn)區(qū)分出其中兩個(gè)Bell態(tài)，利用現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)技術(shù)是可行的，與利用偏振分束器(PBS)區(qū)分Bell態(tài)測(cè)量，操作過程有明顯的簡(jiǎn)化，從而極大提高了實(shí)驗(yàn)效果。

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Two-photon Bell State Measurement Based on Quantum Walk

LI Xiaoman1,2, LI Dachuang1,2, YANG Ming1, CAO Zhuoliang1,2

(1.SchoolofPhysicsandMaterialScience,AnhuiUniversity,Hefei230039,China;2.SchoolofElectronicsandInformationEngineering,HefeiNormalUniversity,Hefei230601,China)

Quantum entanglement is the central resource in the quantum information and quantum communication. It will be of great significance for development of quantum information to realize the Bell state measurement. In this paper, we propose a physical scheme for two-photon Bell state measurement based on quantum random walk. The system has many advantages, such as better controllability, so the scheme has a certain feasibility and is instructive for the experiments.

quantum walk; Bell states; quantum information; quantum entanglement

2017-01-20

安徽省學(xué)術(shù)技術(shù)帶頭人及后備人選科研活動(dòng)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目(No.2015H052);安徽高校學(xué)科(專業(yè))拔尖人才學(xué)術(shù)資助重點(diǎn)項(xiàng)目(No. gxbjZD2016078)；安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃項(xiàng)目；安徽大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目(yqh100012)

李小曼(1991-)，女，安徽大學(xué)碩士研究生，主要研究量子信息。

O413.1

A

1674-2273(2017)03-0011-04