沈春芳，楊 劉

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230061)

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數(shù)學(xué)建模思想融入《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)研究

沈春芳，楊 劉

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230061)

結(jié)合作者教學(xué)實(shí)踐，論述了將數(shù)學(xué)建模思想融入《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)的意義及具體措施。

數(shù)學(xué)建模思想；數(shù)學(xué)分析

《數(shù)學(xué)分析》以微積分和無窮級(jí)數(shù)的一般理論為主要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)理論與實(shí)際聯(lián)系的重要橋梁，是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程，也是復(fù)變函數(shù)、微分方程、泛函分析、變分學(xué)等后續(xù)課程的理論基礎(chǔ)。對(duì)于以應(yīng)用型人才培養(yǎng)為主要目標(biāo)的地方新型本科院校，在《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)中，如果將時(shí)間和精力過多集中于強(qiáng)調(diào)理論的科學(xué)性和嚴(yán)密性，就會(huì)淡化理論知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用，削弱學(xué)生利用理論知識(shí)解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)，一定程度上也降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

目前，在《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)中突出應(yīng)用性已經(jīng)成為該課程教學(xué)改革的熱點(diǎn)，這在地方應(yīng)用型本科院校尤其突出。數(shù)學(xué)建模將數(shù)學(xué)理論知識(shí)和實(shí)際應(yīng)用緊密聯(lián)系起來，是數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用之間的橋梁，因此將數(shù)學(xué)建模的思想融入《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)過程中是十分必要的。本文結(jié)合作者教學(xué)實(shí)際，對(duì)數(shù)學(xué)建模思想融入課程教學(xué)的措施和方法進(jìn)行簡單介紹。

1 教學(xué)方法中的融入

1.1 采用“多途徑達(dá)標(biāo)”的教學(xué)方法開展教學(xué)

“多途徑達(dá)標(biāo)”教學(xué)模式，基于課程的教學(xué)特點(diǎn)和目的，把內(nèi)容分為若干個(gè)主題，

圍繞所列主題尋求解決達(dá)到“目標(biāo)”的方法和途徑，從而構(gòu)成達(dá)標(biāo)方案集，并且不斷充實(shí)和豐富這些方案集。采用“多途徑達(dá)標(biāo)”教學(xué)模式，將數(shù)學(xué)建模的思想融入課程教學(xué)，就是將建模的思想融入到相應(yīng)的主題中，以學(xué)生應(yīng)用能力提高為目標(biāo)，圍繞知識(shí)、理論達(dá)標(biāo)的目的設(shè)置問題、解決問題。

1.2 加強(qiáng)案例式教學(xué)方法的應(yīng)用

案例式教學(xué)可以促進(jìn)隱性知識(shí)與顯性知識(shí)的不斷轉(zhuǎn)化，通過具體的情境，將隱性的知識(shí)外顯，或?qū)@性的知識(shí)內(nèi)化。在《數(shù)學(xué)分析》課程中利用案例教學(xué)配合理論知識(shí)學(xué)習(xí)，既可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力，又可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

例1 在單變量函數(shù)極值理論教學(xué)中可引入經(jīng)濟(jì)學(xué)中商品的最優(yōu)定價(jià)模型。

根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價(jià)格，使總利潤最大。

設(shè)產(chǎn)量和銷量為x,收入與銷量成正比，比例系數(shù)p即商品價(jià)格；支出與產(chǎn)量成正比，比例系數(shù)q即成本。記收入函數(shù)為I(p)=px(p)，支出函數(shù)為C(p)=qx(p)，則利潤函數(shù)

最優(yōu)價(jià)格即為利潤函數(shù)最大時(shí)的價(jià)格，因此最有價(jià)格p*滿足

即

上述等式的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋為：最有價(jià)格在邊際收入與邊際支出相等時(shí)取到，是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要結(jié)論。

例2 在第一類曲面積分理論教學(xué)中可引入通訊衛(wèi)星電波覆蓋面積的計(jì)算模型。

將通訊衛(wèi)星發(fā)射到赤道的上空，使它位于赤道所在的平面內(nèi)。如果衛(wèi)星自西向東繞地球飛行一周的時(shí)間正好等于地球自轉(zhuǎn)一周的時(shí)間，那么它始終在地球某一個(gè)位置的上空，即相對(duì)靜止的。這樣的衛(wèi)星稱為地球同步衛(wèi)星。

首先需要確定衛(wèi)星離地面的高度h.衛(wèi)星不會(huì)脫離其預(yù)定軌道的條件是衛(wèi)星所受地球的引力與其受到的離心力相等，即

其中M為地球質(zhì)量，m為衛(wèi)星的質(zhì)量，G是引力常數(shù)，ω是衛(wèi)星飛行的角速度。從而

因此

h≈36000(km).

取地心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過地心與衛(wèi)星中心、方向從地心到衛(wèi)星中心的有向直線為z軸，

則衛(wèi)星的電波覆蓋的地球表面的面積為

其中Δ是上半平面x2+y2+z2=R2(z≥0)上滿足z≥Rcosα的部分，即

因此，

事實(shí)上，由于

在教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)分析的方法解決實(shí)際問題，具體為

(1)根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)規(guī)律，建立描述實(shí)際問題的數(shù)學(xué)框架，即問題對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

2)利用所學(xué)理論知識(shí)求解該數(shù)學(xué)問題；

(3)利用數(shù)學(xué)問題的解分析和解釋實(shí)際問題。

2 教學(xué)內(nèi)容中的融入

目前許多學(xué)校《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)普遍缺乏應(yīng)用實(shí)例，尤其是契合度高、能提高學(xué)生探索欲和學(xué)習(xí)積極性的內(nèi)容，這一點(diǎn)與國外大量實(shí)例配合的教學(xué)思路有一定差距。因此，教師在教學(xué)過程中，在保證數(shù)學(xué)理論嚴(yán)密性基礎(chǔ)之上，可有意識(shí)的選取合適的實(shí)例，通過“實(shí)際問題—數(shù)學(xué)模型—模型求解—結(jié)果分析—問題解釋”的思路開展實(shí)踐性教學(xué)，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

表1 數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容和模型案例選擇對(duì)照

3 課程考核中的融入

評(píng)價(jià)機(jī)制是學(xué)習(xí)的向?qū)?，客觀的評(píng)價(jià)機(jī)制對(duì)于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，挖掘?qū)W習(xí)潛能具有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用。為檢驗(yàn)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)分析知識(shí)解決實(shí)際問題能力，可在課程考核中設(shè)置相關(guān)環(huán)節(jié)。課程考核試卷中可安排一個(gè)來自實(shí)際中的應(yīng)用題目，全面考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

總之，應(yīng)用能力的培養(yǎng)是一個(gè)長期的過程，不是一朝一夕可以完成，需要我們不斷努力。從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、考核模式等方面入手，把數(shù)學(xué)建模思想有機(jī)融入到數(shù)學(xué)分析教學(xué)全過程，注重對(duì)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，更需要我們不斷地探索。

[1] 陳紀(jì)修，等. 數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社，北京，2003.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫組.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社，北京，2009.

[3] 歐陽光中，等. 數(shù)學(xué)分析[M].復(fù)旦大學(xué)出版社，上海，2002.

[4] 楊啟帆，等.數(shù)學(xué)建模[M].高等教育出版社，北京，2005.

[5] 姜啟源，等. 數(shù)學(xué)模型[M].高等教育出版社，北京，2007.

[6] 李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].中國大學(xué)數(shù)學(xué)，2006(1)：9-11.

Study on Integrating Mathematical Modeling Idea into Mathematical Analysis

SHEN Chunfang, YANG Liu

(SchoolofMathematicsandStatistics,HefeiNormalUniversity,Hefei230601,China)

With the personal teaching practice, this paper discusses the importance and practice of integrating mathematical modeling idea into the course of Mathematical Analysis.

mathematical modeling idea; Mathematical Analysis

2017-01-10

沈春芳(1982-)，碩士，副教授，從事微分方程方向研究和《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)工作。

G64

B

1674-2273(2017)03-0031-03