廣東省廣州市真光中學(xué)(510380) 蘇國(guó)東

做中玩 玩中學(xué)—以幾何畫板培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究能力為例

廣東省廣州市真光中學(xué)(510380) 蘇國(guó)東

一、問(wèn)題提出

近年來(lái),幾何畫板得到了越來(lái)越多一線教師的重視和青睞.目前國(guó)內(nèi)外對(duì)幾何畫板技術(shù)的研究相對(duì)較多且較為深入,許多優(yōu)秀教師積極參與幾何畫板的教學(xué)探究.但在網(wǎng)上搜索多篇關(guān)于幾何畫板的文章,以及對(duì)部分?jǐn)?shù)學(xué)教師調(diào)查后發(fā)現(xiàn),大多數(shù)教師使用幾何畫板都是用于如何突破教學(xué)重難點(diǎn),或較其他工具更高效呈現(xiàn)問(wèn)題為主,即多注重教師的“教”,很少為幫助學(xué)生的“學(xué)”而設(shè)計(jì).教師把幾何畫板作為課堂教學(xué)的演示工具,甚至在制作課件上花費(fèi)了大量時(shí)間,但學(xué)生只能看到教師的制作成果,而不能親自參與其中動(dòng)手研究,無(wú)法在此過(guò)程中自主發(fā)現(xiàn)、提出、解決問(wèn)題,無(wú)法很好地體現(xiàn)幾何畫板的應(yīng)用價(jià)值.

事實(shí)上,幾何畫板強(qiáng)大的交互性為學(xué)生的學(xué)習(xí)探究提供了可能.讓學(xué)生了解、學(xué)會(huì)運(yùn)用幾何畫板,使幾何畫板成為學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究數(shù)學(xué)的軟件平臺(tái)是十分必要的.隨著計(jì)算機(jī)的普及,學(xué)生對(duì)電腦操作日益熟練,讓學(xué)生自己操作幾何畫板研究數(shù)學(xué)問(wèn)題是可行的.把“學(xué)數(shù)學(xué)”變?yōu)椤白鰯?shù)學(xué)”,再變?yōu)椤巴鏀?shù)學(xué)”,在做中玩,在玩中學(xué),這將進(jìn)一步發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性,也將極大培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí).

二、幾何畫板對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究能力的培養(yǎng)

(一)體現(xiàn)學(xué)習(xí)自主,轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式

幾何畫板給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)進(jìn)行數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)的平臺(tái),學(xué)生可以隨意拖動(dòng)圖形,觀察、探索、猜想并驗(yàn)證,有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性和創(chuàng)造性,充分體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的理念.也因此,幾何畫板給學(xué)生的自主學(xué)習(xí),如預(yù)習(xí)、課后習(xí)題解答、問(wèn)題的深入探討及拓展帶來(lái)了巨大的改變.在傳統(tǒng)教學(xué)中,學(xué)生較多是通過(guò)閱讀教材資料等方式預(yù)習(xí)新內(nèi)容,通過(guò)紙筆練習(xí)完成課后作業(yè).然而有了幾何畫板,學(xué)生就可以用它在預(yù)習(xí)時(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的自主探索,再在課堂上定性的證明也就相對(duì)容易,課后習(xí)題的解答也可通過(guò)幾何畫板得以驗(yàn)證,對(duì)堂上沒(méi)聽(tīng)懂的問(wèn)題更是可以把課件帶回家反復(fù)學(xué)習(xí)直至搞懂.

例如,在課前預(yù)習(xí)“等腰三角形三線合一”這一性質(zhì)時(shí),學(xué)生可先作出一個(gè)普通三角形的一組高、中線和角平分線,然后用鼠標(biāo)改變?nèi)切涡螤?使其逐漸變成等腰三角形,這時(shí)“三線”也逐漸合一,學(xué)生不僅知道了三線合一這一結(jié)論,還能了解這個(gè)合一的過(guò)程.這樣,學(xué)生通過(guò)幾何畫板預(yù)習(xí)讓自己在原有基礎(chǔ)上有所提高,為正式課堂的教與學(xué)做好準(zhǔn)備.

圖1

(二)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,提高動(dòng)手能力

興趣是最好的老師.幾何畫板有著強(qiáng)大的交互功能,集圖、文、色一體,表象鮮明,只要輕輕拖動(dòng)就能產(chǎn)生圖形變化,探索想要的結(jié)果.大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與動(dòng)手能力,實(shí)現(xiàn)從“學(xué)數(shù)學(xué)”到“做數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)變.

圖2

例如,在教授二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù) a、b、c對(duì)圖象的影響這一內(nèi)容時(shí),在傳統(tǒng)的課堂中,動(dòng)點(diǎn)不動(dòng)、位置不變、度量不準(zhǔn),只能教師說(shuō)、學(xué)生聽(tīng),難以理解和記憶.但引進(jìn)了幾何畫板后,教師可以先制作好課件,設(shè)置好參數(shù)a、b、c,繪制好相應(yīng)的二次函數(shù)曲線y=ax2+bx+c,然后讓學(xué)生動(dòng)手操作探究.學(xué)生操作鼠標(biāo)分別拖動(dòng)改變a、b、c的值,觀察出現(xiàn)的不同圖象即可獲得結(jié)論,迅速突破了教學(xué)重難點(diǎn).這樣既培養(yǎng)和提高了學(xué)生的動(dòng)手能力,讓學(xué)生主動(dòng)獲得新知,更讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖象的豐富變化產(chǎn)生了濃厚的興趣.

(三)經(jīng)歷猜想驗(yàn)證,點(diǎn)燃研究熱情

數(shù)學(xué)猜想是人的思維在探索數(shù)學(xué)規(guī)律和本質(zhì)時(shí)的一種策略,是科學(xué)研究中常用的一種思想方法,它是一種推理,更是一種數(shù)學(xué)想象.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中適當(dāng)?shù)匾脒@種思想方法,讓學(xué)生經(jīng)歷“提出問(wèn)題—假設(shè)猜想—檢驗(yàn)證明—?dú)w納總結(jié)”的知識(shí)形成過(guò)程,可以有效地增強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)探索和獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力,促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展.

圖3

例如：在學(xué)習(xí)完點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系后,可向?qū)W生呈現(xiàn)例子：以長(zhǎng)、寬分別為4、3的矩形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心作圓,此時(shí)我們可以提出什么問(wèn)題?學(xué)生認(rèn)為可以研究：當(dāng)圓的半徑如何變化時(shí),點(diǎn)B、C、D、邊BC、CD所在的直線與圓各會(huì)產(chǎn)生哪些位置關(guān)系.學(xué)生紛紛利用幾何畫板做出給定矩形,再用畫圓工具以A為圓心拖出一個(gè)圓,拖動(dòng)圓周上的控制點(diǎn)即可觀察圖形的動(dòng)態(tài)變化以及圖形間的關(guān)系.由于軟件作圖非常精確,學(xué)生通過(guò)圖形迅速寫出了各種情況的位置關(guān)系及對(duì)應(yīng)半徑的范圍.如何嚴(yán)格證明猜想正確?只要計(jì)算圓心到點(diǎn)、圓心到直線的距離即可,而這些距離都可以用幾何畫板做出、用“度量”功能得出,數(shù)值還能跟隨鼠標(biāo)拖動(dòng)實(shí)時(shí)變化.在這過(guò)程中,學(xué)生不但習(xí)得了猜想驗(yàn)證的數(shù)學(xué)思想方法,而且掌握的結(jié)論有普遍性,通性通法易于推廣.學(xué)生今后再遇到這類動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí),都能回憶起用幾何畫板親歷猜想驗(yàn)證的過(guò)程,做到知識(shí)上的遷移,數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)有了明顯提升.

(四)訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維,滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想不僅會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)、數(shù)學(xué)審美活動(dòng)起著指導(dǎo)作用,而且會(huì)對(duì)個(gè)體的世界觀、方法論產(chǎn)生深刻影響,形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的廣泛遷移,實(shí)現(xiàn)思維能力和思想素質(zhì)的飛躍.幾何畫板本身蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想,教師在利用幾何畫板教學(xué)和教會(huì)學(xué)生用幾何畫板制作課件的實(shí)踐中要滲透數(shù)學(xué)思想方法,讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法去解決、思考實(shí)際問(wèn)題,從而鍛煉學(xué)生創(chuàng)新思維,達(dá)到創(chuàng)新教育的目的.

圖4

例如筆者讓學(xué)生探究這個(gè)問(wèn)題：長(zhǎng)方形ABCD中,AB=4,四邊形AFCE是邊長(zhǎng)為5的菱形．P、Q分別從A、C出發(fā)沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即P自A→F→B→A停止,Q自C→D→E→C停止.點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b,且A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式.題目沒(méi)有給出速度與時(shí)間,P、Q的路程沒(méi)有直接聯(lián)系,難以切入.如果采用黑板教學(xué),可想而知難度有多大.但若使用幾何畫板,就能把難題展現(xiàn)的如此清晰簡(jiǎn)潔.在幾何畫板中啟用“跟蹤點(diǎn)的軌跡”功能,當(dāng)拖動(dòng)這兩點(diǎn)時(shí),它們經(jīng)過(guò)的路程會(huì)用紅色表示.這時(shí)讓學(xué)生上臺(tái)操作講解,學(xué)生發(fā)現(xiàn)拖動(dòng)Q到CD上,P到AB上時(shí),只要AP=CQ,四個(gè)紅點(diǎn)A、C、P、Q就能構(gòu)成平行四邊形(如圖4).把CQ補(bǔ)到AP處即有a+b=3+4+5=12,即△ABF的周長(zhǎng).這個(gè)過(guò)程的核心是什么,是學(xué)生尋找到了形成平行四邊形的特殊時(shí)刻,拖動(dòng)的過(guò)多或過(guò)少都不行,這就滲透了動(dòng)態(tài)問(wèn)題中“化動(dòng)為靜”的思想方法.問(wèn)題解決完畢了嗎?學(xué)生認(rèn)為既然P、Q落在這一組平行邊上可以成立,那應(yīng)該還可以落在兩三角形另兩組平行邊上,到底行不行?只要?jiǎng)觿?dòng)鼠標(biāo)嘗試即可,馬上讓另兩名學(xué)生上臺(tái)操作拖動(dòng)P、Q推出了其他兩邊的情況(如圖5、6).因?yàn)槿切斡腥?又有了第一種情況做基礎(chǔ),所以“分類討論”和“類比思想”順理成章的通過(guò)幾何畫板體現(xiàn)了出來(lái),滲透到了學(xué)生的解題思路中.

圖5

圖6

(五)實(shí)現(xiàn)探究試驗(yàn),培養(yǎng)創(chuàng)新能力

俗話說(shuō)“眼過(guò)千遍不如手做一遍”,近年來(lái)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”被越來(lái)越多的提及,它改變了以往教師講數(shù)學(xué)、學(xué)生聽(tīng)數(shù)學(xué)的模式,讓學(xué)生親自動(dòng)手做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),反復(fù)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)新知.幾何畫板為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了必要的工具和手段,利用它可以開展數(shù)學(xué)觀察實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)和探索性實(shí)驗(yàn).幾何畫板不僅讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到計(jì)算機(jī)等信息技術(shù)是數(shù)學(xué)發(fā)展不可或缺的工具,也給他們提供了一個(gè)發(fā)展奇思妙想的虛擬實(shí)驗(yàn)室,使他們從被動(dòng)學(xué)習(xí)到主動(dòng)學(xué)習(xí),再到創(chuàng)造性學(xué)習(xí),從“學(xué)數(shù)學(xué)”到“做數(shù)學(xué)”再到“玩數(shù)學(xué)”,激發(fā)他們的研究熱情.

廣州市每年都會(huì)舉辦“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)——廣州市初中生數(shù)學(xué)創(chuàng)新作品評(píng)比”活動(dòng),鼓勵(lì)學(xué)生多做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),多研究數(shù)學(xué)課題,加強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.參賽的部分作品借助了幾何畫板作為載體,學(xué)生在展示過(guò)程中都能熟練操作幾何畫板作為他們探究實(shí)驗(yàn)的平臺(tái).比如2014年筆者指導(dǎo)的學(xué)生作品《照明設(shè)備的三種選擇經(jīng)濟(jì)性對(duì)比研究》就用到了幾何畫板演示不同情況下函數(shù)的變化對(duì)比,2015年更是大量涌現(xiàn)了如《幾何畫板在圖案設(shè)計(jì)中的應(yīng)用》、《恒定直徑圖形中曲邊五邊形的探究與應(yīng)用》等優(yōu)秀作品,足以證明幾何畫板的實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新價(jià)值.

三、“做中玩玩中學(xué)”的實(shí)踐與探索

筆者在初二開設(shè)了名為《玩轉(zhuǎn)幾何畫板解決數(shù)學(xué)難題》的校本課程,旨在探索幾何畫板對(duì)學(xué)生探究并解決數(shù)學(xué)難題及思維培養(yǎng)的巨大功能,課程分為四幾個(gè)階段：

第一階段教師確定選題的幾種類型,制作幾何畫板課件進(jìn)行高效教學(xué),并請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)自主操作軟件進(jìn)行講題展示,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性與興趣.學(xué)生對(duì)幾何畫板高度認(rèn)可,認(rèn)為課堂上很有必要借助幾何畫板進(jìn)行教學(xué).

第二階段開始借用計(jì)算機(jī)房對(duì)學(xué)生進(jìn)行上機(jī)培訓(xùn),教會(huì)學(xué)生幾何畫板軟件的使用方法,學(xué)生人手一臺(tái)計(jì)算機(jī)自主操作.學(xué)生對(duì)電腦操作都相當(dāng)熟練,學(xué)習(xí)新軟件不但沒(méi)有困難,而且興趣濃厚,求知欲旺盛.后階段再以小組為單位精選題目,制作出幾何畫板課件.學(xué)生利用幾何畫板自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,自主學(xué)習(xí)探究,自主收獲成功.

第三階段以學(xué)生授課的新形式展示學(xué)習(xí)效果,利用制作的課件進(jìn)行授課.學(xué)生操作幾何畫板配合電子白板講解.臺(tái)下學(xué)生通過(guò)自己的計(jì)算機(jī)隨時(shí)同步操作,體會(huì)解題思路,也可舉手提問(wèn)或上臺(tái)操作,講解他個(gè)人的思路.幾何畫板真正成為了學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)和交流的平臺(tái),成為了數(shù)學(xué)創(chuàng)新研究的虛擬實(shí)驗(yàn)室.

第四階段回歸實(shí)際,在平常的紙筆練習(xí)中,學(xué)生在頭腦中形成幾何畫板的動(dòng)態(tài)過(guò)程,突破難點(diǎn),提升數(shù)學(xué)思維能力.從筆試檢測(cè)和各類壓軸題答題情況和成績(jī)分析得知,參加校本課程的學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、動(dòng)態(tài)問(wèn)題、解題熱情和信心等方面都優(yōu)于其他學(xué)生,數(shù)學(xué)技能掌握水平、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技能解決問(wèn)題的能力有了極大提高.

四、應(yīng)注意的問(wèn)題

首先,教師要注意精心篩選、組織適合用幾何畫板教學(xué)或?qū)W生自主探究的數(shù)學(xué)內(nèi)容,不能一概而論,對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的目的、作用、對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)點(diǎn)要有預(yù)見(jiàn)性.還要處理好常規(guī)教學(xué)和幾何畫板教學(xué)的關(guān)系,特別是教學(xué)任務(wù)與實(shí)驗(yàn)操作所花的時(shí)間的關(guān)系,避免出現(xiàn)失衡.其次,目前的部分中學(xué)生主動(dòng)探究意識(shí)不強(qiáng),沒(méi)有認(rèn)真鉆研問(wèn)題的習(xí)慣,質(zhì)疑與創(chuàng)新能力、理論聯(lián)系實(shí)際能力較弱,對(duì)培養(yǎng)效果有一定影響,需要教師對(duì)學(xué)情有正確分析以及精心的設(shè)計(jì)引導(dǎo),有針對(duì)性的、有梯度的布置探究任務(wù).第三,教師的信息技術(shù)能力有限,一定程度上會(huì)制約教學(xué)任務(wù)的全面開展,所以教師要利用課余時(shí)間認(rèn)真學(xué)習(xí)幾何畫板的操作.第三,學(xué)校教學(xué)設(shè)備資源有限,在普通教室授課難以做到人手一臺(tái)計(jì)算機(jī),只能讓學(xué)生上臺(tái)操作講臺(tái)電腦來(lái)實(shí)現(xiàn).如果要讓學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)或問(wèn)題實(shí)驗(yàn)探究只能借用計(jì)算機(jī)房,一般可以先安排好每周課時(shí)任務(wù),一周借用一到兩次機(jī)房進(jìn)行教學(xué)探究,或者學(xué)生利用放學(xué)后在家時(shí)間進(jìn)行.

用好幾何畫板,發(fā)揮學(xué)生的主體作用,把“學(xué)數(shù)學(xué)”變?yōu)椤白鰯?shù)學(xué)”,再變?yōu)椤巴鏀?shù)學(xué)”,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的學(xué)習(xí)品質(zhì)、鉆研探究的精神品質(zhì)有著積極的促進(jìn)作用.

[1]李啟柱,數(shù)學(xué)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)及其主要特征[J],數(shù)學(xué)通訊,2001,(5).

[2]胡晉賓,基于《幾何畫板》的計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)[D],南京：南京師范大學(xué)課程與教學(xué)論(數(shù)學(xué)),2002.

[3]劉丹,幾何畫板在高中數(shù)學(xué)新課改中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)研究[D],云南：云南師范大學(xué)現(xiàn)代教育技術(shù)中心,2009.