廣東省東莞市第一中學(523000) 孫傳平

導數(shù)應(yīng)用現(xiàn)難點 變式思維出奇招

廣東省東莞市第一中學(523000) 孫傳平

導數(shù)既是高考數(shù)學試題中的重點,也是難點,對以導數(shù)壓軸的高考試題的求解運用常規(guī)思維往往顯得很笨拙,甚至無能為力.文章歸納總結(jié)導數(shù)應(yīng)用中的幾種變式思維,對于突破難點、優(yōu)化思維、提升能力大有裨益.

導數(shù)應(yīng)用 變式思維

導數(shù)自編入高中數(shù)學課程以來,一直是高考數(shù)學的熱點,在歷年高考數(shù)學試題中不僅占有較大比重,而且常常以壓軸題的地位出現(xiàn),顯現(xiàn)出導數(shù)應(yīng)用難度加大的趨勢有增無減,導致對其求解運用常規(guī)思維往往顯得很笨拙,甚至無能為力.為此,本文介紹導數(shù)應(yīng)用中的幾種變式思維,供大家參考.

變式思維1主動討論法

例1 (2007年全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?e?x.

(1)略;

(2)若對所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范圍.

解(2)記g(x)=f(x)?ax,則g′(x)=ex+e?x?a.因為ex+e?x≥2,所以

當a≤2 時,恒有g(shù)′(x)≥0(g′(x)不恒為零),這時函數(shù)g(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),于是g(x)≥g(0)=0,即恒有f(x)≥ax,符合題意;

綜上所述,a的取值范圍是(?∞,2].

點評第(2)問相當于“若函數(shù)g(x)≥0恒成立,求a的取值范圍”.這種題型的常規(guī)思維,是通過解不等式[g(x)]min≥0,求得參數(shù)a的取值范圍.但是上述求解并沒有這樣做,而是根據(jù)ex+e?x≥2,主動對參數(shù)a提出討論,得到a≤2符合題意,a＞2不符合題意.象這種根據(jù)導函數(shù)中的某種信息,主動對參數(shù)a進行分類討論,得到其取值范圍的思維方法,在此歸納為“主動討論法”.

變式思維2多次求導法

例2 (2010年全國卷)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx?x+1.

(1)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范圍;

(2)證明:(x?1)f(x)≥0.

(1)的求解略;下面探討(2)的證明.

視角1 (x?1)f(x)＞0等價于(x?1)與f(x)同號.

方法1 函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).當x=1時,不等式顯然成立;當x＞1時,所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,于是f(x)＞f(1)=0,這時(x?1)f(x)＞0成立;當0＜x＜1時所以函數(shù)f′(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,從而f′(x)＞f′(1)=1＞0.所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,故f(x)＜f(1)=0,這時(x?1)f(x)＞0成立.綜上所述成立.

點評當0＜x＜1時,原本希望得到f(x)＜0,但由于f′(x)的符號難以確定,使求解遇到了麻煩,于是對f′(x)再次求導,目的是想通過f′′(x)來研究 (f′′(x)為f′(x)的導函數(shù)).象這種對導函數(shù)再次求導的思維方法在此歸納為“多次求導法”.

視角2 記h(x)=(x?1)f(x),則問題等價于x＞0時,

方法2 記

點評方法2關(guān)鍵在于摸清函數(shù)h(x)的單調(diào)性,但由于h′(x)與h′′(x)的符號都難以確定,故需要3次求導,借助h′′′(x)的信息逐步逆推(方法1與方法2思維起點低,思路清晰自然,不失為本題又一優(yōu)秀解法).

變式思維3部分求導法

例3(2011年全國文21題)已知函數(shù)曲線y=f(x)在x=1處的切線為x+2y?3=0.

(1)求a,b的值;

一般地,若一個函數(shù)(或?qū)Ш瘮?shù))可以表示成兩個因式的積,且其中一個因式的屬性已明,另一個因式的屬性未知,這時可將屬性未知的因式單獨揪出來求導,以此來研究原函數(shù)的屬性.這種方法相當于從函數(shù)(或?qū)Ш瘮?shù))中分離出一部分來求導,在此將其歸納為“部分求導法”.

例4 (2013年遼寧理21)已知函數(shù)f(x)=(1+x)e?2x,當x∈[0,1]時,

(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范圍.

解(2)由(1)知

當a+3≤0時,?xh(x)≥0,故f(x)?g(x)≥0,即f(x)≥g(x)恒成立;

當a+3＞0時,

綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(?∞,?3].

點評第(2)問有一定的難度,這里綜合運用了部分求導法(記h(x),u(x))、多次求導法(對h(x)2次求導)、對a+3主動討論等3種變式思維方法.

變式思維4以小撥大法

例5 已知函數(shù)其中e為自然常數(shù).

(1)討論f(x)的單調(diào)性與極值;

解(1)的求解略,下面先從兩個角度給出(2)的求解.

點評方法1是處理“f(x)＞g(x)”最常規(guī)、最基本的思維,本題運用方法1頗有難度;倒是方法2,直接由不等式左邊函數(shù)的最小值大于右邊函數(shù)的最大值,輕輕松松獲解,令人驚喜!在此將方法2的思維歸納為“以小撥大法”.

一般地,證明f(x)＞g(x)恒成立,常規(guī)思維是證明h(x)=f(x)?g(x)＞0恒成立.當常規(guī)思維受阻時,不妨換個視角,試試[f(x)]min＞[g(x)]max.顯然當[f(x)]min＞[g(x)]max時,必有f(x)＞g(x)恒成立.

例6 (2014年新課標I理21)設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為y=e(x?1)+2.

(1)求a,b;

(2)證明:f(x)＞1.

點評第(2)問雖然解法不唯一,但是其它解法的難度都比較大,一般同學難以做到.這種情況下,若能及時調(diào)整思維視角,運用“以小撥大法”,則可使問題峰回路轉(zhuǎn)、柳暗花明(若將第(2)問轉(zhuǎn)化為后再運用該法亦可).

以上6例通過變換思維視角,使問題簡捷獲解,充分顯示了這些變式思維在導數(shù)應(yīng)用中的威力.數(shù)學解題既有普遍規(guī)律,也有其特殊性.我們學習數(shù)學解題既要知曉其常規(guī)思維,又要知曉其變式思維,只有這樣,才能更有利于優(yōu)化我們的思維,提升我們的能力;才能使我們在學習上立于不敗之地.

鏈接習題

1.(2014年陜西理21(2))設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,f′(x)是f(x)的導函數(shù).若f(x)≥ag(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

2.(2010年新課標)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2,若當x≥0時f(x)≥0,求a的取值范圍.

3.(2007年安徽)設(shè)a≥0,f(x)=x?1?ln2x+2alnx.求證:當x＞1時,f(x)＞0恒成立.

鏈接習題提示