肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(526061) 邢志濤

一類幾何圖形的問題設(shè)計(jì)

肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(526061) 邢志濤

對(duì)一類由三角形兩邊或者各邊分別向外作正方形的這一類圖形展開討論,對(duì)相關(guān)的幾何問題進(jìn)行設(shè)計(jì),揭示它們之間的聯(lián)系.

幾何圖形 平面幾何 問題設(shè)計(jì)

平面幾何學(xué)科的特點(diǎn)是生動(dòng)直觀的圖形和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu).圖形是幾何證明的一支有力拐杖,離開它,幾何問題無從談起[1].由一個(gè)三角形兩邊或者各邊向外作正方形的這一類圖形所涉及到的幾何問題經(jīng)常出現(xiàn),并且問題之間密切聯(lián)系.這類問題蘊(yùn)涵了許多涉及到度量關(guān)系和位置關(guān)系的幾何問題,融合了諸如作輔助線法、變換法、向量法等多種幾何證明方法.對(duì)于這一類圖形引起的問題進(jìn)行設(shè)計(jì),從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的進(jìn)行探索,揭示它們之間的聯(lián)系,是本文的主要內(nèi)容.

問題1. 如圖1,分別以△ABC的邊AB,AC為邊,向外作正方形ABFG和ACDE,連接EG,求證:S△ABC=S△AEG.

圖1

有了問題1作為基礎(chǔ),下面的問題就迎刃而解了.

問題2.如圖2,分別以△ABC的邊AB,AC,BC為邊,向外作正方形ABDE,ACFG和BCHI,連接DE,EG,GF,FH,HI,ID.設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,試用a,b,c來表示六邊形DEGFHI的面積.

圖2

解根據(jù)問題1,

問題3. 如圖3,分別以△ABC的邊AB,AC為邊,向外作正方形ABFG和ACDE,連接EG.若O為EG的中點(diǎn),求證:BC=2AO.

圖3

證明延長(zhǎng)EA到H,使得EA=AH,連接GH.顯然OA是△EGH的中位線,則有GH=2OA.在△AGH和△ABC中,AG=AB,AH=AC,∠GAH= ∠BAC,所以△AGH～=△ABC,從而GH=BC=2OA.

問題4. 如圖4,分別以△ABC的邊AB,AC為邊,向外作正方形ABFG和ACDE,連接EG.若O為EG的中點(diǎn),OA的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)H.求證:AH⊥BC.

圖4

證明延長(zhǎng)AO到I,使得AO=OI,連接GI與EI,則四邊形AEIG為平行四邊形.不難發(fā)現(xiàn)∠AGI=∠BAC.在△AGI和△BAC中,BA=AG,∠AGI= ∠BAC,AC=GI,則△AGI～=△BAC,從而 ∠ABC= ∠GAI.由此,AH⊥BC.

問題5. 如圖4,分別以△ABC的邊AB,AC為邊,向外作正方形ABFG和ACDE,連接EG.若AH⊥BC,HA的延長(zhǎng)線交EG于點(diǎn)O.求證:O為EG的中點(diǎn).

證明延長(zhǎng)AO到I,使得AI=BC,連接GI與EI.根據(jù)AH⊥BC不難得到∠ABC= ∠GAI.在△AGI和△BAC中,AB=AG,∠ABC= ∠GAI,BC=AI.則△AGI～=△BAC,從而 ∠BAC= ∠AGI,AE=AC=GI.由此,∠AGI+∠GAE=π,GI平行且等于AE,則四邊形AEIG為平行四邊形,O為EG的中點(diǎn).

在上述三個(gè)問題的討論中,雖然是不同的問題,但是解決的方法是一樣的,就是通過引輔助線,得到與△ABC全等的三角形,進(jìn)而解決問題.

問題6.如圖5,分別以△ABC的邊AB,AC為邊,向外作正方形ABFG和ACDE,分別連接BE,CG相交于H.求證:BE=CG,BE⊥CG.

圖5

證明在△ACG和△AEB中,AC=AE,∠GAC=∠BAE,AG=AB,所以△ACG～=△AEB,從而BE=CG,∠ACG= ∠AEB.由此,在四邊形EDCH中,∠HED+∠HCD=π,BE⊥CG.

問題7.如圖6,分別以△ABC的邊AB,AC為邊,向外作正方形ABFG和ACDE,連接CE,BG,GE,M,N,P,G分別是EG,GB,BC,CE的中點(diǎn).求證:四邊形MNPQ是正方形.

圖6

證明分別連接BE,CG,根據(jù)問題6得:BE=CG,BE⊥CG.又已知M,N,P,Q分別是EG,GB,BC,CE的中點(diǎn),所以MN平行且等于QP,MN=NP,MN⊥NP.由此,四邊形MNPQ是正方形.

在上述兩個(gè)問題的討論中,正是有了問題6的解決,問題7能夠比較順利的得到解決.

問題8.如圖7,分別以△ABC的邊AB,AC為邊,向外作正方形ABFG和ACDE,連接EG,作FM⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作DN⊥BC交BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)N.求證:FM+DN=BC.

圖7

證明過點(diǎn)A作AH⊥BC交BC于H.在Rt△FMB和Rt△BHA中,由于∠FBM=∠BAH,又有AB=BF,所以Rt△FMB～=Rt△BHA,從而FM=BH. 同理Rt△DNC～=Rt△CHA,從而DN=HC.綜上得到FM+DN=BC.

問題9.如圖8,分別以△ABC的邊AB,AC為邊,向外作正方形ABFG和ACDE,連接DF,O是DF的中點(diǎn),OP⊥BC于BC上的點(diǎn)P.求證:BC=2OP.

證明根據(jù)問題8,FM+DN=BC.不難發(fā)現(xiàn),OP是直角梯形DNMF的中位線,故有從而BC=2OP.

以上兩個(gè)問題中,直接解決問題9是非常困難的,但是正是有了問題8的結(jié)論,問題9的解答就變得如此簡(jiǎn)單了.從這一點(diǎn)也可以看出,很多幾何問題通過化繁為簡(jiǎn),非常有助于問題的解決.接下來的問題10,也是可以通過上述兩個(gè)問題的結(jié)論很容易得到解決.

問題10. 如圖8,分別以△ABC的邊AB,AC為邊,向外作正方形ABFG和ACDE,連接DF,O是DF的中點(diǎn),分別連接OB,OC.求證:OB=OC,OB⊥OC.

證明將上述兩個(gè)問題所作的輔助線保留.根據(jù)問題8 的證明過程得,Rt△FMB～=Rt△BHA,Rt△DNC～=Rt△CHA,由此,CN=AH=BM,從而P也是BC的中點(diǎn).再根據(jù)問題9的結(jié)論BC=2OP,這樣就很容易的得到△BOC為等腰直角三角形,OB=OC,OB⊥OC.

圖8

接下來介紹一個(gè)引理.

引理1[2]設(shè)R(O1,θ1),R(O2,θ2)是平面上兩個(gè)具有不同旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換(這里R(O,θ)表示的是平面上以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心,通常是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ的變換).若θ1+θ2≠2kπ,則R(O1,θ1) 與R(O2,θ2) 的復(fù)合變換R(O1,θ1)·R(O2,θ2)是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換.設(shè)其旋轉(zhuǎn)中心為O3,又有R(O1,θ1)·R(O2,θ2)=R(O3,θ1+θ2),同時(shí)

問題11[3]如圖9,分別以△ABC的邊AB,AC為邊,向外作正方形ABFG和ACDE,連接EG.若AH⊥BC,連接BD,CF.求證:AH,BD,CF相交于一點(diǎn).

圖9

證明延長(zhǎng)HA到I,使得AI=BC,則在△ABI與△BFC中,AI=BC,AB=BF,又不難得到∠BAI=∠FBC,所以△ABI～=△BFC,∠BFC= ∠ABI. 而∠BFC+∠FBI= ∠ABI+∠FBI=所以CF⊥BI.同理可得:BD⊥CI.在△IBC中,AH,BD,CF分別是從三個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線,所以它們相交于一點(diǎn),這一點(diǎn)是△IBC的垂心.

問題12 如圖9,分別以△ABC的邊AB,AC為邊,向外作正方形ABFG和ACDE,連接EG,O為EG的中點(diǎn).若BD,CF相交于一點(diǎn)K.求證:OA⊥BC,AK⊥BC.

證明根據(jù)問題4得到OA⊥BC.再根據(jù)問題11,點(diǎn)K是△IBC的垂心,所以AK⊥BC.

接下來的問題是問題6的簡(jiǎn)單變化.

問題13[4]如圖10,設(shè)△ABO與△CDO是兩個(gè)具有公共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.求證:AC=BD,AC⊥BD.

圖10

而下面的問題則是問題7的特殊情形.

問題14[4]如圖11,分別以△ABC的邊AB、AC為邊,向外作正方形ABFG和ACDE,P,Q分別是正方形ABFG和ACDE的中心.求證:若M是BC的中點(diǎn),則△PMQ是等腰直角三角形.

有興趣的讀者不妨試著通過幾何變換的方法從問題13來推導(dǎo)問題14.

通過上述問題的分析發(fā)現(xiàn),幾何問題的聯(lián)系是非常密切相關(guān)的.將問題逐步簡(jiǎn)化,由簡(jiǎn)入繁,是解決幾何問題一個(gè)非常有效的途徑.

圖11

[1]王家鏵,沈文選.幾何課程研究[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

[2]席高文,許夢(mèng)日.中學(xué)幾何研究與教學(xué)[M].鄭州:鄭州大學(xué)出版社,2007.

[3]劉俊,付本路,姚玉平.初等數(shù)學(xué)解題方法教學(xué)研究[M].東營(yíng):石油大學(xué)出版社,2009.

[4]愛德華.J.巴爾博等著,王繼延等譯.給數(shù)學(xué)迷的500個(gè)挑戰(zhàn)性問題[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?2007.