浙江省桐鄉(xiāng)市高級(jí)中學(xué)(314500) 馬軍妹

一題多思 把握本質(zhì)—與《求解一道題明白一個(gè)理》作者商榷

浙江省桐鄉(xiāng)市高級(jí)中學(xué)(314500) 馬軍妹

文[1]中王曄老師對(duì)平日測(cè)驗(yàn)的一道三角形面積的最大值問(wèn)題展開(kāi)分析,在學(xué)生出現(xiàn)困惑后,從“開(kāi)始的茫然”到“特殊值法”,從“初有思路”到“留有遺憾”,最后終得正解,給出了幾種不同的解法,筆者讀了之后頗受啟發(fā):數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中教師要不斷思考、研究,捕捉學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的思維漏洞,完善解題方法.然筆者對(duì)文中某些闡述看法略有不同,現(xiàn)整理如下,與大家探討,不當(dāng)之處,敬請(qǐng)批評(píng)指正.

1.原題呈現(xiàn)

題目在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,a+c=4,(2?cosA)tan=sinA,則△ABC面積的最大值為_(kāi)___.

三角形中的邊角互化是通過(guò)正余弦定理實(shí)現(xiàn)的,在具體題目中如何利用已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

先將已知條件化簡(jiǎn):

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得2sinB=sinA+sinC,根據(jù)正弦定理,有2b=a+c=4,故b=2.下面將始終以此作為已知條件來(lái)分析.

2.解法探究

2.1 回顧經(jīng)驗(yàn),明確敗因

[1]中作者執(zhí)果索因,根據(jù)此類(lèi)題目常有的經(jīng)驗(yàn),示意學(xué)生用特殊法(等邊三角形)來(lái)做,但因缺乏嚴(yán)格的理論支持,無(wú)法作為常規(guī)解法來(lái)講.之后王老師又嘗試了基本不等式,但只能保證ac取到最大值4,由于無(wú)法確定此時(shí)的sinB是否達(dá)到最大,解法失敗.文章中展示的三角變換法正如其所言又難又繁,且最終得到的是角B的最大值,對(duì)于此時(shí)的ac是否取到最大也并未交代,一道并不復(fù)雜的題目,在經(jīng)歷了一系列繁瑣的變換后居然沒(méi)能“理直氣壯”的走到最后,解法遭遇失敗.細(xì)細(xì)想來(lái),這兩種做法犯的其實(shí)是同一個(gè)錯(cuò)誤:即在兩個(gè)變量中,只保證了其中一個(gè)取到最大,對(duì)另一個(gè)變量的變化無(wú)法控制,解法留下遺憾.

2.2 完善解法自然提升

事實(shí)上,2.1中兩個(gè)看似失敗的解題思路其實(shí)也是學(xué)生最容易想到的方法,我們稱(chēng)之為“自然解法”[2].解法自然與否并沒(méi)有客觀的標(biāo)準(zhǔn),完全是解題者的主觀感覺(jué),有時(shí)候就便會(huì)出現(xiàn)入手簡(jiǎn)單,過(guò)程復(fù)雜等情況,學(xué)生能從中習(xí)得解題的經(jīng)驗(yàn)較少.作為教師,我們就要從學(xué)生的思維角度,從其知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā),尋覓自然解法中更簡(jiǎn)潔、更適合教學(xué)的解法,完善學(xué)生的思路而不是輕易否定.

對(duì)于三角形面積的處理,我們常常有兩條思路:邊化角或角化邊,將變量統(tǒng)一之后,再利用函數(shù)工具求變量的取值范圍.而本題中的已知條件是三條邊的關(guān)系,學(xué)生可由余弦定理得出角B的取值范圍,故可考慮用角B來(lái)表示ac:

解法1由余弦定理得,

反思已知三角形三條邊的關(guān)系可由余弦定理和基本不等式求出某個(gè)角的取值范圍,這是學(xué)生已有的解題經(jīng)驗(yàn),教師既要引導(dǎo)學(xué)生尋找解題方向中的“蛛絲馬跡”,又要學(xué)會(huì)分析其中的不同,嘗試溝通已知和未知,從思想方法上指導(dǎo)解題.

文[1]作者嘗試用海倫公式進(jìn)行面積求解,化簡(jiǎn)之后,得到一個(gè)關(guān)于邊長(zhǎng)c的函數(shù):從函數(shù)或基本不等式你角度或基本不等式都可以得到最大值,但能夠記住海倫公式的同學(xué)少之又少.其實(shí),學(xué)生容易想到的又一“自然解法”是初中常用的幾何解法:既然b=2,則只需b邊上的高h(yuǎn)最大,由即可得到最大值.

解法2設(shè)AD=x,則BD2=c2?x2=(4?c)2?(2?x)2,得x= 2c?3,此時(shí)從 而S=當(dāng)且僅當(dāng)c=2=b=a時(shí)取到最大值.

圖1

反思解法2直接研究三角形的高,通過(guò)引入變量x實(shí)現(xiàn)求高的最大值,而且得到的面積表達(dá)式與海倫公式是一模一樣的,從而幫助學(xué)生更好的理解海倫公式的由來(lái),也將初高中知識(shí)有機(jī)結(jié)合,激發(fā)學(xué)生探究的欲望,增強(qiáng)學(xué)生面對(duì)挫折(忘記公式)的應(yīng)對(duì)能力.

2.3 探索巧解,追本溯源

文[1]作者最后利用橢圓實(shí)現(xiàn)了巧解,挖掘了已知條件的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合將此題“秒殺”,十分精彩.值得注意的是,作者想到這個(gè)方法也是突然的“靈感”,學(xué)生在感嘆其解法的精妙之余,不免對(duì)這種解法“望而卻步”:畢竟這“靈感”不是說(shuō)來(lái)就來(lái)的,當(dāng)條件改變時(shí),又該如何調(diào)整思路呢?其實(shí),數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想方法,可以實(shí)現(xiàn)抽象問(wèn)題具體化,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,但使用過(guò)程中要注意避免“圖”的隨意性,正所謂“數(shù)無(wú)形時(shí)不直觀,形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”.本題中,有了形的直觀,如果能從代數(shù)的角度進(jìn)一步解釋,便能達(dá)到更好的教學(xué)效果.教師要從大處著眼,細(xì)化過(guò)程,從而提煉解題思路,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

解法3以AC所在直線為x軸,AC的中垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(?1,0),C(1,0),設(shè)B(x,y),則由橢圓的定義可得點(diǎn)B的軌跡方程為:則

圖2

反思解析法是研究平面幾何的有力武器,建立坐標(biāo)系是溝通代數(shù)和幾何的一座橋梁,以形輔數(shù),直觀明了,以數(shù)助形,精細(xì)入微.[1]中作者若能給出點(diǎn)B的軌跡方程,從代數(shù)關(guān)系上明確最值的求解,學(xué)生即使沒(méi)能“閃現(xiàn)”出橢圓定義,也能從代數(shù)的角度進(jìn)行刻畫(huà),把握問(wèn)題的本質(zhì).其實(shí),解法2和解法3的共同之處都是求已知邊上的高的最值,解法2用了幾何法,解法3引入坐標(biāo)系,這也是處理長(zhǎng)度的常見(jiàn)的兩種辦法,可謂殊途同歸,多解歸一,使得學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”得到二次提升.

3.變式提升

上述題目可變式為另一道“值得思考”的填空題:

解法2 過(guò)點(diǎn)B做BD垂直于AC,垂足為D,設(shè)AD=x,則

解法3以AC所在直線為x軸,AC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則A(?1,0),C(1,0),設(shè)B(x,y),則由AB2=2BC2,可得(x+1)2+y2=2[(x?1)2+y2].化簡(jiǎn)即得B的軌跡方程:(x?3)2+y2=8(y≠0),即點(diǎn)B在以(3,0)為圓心,為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)(去掉兩個(gè)點(diǎn)),此時(shí)

圖3

通過(guò)比較三種解法,可以看出,解析法在解這道題中優(yōu)勢(shì)明顯.其實(shí),由于題目條件和題型暗示,學(xué)生往往會(huì)深陷解三角形的常用方法的思維定勢(shì),導(dǎo)致運(yùn)算量增加不少.而此題中的條件比較含蓄,兩條邊長(zhǎng)之比為定值作用不明顯,其實(shí)這是阿波羅尼斯圓的應(yīng)用.

4.反思感悟

通過(guò)對(duì)一道求三角形面積最值題的深入剖析,教師可以引導(dǎo)學(xué)生梳理求三角形面積的常用方法、基本不等式的綜合應(yīng)用、根號(hào)下“二次函數(shù)型”求最值、阿波羅尼斯圓、海倫公式等應(yīng)用,滲透軌跡思想、數(shù)形結(jié)合等思想,可謂一舉多得.數(shù)學(xué)解題是思維的訓(xùn)練,我們提倡通性通法,但有時(shí)候容易想到的方法難免膚淺粗糙,欠缺精致,我們追求解題過(guò)程的簡(jiǎn)明,但之前可能需要大量的探索,其思考過(guò)程未必容易,因此,通法和簡(jiǎn)法都要兼顧,不可偏廢.教師要多動(dòng)腦筋,下功夫研究題目的不同解法,從中選擇有利于學(xué)生發(fā)展,有利于教學(xué)提升的方法,不斷追求完美的解題方法

[1]王曄.求解一道題明白一個(gè)理[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2017(1)(上).

[2]金紹鑫.解題方法要自然?簡(jiǎn)明?適用[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2016(12).

[3]李益民.題小乾坤大九法妙解它[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2016(7).