北京化工大學(xué)附屬中學(xué)(100029) 韓毅 張華

GeoGebra探究過(guò)任意點(diǎn)作三次函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題

北京化工大學(xué)附屬中學(xué)(100029) 韓毅 張華

利用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra,對(duì)2014年北京卷文科20題進(jìn)行探究,解決了過(guò)任意點(diǎn)作三次函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題.

三次函數(shù) 切線 geogebra

在研究高考題時(shí),遇到了過(guò)具體的點(diǎn)作三次函數(shù)切線的條數(shù)問(wèn)題,于是想探究這個(gè)點(diǎn)的位置與過(guò)它作三次函數(shù)切線條數(shù)有什么關(guān)系這一問(wèn)題.筆者通過(guò)GeoGebra作動(dòng)態(tài)圖,拖動(dòng)平面上的點(diǎn),觀察過(guò)它作三次函數(shù)切線的條數(shù),提出猜想,再通過(guò)計(jì)算證明猜想.在研究過(guò)程中遇到了兩個(gè)困難,其一是出現(xiàn)一個(gè)不能理解的多項(xiàng)式,其二是GeoGebra作動(dòng)態(tài)圖過(guò)程中,過(guò)任意點(diǎn)與三次函數(shù)相切的切點(diǎn)難以確定.作者通過(guò)查閱相關(guān)GeoGebra書(shū)籍中得到啟示,最終突破了難點(diǎn),制作出了過(guò)平面內(nèi)任意一點(diǎn),作三次函數(shù)切線的動(dòng)態(tài)圖.通過(guò)探究,最終作者解決了過(guò)任意一點(diǎn)作三次函數(shù)切線的條數(shù)問(wèn)題.

一、問(wèn)題的提出

在高考當(dāng)中經(jīng)常會(huì)遇到三次函數(shù)的問(wèn)題,其中筆者在做2014年北京卷文科最后的20題時(shí),引起了我的思考,現(xiàn)呈現(xiàn)如下.

問(wèn)題(2014年北京卷文科第20題)已知函數(shù)f(x)=2x3?3x.

(1)求f(x)在區(qū)間[?2,1]上的最大值;

(2)若過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍;

(3)問(wèn)過(guò)點(diǎn)A(?1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切?(只需寫(xiě)出結(jié)論.)

本題的第二問(wèn)為在x=1的直線上存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(1,t)可以做出f(x)的切線三條,進(jìn)而求t的取值范圍.第三問(wèn)給了平面上三個(gè)不同的點(diǎn)A、B、C,問(wèn)過(guò)A、B、C分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切?這道題目解答完后引起了筆者的好奇.作者思考平面上在什么位置的點(diǎn),過(guò)這個(gè)點(diǎn)能做出y=f(x)一條切線,在什么位置的點(diǎn),過(guò)它能做兩條切線,什么位置能做三條切線,過(guò)這個(gè)點(diǎn)一定能做出y=f(x)的切線么?這里y=f(x)=2x3?3x是確定的三次函數(shù),那么對(duì)于更一般的三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),過(guò)平面上任意點(diǎn)作此三次函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題,有沒(méi)有一般化的結(jié)論呢?這個(gè)問(wèn)題引起了筆者深深地思考,于是筆者拿起筆和紙準(zhǔn)備研究一下這個(gè)問(wèn)題.

二、探究過(guò)程結(jié)構(gòu)與探究思維導(dǎo)圖

(一)探究過(guò)程結(jié)構(gòu)

圖1

(二)探究思維導(dǎo)圖

圖2

三、GeoGebra介紹[1]

GeoGebra是一個(gè)結(jié)合幾何、代數(shù)與微積分的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件,它是由美國(guó)佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter所設(shè)計(jì)的.一方面來(lái)說(shuō),GeoGebra是一個(gè)動(dòng)態(tài)的幾何軟件.您可以在上面畫(huà)點(diǎn)、向量、線段、直線、多邊形、圓錐曲線,甚至是函數(shù),事后你還可以改變它們的屬性.另一方面來(lái)說(shuō),您也可以直接輸入方程和點(diǎn)坐標(biāo).所以,GeoGebra也有處理變數(shù)的能力(這些變數(shù)可以是一個(gè)數(shù)字、角度、向量或點(diǎn)坐標(biāo)),它也可以對(duì)函數(shù)作微分與積分,找出方程的根或計(jì)算函數(shù)的極大極小值.所以GeoGebra同時(shí)具有處理代數(shù)與幾何的功能,因此GeoGebra視窗左邊有一個(gè)「代數(shù)區(qū)」,右邊有一個(gè)「幾何區(qū)」(也稱為「繪圖區(qū)」).

軟件特色:①可免費(fèi)用于學(xué)習(xí)、教學(xué)和考評(píng).②功能強(qiáng)大、使用簡(jiǎn)單、交互性強(qiáng).③支持多種語(yǔ)言.④以趣味的方式真正觀察和體驗(yàn)數(shù)學(xué)和科學(xué).⑤可適于各種課程或項(xiàng)目.

四、探究過(guò)程

(一)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與困境

設(shè)N(m,n)為平面內(nèi)任意一點(diǎn),過(guò)N作三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的切線,設(shè)切點(diǎn)為該切線的斜率就是x0處的導(dǎo)函數(shù)值即切線可以表示為

把N(m,n)坐標(biāo)代入切線方程后,整理得:

有幾個(gè)x0滿足①,即此方程有幾個(gè)關(guān)于x0的根,就有幾條切線.切線的條數(shù)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為方程①根的個(gè)數(shù)問(wèn)題.

構(gòu)造新函數(shù)設(shè)

方程①根的個(gè)數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為g(t)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題.因?yàn)間′(t)=6at2+2(b?3am)t?2bm.所以 ? = [2(b?3am)]2?4×6a(?2bm)=(6am+2b)2≥0.

1)當(dāng)6am+2b=0,即m=時(shí),此時(shí) ? =0,g′(t)≥0或g′(t)≤0,所以g(t)為單調(diào)函數(shù),所以g(t)有唯一零點(diǎn)使得①式成立,即過(guò)N點(diǎn)作三次函數(shù)f(x)的切線有一條,此時(shí)點(diǎn)在圖3所示的直線上.

圖3

2)當(dāng)6am+2b≠0,即時(shí),此時(shí) ?＞0,令g′(t)=0得t1=m,t2=?因?yàn)?/p>

n為N(m,n)點(diǎn)的縱坐標(biāo),f(m)為N(m,n)點(diǎn)橫坐標(biāo).m帶入f(x)得到的函數(shù)值.

①當(dāng)n?f(m)＞0,則N(m,n)點(diǎn)在三次函數(shù)f(x)圖像的上方;

②當(dāng)n?f(m)=0,則N(m,n)點(diǎn)在三次函數(shù)f(x)圖像的上;

可以設(shè)此直線為p(x),則

這是怎樣的一條直線呢?一時(shí)難以看出這是怎么樣的一條直線.能不能通過(guò)GeoGebra先做出過(guò)任意點(diǎn)的三次函數(shù)的切線,然后通過(guò)移動(dòng)這個(gè)任意點(diǎn)的位置,觀察三次函數(shù)切線條數(shù)的變化,來(lái)猜想出p(x)是什么直線呢?于是,筆者嘗試用GeoGebra作過(guò)任意點(diǎn)的三次函數(shù)的切線.

(二)GeoGebra 作圖、觀察、猜想

第一步:建立任意三次函數(shù)圖象如圖4所示.

圖4

第二步:如圖5,通過(guò)運(yùn)算功能求方程

圖5

第三步:把不同的x0代入三次函數(shù)f(x)求得f(x0)的值,得到不同的切點(diǎn)Q(x0,f(x0))的坐標(biāo).

第四步:根據(jù)N(m,n)、Q(x0,f(x0))兩點(diǎn)確定過(guò)N(m,n)與f(x)相切的切線.

別純真年代了。你能離開(kāi)許振平？離開(kāi)你的寶貝許康？你們的分手不就是因?yàn)楸舜说睦⒕螁幔磕銘?yīng)該知道，人都是自己內(nèi)心的囚徒。不管走再遠(yuǎn)，不管沿途風(fēng)景多么美麗，最終都會(huì)疲憊地回到原地。

圖6

第五步:通過(guò)移動(dòng)N(m,n)的位置,如圖6所示,發(fā)現(xiàn)當(dāng)切點(diǎn)C、D重合于三次函數(shù)的對(duì)稱中心時(shí),可以做出兩條切線;當(dāng)N(m,n)向左移動(dòng)一些,如圖7所示,便可以看出過(guò)N(m,n)點(diǎn)做出三條切線與f(x)相切;當(dāng)N(m,n)向右移動(dòng)一些,如圖8所示,便可以看出過(guò)N(m,n)點(diǎn)做出一條切線與f(x)相切.于是,做出猜想:可能是切點(diǎn)在三次函數(shù)對(duì)稱中心處的切線,即圖6中的切線DN.

圖7

圖8

(三)猜想證明

圖9

圖10

n為N(m,n)點(diǎn)的縱坐標(biāo),p(m)為N(m,n)點(diǎn)橫坐標(biāo)m帶入p(x)得到的函數(shù)值.

①當(dāng)n?f(m)＞0,則N(m,n)點(diǎn)在三次函數(shù)p(x)圖像的上方

②當(dāng)n?f(m)=0,則N(m,n)點(diǎn)在三次函數(shù)p(x)圖像的上

③當(dāng)n?f(m)＜0,則N(m,n)點(diǎn)在三次函數(shù)p(x)圖像的下方所以:

圖11

滿足上述條件的點(diǎn)N(m,n)的位置在如圖12所示陰影部分時(shí),即在點(diǎn)P的切線p(x)上方且在三次函數(shù)f(x)的上方,或者在點(diǎn)P的切線p(x)下方且在三次函數(shù)f(x)的下方時(shí),過(guò)N(m,n)可以作三次函數(shù)f(x)的切線一條.

圖12

圖13

圖14

圖15

滿足上述條件的點(diǎn)N(m,n)的位置在如圖16所示陰影部分時(shí),即在點(diǎn)P的切線p(x)上方且在三次函數(shù)f(x)的下方,或者在點(diǎn)P的切線p(x)下方且在三次函數(shù)f(x)的上方時(shí),過(guò)N(m,n)可以作三次函數(shù)f(x)的切線三條.

圖16

五反思與啟示

此次研究,作者經(jīng)歷了問(wèn)題的提出、猜想、操作驗(yàn)證、證明的過(guò)程.真正感受了問(wèn)題從無(wú)到有,從未知到已知,從模糊到清晰的過(guò)程,感受到了探究過(guò)程的魅力與樂(lè)趣,如果可以讓學(xué)生在課堂上感受真正的數(shù)學(xué)探究過(guò)程,從提出數(shù)學(xué)問(wèn)題,嘗試提出解決辦法,實(shí)踐操作等,數(shù)學(xué)在學(xué)生中的魅力會(huì)自然而然的沁入他們的內(nèi)心,使學(xué)生更加喜愛(ài)數(shù)學(xué),喜愛(ài)數(shù)學(xué)課堂.

此次猜想證明的過(guò)程中,通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)軟件GeoGebra作動(dòng)態(tài)圖突破了難點(diǎn),通過(guò)這次探究過(guò)程,作者感受到了計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)軟件為數(shù)學(xué)教學(xué)提供操作猜想的作用.在教學(xué)當(dāng)中,教師可以通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)軟件給學(xué)生直觀動(dòng)態(tài)展示證明或計(jì)算后的結(jié)果,也可以通過(guò)動(dòng)態(tài)作圖給學(xué)生的猜想證明以方向上的指引.它可以有效的幫助數(shù)學(xué)探究過(guò)程的展開(kāi),揭示探究過(guò)程中的難點(diǎn)與重點(diǎn).計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)軟件也可以激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.因此,作為數(shù)學(xué)教師的我們應(yīng)該積極的學(xué)習(xí)與掌握一款數(shù)學(xué)教學(xué)軟件,比如幾何畫(huà)板,超級(jí)畫(huà)板,GeoGebra等.

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