張山山,李 扉，姚 衛(wèi)

(1.河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018；2.北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100081)

Alexandrov空間的公理體系

張山山1,李 扉2，姚 衛(wèi)1

(1.河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018；2.北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100081)

為了研究Alexandrov空間的內(nèi)部公理體系和序方面的特征，利用點集拓?fù)鋵W(xué)和Locale理論中的已有結(jié)論，將各結(jié)構(gòu)限制到Alexandrov空間的框架中，得到Alexandrov空間的等價刻畫。研究結(jié)果表明Alexandrov空間在范疇意義下同構(gòu)于Alexandrov鄰域系統(tǒng)、Alexandrov閉包算子、Alexandrov內(nèi)部算子、Alexandrov導(dǎo)算子等，T0的Alexandrov空間同構(gòu)于偏序集、對偶等價于完全生成格。Alexandrov空間可以用鄰域系統(tǒng)、閉包算子、內(nèi)部算子、導(dǎo)算子，特殊化序和無點化序進(jìn)行等價刻畫。

拓?fù)鋵W(xué)；Alexandrov空間；鄰域系統(tǒng)；閉包算子；內(nèi)部算子；導(dǎo)算子；特殊化序；完備生成格

Alexandrov空間是由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家ALEXANDROV在1937年首次提出的，是指開集族對任意并和任意交都封閉的拓?fù)淇臻g，其最初的名稱有離散空間(Diskrete R?ume，不同于現(xiàn)在的離散空間)、有限生成空間(finitely generated space)、主空間(principal space)等，JOHNSTONE在文獻(xiàn)[1]中首次稱這類空間為Alexandrov空間?？赡芤驗檫@種拓?fù)溥^于簡單，同時也和度量拓?fù)洳幌喾?。在隨后的30年里，Alexandrov空間并沒有多少人去研究。20世紀(jì)70年代前關(guān)于這方面的學(xué)術(shù)論文只有1966年的2篇文獻(xiàn)[2-3]；20世紀(jì)70-80年代仍然沒有多少專門研究Alexandrov空間的文章[1,4-5]；20世紀(jì)90年代后, Alexandrov空間在數(shù)字拓?fù)漕I(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[6-7], 這是因為Alexandrov空間和數(shù)字拓?fù)渲械挠邢尥負(fù)淇臻g有很多相似的性質(zhì), 這個觀點在文獻(xiàn)[2—3]中也有體現(xiàn),比如Alexandrov空間范疇是有限拓?fù)淇臻g范疇的反射殼[5]。文獻(xiàn)[8]以數(shù)字拓?fù)涞慕嵌葟幕?、分離性、連通性、函數(shù)空間、擬一致結(jié)構(gòu)等方面對Alexandrov的空間進(jìn)行了系統(tǒng)論述和研究。進(jìn)入21世紀(jì)后, 對Alexandrov空間的研究主要集中在以下幾方面。1) 在粗糙集理論中，這是因為Pawlak粗糙集對應(yīng)的拓?fù)淇臻g恰是Alexandrov空間, 并且等價關(guān)系和滿足對稱分離性的Alexandrov空間之間具有一一對應(yīng)關(guān)系[9-11]；2) 在模糊拓?fù)鋵W(xué)中, 模糊形式的Alexandrov拓?fù)涞玫搅搜芯縖12-15]；3) 在數(shù)字拓?fù)鋵W(xué)中, Alexandrov空間繼續(xù)被推廣為局部有限空間(每個點只有有限個開鄰域)[16-18], 這種局部有限性可以很好地描述數(shù)字拓?fù)涞木植刻卣鳌?/p>

1 Alexandrov空間中的開集和閉集, 鄰域與鄰域系統(tǒng)

定義1 設(shè)X是一個集合,T是X的一個子集族。如果T滿足如下條件：

AT1)X，?∈T;

AT2)若{Ai|i∈I}?T,則∩iAi∈T;

AT3)若{Ai|i∈I}?T,則∪iAi∈T,

則稱T是X的一個Alexandrov拓?fù)? 稱偶對(X,T)是一個Alexandrov空間。

顯然，每一個具有有限個開集的拓?fù)淇臻g是一個Alexandrov空間, 每一個建立在有限集上的拓?fù)淇臻g是一個Alexandrov空間。另外，Alexandrov空間的閉集族也滿足公理條件(AT1-AT3)。

定義2 設(shè)X是一個非空集合, 如果每一個x∈X都對應(yīng)X的一個子集族Ux并滿足:

N1)對于任何x∈X,Ux≠?;并且如果U∈Ux,則x∈U;

N2)如果U,V∈Ux,則U∩V∈Ux;

N3)如果U∈Ux,并且U?V,則V∈Ux;

N4)如果U∈Ux,則存在V∈Ux滿足條件:

i)U?V和ii)對于任何y∈V,有V∈Uy, 那么集族U={Ux|x∈X}稱為X上的一個拓?fù)溧徲蛳到y(tǒng), 偶對(X,U)稱為一個拓?fù)溧徲蚩臻g。

定義3 設(shè)U={Ux|x∈X}是集合X上的一個拓?fù)溧徲蛳到y(tǒng), 如果有：

TN)對于任意的x∈X, 如果{Ui|i∈I}?Ux,則∩iUi∈Ux,那么映射U稱為X上的一個Alexandrov拓?fù)溧徲蛳到y(tǒng)。

定理1 設(shè)T是集合X上的一個Alexandrov拓?fù)?U是X上的一個Alexandrov拓?fù)溧徲蛳到y(tǒng), 則有：

1) UT是X上的Alexandrov拓?fù)溧徲蛳到y(tǒng);

2) TU是X上的一個Alexandrov拓?fù)洹?/p>

證明 1)設(shè){Ui|i∈I}?Ux, 則存在開集族{Vi|i∈I}使得對于每一個i∈I都有x∈Vi?Ui,從而x∈∩iVi?∩iUi。由∩iVi是一個開集知，∩iUi∈Ux。

2)只需驗證TU對任意交封閉。設(shè){Ai|i∈I}?TU, 任取x∈∩iAi, 則對于任意的i∈I都有x∈Ai, 從而Ai∈Ux,進(jìn)而∩iAi∈Ux。

注1 令A(yù)TNgh為由Alexandrov拓?fù)溧徲蚩臻g構(gòu)成的TNgh的滿子范疇, 則由定理1知,ATNgh與ATop同構(gòu)。

2 Alexandrov算子

2.1Alexandrov閉包算子

點集拓?fù)鋵W(xué)中的閉包算子是1922年KURATOWSKI在文獻(xiàn)[20]中首次引入的。

定義4 設(shè)X是一個非空集合, 如果映射Cl:2X→2X滿足：

C1)Cl(?)=?;

C2)對于任意的A?X,有A?Cl(A);

C3)對于任意的A,B?X,有Cl(A∪B)=Cl(A)∪Cl(B);

C4)對于任意的A?X,有Cl(Cl(A))=Cl(A),

那么稱Cl為X上的一個(Kuratowski)閉包算子,稱偶對(X,Cl)為一個閉包算子空間。

對于非空集合X上的一個拓?fù)鋁, 令ClT:2X→2X為

ClT(A)={x∈X|?U∈Ux,U∩A≠?}(?A?X),

則ClT是X上的一個閉包算子; 反過來, 對于非空集合X上的一個閉包算子Cl,

TCl={A?X|Cl(A′)=A′}

是X上的一個拓?fù)?而且有TClT=T和ClTCl=Cl[19]。拓?fù)淇臻g和閉包算子的這種等價性, 如果用范疇論的語言來描述, 那就是拓?fù)淇臻g范疇Top和閉包算子空間范疇Cl同構(gòu),其中Cl中的態(tài)射：稱f:(X,ClX)→(Y,ClY)是閉包算子空間之間的連續(xù)映射, 如果對于任意的A?X,有f(ClX(A))?ClY(f(A))。

定義5 設(shè)X是一個非空集合,Cl:2X→2X是一個閉包算子, 如果

CA)對于任意的{Ai|i∈I}?2X,有Cl(∪iAi)=∪iCl(Ai), 那么映射Cl稱為X上的一個Alexandrov閉包算子。

定理2 設(shè)X是一個非空集合, 則

1) 若T是X上的一個Alexandrov 拓?fù)? 則ClT是X上的Alexandrov閉包算子;

2) 若Cl:2X→2X是一個Alexandrov閉包算子,TCl是X上的一個Alexandrov拓?fù)洹?/p>

2)設(shè){Ai|i∈I}?TCl, 則

Cl((∩iAi)′)=Cl(∪iAi)=∪iCl(Ai)=∪iAi=(∩iAi)′,

從而∩iAi∈TCl。這說明TCl對任意交封閉。因此，TCl是X上的一個Alexandrov拓?fù)洹?/p>

注2 令A(yù)Cl為由Alexandrov閉包算子空間構(gòu)成的Cl的滿子范疇, 則由定理2知, ACl與ATop同構(gòu)。

2.2 Alexandrov內(nèi)部算子

內(nèi)部算子是閉包算子的對偶形式, 同樣拓?fù)淇臻g和內(nèi)部算子也可以相互唯一確定。

定義6 設(shè)X是一個非空集合, 如果映射Int:2X→2X滿足：

I1)Int(X)=X;

I2)對于任意的A?X,有Int(A)?A;

盡管各個高校財務(wù)部門想盡種種辦法，但因每天財務(wù)部門所能處理的總體業(yè)務(wù)量有限，只能在排隊時間和人數(shù)總量上稍微有所限制。財務(wù)預(yù)約報銷 “排隊時間長、手續(xù)繁瑣、下班時仍有師生不愿離去”導(dǎo)致報賬人員辦理報銷業(yè)務(wù)時和財務(wù)人員的矛盾沖突頻發(fā)，探究其根本原因：

I3)對于任意的A,B?X,有Int(A∩B)=Int(A)∩ Int(B);

I4)對于任意的A?X,有Int(Int(A))=Int(A),

那么稱Int為X上的一個內(nèi)部算子,稱偶對(X,Int)為一個內(nèi)部算子空間。

對于非空集合X上的一個拓?fù)銽,令I(lǐng)ntT:2X→2X為

IntT(A)=∪{B∈T|B?A}(?A?X),

則IntT是X上的一個內(nèi)部算子; 反過來, 對于非空集合X上的一個內(nèi)部算子Int,

TInt={A?X|Int(A)=A}是X上的一個拓?fù)?而且有TIntT=T和IntTInt=Int[19]。拓?fù)淇臻g和閉包算子的這種等價性, 如果換成范疇論的語言來描述, 那就是拓?fù)淇臻g范疇Top和內(nèi)部算子空間范疇Int同構(gòu), 其中Int中的態(tài)射: 稱f:(X,IntX)→(Y,IntY)是內(nèi)部算子空間之間的連續(xù)映射, 如果對于任意的B?Y, 都有f-1(IntY(B))?IntX(f-1(B))。

定義7 設(shè)Int:2X→2X是集合X的一個內(nèi)部算子, 如果有：

IA) 對于任意的{Ai|i∈I}?2X,Int(∩iAi)=∩iInt(Ai), 那么稱Int為X上的一個Alexandrov內(nèi)部算子。

定理3 設(shè)X是一個非空集合, 則：

1)若T是X上的一個Alexandrov拓?fù)? 則IntT是X上的Alexandrov內(nèi)部算子;

2)若Int:2X→2X是一個Alexandrov內(nèi)部算子, 則TInt是X上的一個Alexandrov拓?fù)洹?/p>

證明 1)只需證對于任意的集族{Ai|i∈I}?2X都有IntT(∩iAi)?∩iIntT(Ai)。事實上, 由于每一個IntT(Ai)都是開集, 則∩iIntT(Ai)是包含于∩iAi的開集。由內(nèi)部算子的定義可知,IntT(∩iAi)?∩iIntT(Ai)。

2)設(shè){Ai|i∈I}?TInt,則Int(∩iAi)=∩iInt(Ai)=∩iAi,從而∩iAi∈TInt。這說明TInt對任意交封閉。因此，TInt是X上的一個Alexandrov拓?fù)洹?/p>

注3 令A(yù)Int為由Alexandrov內(nèi)部算子空間構(gòu)成的Int的滿子范疇, 則由定理3知,AInt與ATop同構(gòu)。

2.3Alexandrov導(dǎo)算子

定義8 設(shè)X是一個非空集合,如果映射d:2X→2X滿足：

D1)d(?)=?;

D2)對于任意的x∈X,有x?d({x});

D3)對于任意A?X,有d(A∪B)=d(A)∪d(B);

D4)對于任意A?X,有d(d(A))?A∪d(A),

則稱d為X上的一個導(dǎo)算子,稱偶對(X,d)為一個導(dǎo)算子空間。

在其他條件成立的前提下,D2)還可以寫成

對于集合X上的一個導(dǎo)算子d,集族

Td={A?X|d(A′)∩A=?}={A?X|d(A′)?A′}

是X上的一個拓?fù)?對于X上的一個拓?fù)銽,定義dT:2X→2X為

dT(A)={x∈X|?U∈Ux,U∩(A-{x})≠?}(?A?X),

則dT是X上的一個導(dǎo)算子;并且有dTd=d和TdT=T。拓?fù)淇臻g和導(dǎo)算子的這種等價性, 如果換成范疇論的語言來描述, 那就是拓?fù)淇臻g范疇Top和導(dǎo)算子空間范疇Dr同構(gòu), 其中Dr中的態(tài)射:稱f:(X,dX)→(Y,dY)是導(dǎo)算子空間之間的連續(xù)映射,如果對于任意的A?X,都有f(dX(A))?f(A)∪dY(f(A))。

定義9 設(shè)d:2X→2X是集合X的一個導(dǎo)算子, 如果有：

DA)對于任意的{Ai|i∈I}?2X,d(∪iAi)=∪id(Ai),那么映射d稱為上的一個Alexandrov導(dǎo)算子。

定理4 設(shè)T是集合X上的一個Alexandrov拓?fù)?d:2X→2X是一個Alexandrov導(dǎo)算子, 則

1)dT是X上的Alexandrov內(nèi)部算子;

2)Td是X上的一個Alexandrov拓?fù)洹?/p>

證明 1)只需證對于任意的集族{Ai|i∈I}?2X都有dT(∪iAi)?∪idT(Ai)。事實上,首先有x∈dT(A)當(dāng)且僅當(dāng)V(x)∩(A-{x})≠?。如果x∈dT(∪iAi),則

∪i[V(x)∩(Ai-{x})]=V(x)∩(∪iAi-{x})≠?,

于是存在i0∈I使得V(x)∩(Ai0-{x})≠?,即x∈dT(Ai0),故x∈∪idT(Ai)。

2)設(shè){Ai|i∈I}?Td,則

d((∩iAi)′)=d(∪iAi)=∪id(Ai)?∪iAi=(∩iAi)′,

從而∩iAi∈Td。這說明Td對任意交封閉，因此Td是X上的一個Alexandrov拓?fù)洹?/p>

注4 令A(yù)Dr為由Alexandrov導(dǎo)算子空間構(gòu)成的Dr的滿子范疇, 則由定理4知,ADr與ATop同構(gòu)。

2.4 其他衍生的Alexandrov算子

2.4.1Alexandrov外部算子

拓?fù)淇臻g的外部算子是由閉包算子衍生出來的一個算子。

定義10 設(shè)X是一個非空集合,e:2X→2X是一個映射, 如果

E1)e(?)=X;

E2)對于任意A?X,有e(A)?A′;

E3)對于任意A?B?X,有e(A∪B)=e(A)∩ e(B);

E4)對于任意A?X,有e((e(A))′)=e(A),

則稱e為X上的一個外部算子。如果外部算子e還滿足:

EA)對于任意{Ai|i∈I}?2X,有e(∪iAi)=∪ie(Ai),

則稱e為X上的一個Alexandrov外部算子。

注5 1) 拓?fù)淇臻g和外部算子可以相互唯一確定。設(shè)(X,T)是一個拓?fù)淇臻g,則外部算子eT:2X→2X定義為

eT(A)=∪{U∈T|U∩A=?}=(ClT(A))′;

反過來, 對于集合X上的一個外部算子e,Te={A?X|e(A′)=A}是X上的一個拓?fù)?而且有eTe=e和TeT=T。

2) Alexandrov空間和Alexandrov外部算子可以相互唯一確定, 即如果e:2X→2X是一個Alexandrov外部算子,則Te是X上的一個Alexandrov拓?fù)? 如果T是X上的一個Alexandrov拓?fù)? 則eT是X上的一個Alexandrov外部算子。

3) 外部算子空間構(gòu)成的范疇Ext和拓?fù)淇臻g范疇Top同構(gòu); Alexandrov外部算子空間構(gòu)成的Ext的滿子范疇AExt和Alexandrov空間范疇ATop同構(gòu),這里稱f:(X,eX)→(Y,eY)是外部算子空間之間的連續(xù)映射,如果對于任意的B?Y,都有f-1(eY(B))?eX(f-1(B))。

2.4.2 Alexandrov邊界算子

拓?fù)淇臻g的邊界算子是由閉包算子或內(nèi)部算子衍生出來的一個算子。設(shè)(X,T)是一個拓?fù)淇臻g, 則外部算子bT:2X→2X定義為bT(A)=ClT(A)∩ClT(A′)=(IntT(A)∪IntT(A′))′。

定義11 設(shè)X是一個非空集合,b:2X→2X是一個映射, 如果

B1)b(X)=b(?)=?;

B2)對于任意A?X,有b(A)=b(A′);

B3)對于任意A?X,有b(b(A))?b(A);

B4)對于任意A,B?X,有A∩B∩b(A∩B)=A∩B∩(b(A)∪b(B))。

則稱b為X上的一個邊界算子。如果邊界算子b還滿足:

BA)對于任意{Ai|i∈I}?2X,有(∩iAi)∩b(∩iAi)=(∩iAi)∩(∪ib(Ai))。

則稱b為X上的一個Alexandrov邊界算子。

注6 1)拓?fù)淇臻g和邊界算子可以相互唯一確定。設(shè)(X,T)是一個拓?fù)淇臻g,則外部算子bT:2X→2X定義為

bT(A)=ClT(A)∩ ClT(A′)=(IntT(A)∪IntT(A′))′;

反過來, 對于集合X上的一個邊界算子b,Tb={A?X|b(A′)∩A=?}是X上的一個拓?fù)? 而且有bTb=b和TbT=T。

2)Alexandrov空間和Alexandrov邊界算子可以相互唯一確定,即如果b:2X→2X是一個Alexandrov邊界算子,則Tb是X上的一個Alexandrov拓?fù)?如果T是X上的一個Alexandrov拓?fù)? 則bT是X上的一個Alexandrov邊界算子。

3) 邊界算子空間構(gòu)成的范疇Bnd和拓?fù)淇臻g范疇Top同構(gòu); Alexandrov邊界算子空間構(gòu)成的Bnd 的滿子范疇ABnd和Alexandrov空間范疇ATop同構(gòu),這里稱f:(X,bX)→(Y,bY)是邊界算子空間之間的連續(xù)映射, 如果對于任意的A?X,都有f(bX(A))?f(A)∪bY(f(A))。

3 Alexandrov空間的格序特征

3.1 Alexandrov空間與偏序集

通常用拓?fù)淇臻g的特殊化序和預(yù)序集上的上(下)集建立拓?fù)淇臻g和二元關(guān)系之間的聯(lián)系。1966年, MCCORD[2]和STEINER[3]分別獨立地發(fā)現(xiàn)了偏序集范疇和T0拓?fù)淇臻g范疇之間的范疇同構(gòu)。

設(shè)(X,T)是一個拓?fù)淇臻g,定義X上的二元關(guān)系≤T為

x≤Ty?Ux?Uy

則≤T是X上的一個預(yù)序, 并且(X,T)是一個T0空間當(dāng)且僅當(dāng)≤T是X上的一個偏序。

反過來,設(shè)(X,≤)是一個預(yù)序集,令γ(X)為X的所有上集構(gòu)成的集合,則(X,γ(X))是一個的Alexandrov空間, 并且(X,≤)是一個偏序集當(dāng)且僅當(dāng)(X,γ(X))是一個T0的Alexandrov空間。

于是ATop同構(gòu)于預(yù)序集范疇POrd[5,21],T0的Alexandrov空間范疇ATop0同構(gòu)于偏序集范疇POS[2-3]。

3.2 Alexandrov空間的無點化刻畫

對于每個拓?fù)淇臻g(X,T),偶對(T,?)是一個空間式Frame, 即由素元交生成的完備格(可以證明由素元交生成的完備格自然就是一個Frame); 反過來, 對于每個完備格, 則其全體素元構(gòu)成的集合帶上譜拓?fù)涫且粋€Sober空間。由此可以得到Sober空間范疇和空間式Frame范疇之間的對偶等價[1]。對于Alexandrov空間,BONSANGUE等[22]通過引入ObservationFrame建立了T0的Alexandrov空間的對偶形式為完備素元交生成的完備格。

對于Frame, 所有素元、所有從該Frame到二元格的Frame同態(tài)和所有完備素濾子這三者之間存在一一對應(yīng)關(guān)系, 因此可以分別在3個集合上建立相應(yīng)的拓?fù)? 最后都能得到對偶等價的結(jié)論。為此在文獻(xiàn)[23]中, 姚衛(wèi)和韓相彥利用完備素元交生成格的自對偶性以及這種格上的所有素元、所有余素元和所有到二元格的完備格同態(tài)之間的一一對應(yīng),以完備格同態(tài)為基礎(chǔ)建立了T0的Alexandrov空間的對偶形式及其模糊形式。

本節(jié)的目的是以余素元為基礎(chǔ)重現(xiàn)T0的Alexandrov空間的對偶形式, 利用余素元使得這種對偶更加直觀和簡潔。

定義12 設(shè)L是一個完備格,b∈L稱為完備余素元,如果b≤∨S可推出存在s∈S使得b≤s。記c(L)為L的全體完備余素元之集(注意c(L)有可能為空集, 如單位區(qū)間)。如果對于任意的a∈L,都有a=∨{b∈c(L)|b≤a}, 則稱L為一個完備余素元生成格, 簡稱完全生成格。令CGLat為由完全生成格及其完備格同態(tài)構(gòu)成的范疇。

從定義可以看出, 每一個完全生成格都是一個完全分配格, 因為沿仿照Domain理論[24-25]中的術(shù)語, 完備余素元實際上是相對于三角小于關(guān)系的緊元,從而完全生成格之于完全分配格類似于代數(shù)格之于連續(xù)格。

定理5 設(shè)(X,T)是一個Alexandrov空間,則c(T)={V(x)|x∈X}。

證明 設(shè)U∈c(T),則U=∪x∈UV(x),于是存在x0∈U使得U=V(x);反過來,設(shè)V(x)?∪iUi,則存在i0∈I使得x∈Ui0。由V(x)的最小性知,V(x)?Ui0。故V(x)∈c(T)。

定理6 每一個Alexandrov空間的開集格都是一個完全生成格。

證明 對于任意開集U都有U=∪x∈UV(x),于是該定理是定理5的直接推論。

定理7 設(shè)f:(X,T)→(Y,S)是Alexandrov空間之間的連續(xù)映射,則f-1:S→T是一個完備格同態(tài)。

該定理證明是直接的, 這是因為(X,T)和(Y,S)對任意交和任意并都封閉,而f-1:2Y→2X恰好保任意交和任意并。

這樣,可以得到一個函子V:ATop0→CGLatop,V(X,T)=(T,?),V(f)=(f-1)op。

定理8 設(shè)A是一個完備格,則c(A)是一個偏序集,賦予下拓?fù)洇?c(A))成為T0的Alexandrov空間。

該定理不需要證明, 因為每個偏序集上的下拓?fù)涠际且粋€T0的Alexandrov空間。

定理9 設(shè)g:A→B是完備格同態(tài),定義G(g):c(B)→c(A)為G(g)(b)=g*(b),其中g(shù)*是g的左伴隨(定義見文獻(xiàn)[24]), 則G(g):c(B)→c(A)是一個連續(xù)映射。

證明 只需證明G(g)是一個定義好的映射, 其連續(xù)性可由保序性(而這是顯然的)直接推得。 設(shè)b∈c(B)且g*(b)≤∨iai,則b≤g(∨iai)=∨ig(ai), 從而存在i0∈I使得b≤g(ai0),這等價于g*(b)≤ai0,故G(g)是一個定義好的映射。

這樣, 得到了另一個函子G:CGLatop→ATop0,具體為G(A)=(c(A),γ(c(A))),G(g)=g*。

定理10 設(shè)(X,T)是一個T0的Alexandrov空間,則(c(T),γ(c(T)))同胚于(X,T)。

證明 易見，V:X→c(T)(xV(x))定義了一個一一映射(其中單射性用到(X,T)的T0分離性)。

首先,V是一個開映射,即若U∈T,則V(U)={V(x)|x∈U}是c(T)的一個下集。實際上,如果V(y)?V(x)且x∈U,則Ux?Uy,于是U∈Uy,y∈U。故V(y)∈V(U),V(U)是c(T)的一個下集。

其次,V是一個連續(xù)映射,即若W是c(T)的下集,則V-1(W)={x∈X|V(x)∈W}∈T。實際上,若x∈V-1(W),則V(x)∈W。任取y∈V(x),有V(y)?V(x)。由W是下集知,V(y)∈W,即y∈V-1(W)，從而V(x)?V-1(W)或者V-1(W)∈Ux。故V-1(W)∈T。

因此，(c(T),γ(c(T)))同胚于(X,T)。

定理11 設(shè)A是一個完全生成格, 則A與γ(c(A))完備格同構(gòu)。

證明 對于任意的a∈A,令Φ(a)=↓a∩c(A),則Φ:A→γ(c(A))是一個映射,且由A是完全生成格知,Φ是一個單射。

首先,Φ是滿射。設(shè)W是c(A)中的下集,令a=∨W,則W?↓a∩c(A)=Φ(a); 另外對于任意的b∈Φ(a),有b∈c(A)且b≤∨W，從而存在w∈W使得b≤w,由W是下集知b∈W,故Φ(a)?W。故W=Φ(a)。

其次,Φ是完備格同態(tài)。實際上,Φ(0)=↓0 ∩c(A)=?,Φ(1)=↓1 ∩c(A)=c(A);對于任意的{ai|i∈I}?A,有：

Φ(∧iai)=↓(∧iai)∩c(A)=(∩i↓ai)∩c(A)=∩i(↓ai∩c(A))=∩iΦ(ai),

Φ(∨iai)=↓(∨iai)∩c(A)=(∪i↓ai)∩c(A)=∪i(↓ai∩c(A))=∪iΦ(ai),

因此，A與γ(c(A))完備格同構(gòu)。

定理12 ATop0對偶等價于CGLat。

3.3 偏序集范疇與完全生成格范疇的對偶等價

由于ATop0與POS同構(gòu)、與CGLat對偶等價, 因此POS與CGLat對偶等價, 具體對應(yīng)關(guān)系為偏序集的所有下集構(gòu)成的集族在包含序下是一個完全生成格, 完全生成格的所有完備余素元之集是一個偏序集。這種對應(yīng)關(guān)系類似于Domain理論中的偏序集范疇與代數(shù)Domain范疇之間的關(guān)系(其中偏序集的理想和代數(shù)Domain的way-below緊元是紐帶)。

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Axiomatic systems of Alexandrov spaces

ZHANG Shanshan1， LI Fei2， YAO Wei1

(1.School of Science, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang，Hebei 050018， China；2.School of Science, Beijing Forest University, Beijing 100081， China)

In order to study internel axiomatic systems and ordered features of Alexandrov spaces, with the help of some existed results in topology and locale theory, by restricting the related structures into Alexandrov setting, some equivalent descriptions are obtained. The results show that Alexandrov spaces are categorically isomorphic to Alexandrov neighborhood systems, Alexandrov closure operators, Alexandrov interior operators and Alexandrov derived operators;T0Alexandrov spaces are isomorphic to posets and dual to complete-generated lattices. Alexandrov spaces can be completely characterized by neighborhood systems, closure operators, interior operators, derived system, the specialization order and the point-free order.

topology; Alexandrov space； neighborhood system； closure operator； interior operator； derivation operator； specialization order； complete-generated lattice

2016-12-12；

2017-03-08；責(zé)任編輯：張 軍

國家自然科學(xué)基金(11201112)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)專項資金項目(2017JC09)；河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究項目重點項目(ZD2016047)

張山山(1992—)，女，河北唐山人，碩士，主要從事拓?fù)鋵W(xué)與格論方面的研究。

李 扉副教授。E-mail: feifei_1004@bjfu.edu.cn；姚 衛(wèi)教授。E-mail：yaowei0516@163.com

1008-1542(2017)04-0352-08

10.7535/hbkd.2017yx04006

O189MSC(2010)主題分類：54A

A

張山山, 李 扉，姚 衛(wèi).Alexandrov空間的公理體系[J].河北科技大學(xué)學(xué)報,2017,38(4):352-359. ZHANG Shanshan，LI Fei，YAO Wei.Axiomatic systems of Alexandrov spaces[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(4):352-359.