闞麗波

[摘 要] 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)要重視解題后的反思，特別是做錯(cuò)過(guò)的題目，更值得認(rèn)真反思. 作為初中數(shù)學(xué)教師，要認(rèn)真指導(dǎo)學(xué)生建立糾錯(cuò)本，并以此為載體促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行解題反思，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣. 在糾錯(cuò)本中對(duì)曾經(jīng)的錯(cuò)誤進(jìn)行反思，有助于將他人的解題經(jīng)驗(yàn)和方法內(nèi)化，不斷積累，逐漸提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

[關(guān)鍵詞] 糾錯(cuò)本；載體；解題；反思

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾指出，反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，通過(guò)反思才能使現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)化. 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)要重視解題后的反思，特別是做錯(cuò)過(guò)的題目，更值得認(rèn)真反思. 作為初中數(shù)學(xué)教師，要認(rèn)真指導(dǎo)學(xué)生建立糾錯(cuò)本，并以此為載體促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行解題反思，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

糾錯(cuò)本，顧名思義，就是用來(lái)糾正錯(cuò)題的練習(xí)本. 教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在糾錯(cuò)本中，通常只是把做錯(cuò)的題目剪貼或抄寫(xiě)后，再重新做一遍，甚至只把教師講評(píng)時(shí)的解題過(guò)程再抄一遍. 這樣的糾錯(cuò)本，只能起到搜集整理、方便翻閱的作用，是一種機(jī)械地重復(fù)，不能達(dá)到總結(jié)提升、反思內(nèi)化的效果. 因此，教師有必要先向?qū)W生說(shuō)明建立糾錯(cuò)本的意義，并提出建立的方法與要求. 筆者要求學(xué)生在整理糾錯(cuò)本時(shí)，更重要的是要有解題反思，變會(huì)一道題為會(huì)一類(lèi)題. 糾錯(cuò)本中的反思，大致包括如下幾方面：本題為什么想到這樣做，自己出錯(cuò)的地方在哪里，針對(duì)自己的錯(cuò)誤提出改進(jìn)方法，處理類(lèi)似題型時(shí)的想法與總結(jié)等. 如果學(xué)生能力較強(qiáng)，還可以鼓勵(lì)學(xué)生再針對(duì)性地自編類(lèi)似題目. 在編題過(guò)程中，學(xué)生可以進(jìn)一步感受“陷阱”所在，也能體驗(yàn)更微妙的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.

學(xué)生解題所犯錯(cuò)誤五花八門(mén)，筆者將他們?cè)诩m錯(cuò)本中進(jìn)行的反思?xì)w納為如下幾類(lèi).

對(duì)題意理解的反思

理解題意就是從題目中獲取達(dá)到解題目標(biāo)的信息，即明確條件、結(jié)論及其相互之間的關(guān)系. 對(duì)做錯(cuò)的題目進(jìn)行題意反思，主要是對(duì)“獲取的信息”進(jìn)行再思考. 找到題意理解方面存在的問(wèn)題，反思出錯(cuò)的原因，以及今后在理解題意時(shí)應(yīng)該注意哪些方面. 進(jìn)而，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)題意的理解能力，這也是元認(rèn)知方面的訓(xùn)練.

案例1 如圖1，一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像交于P，Q兩點(diǎn)，則函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的圖像可能是（ ）

分析 由一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像相交于第一象限的P，Q兩點(diǎn)，得方程ax2+bx+c=x有兩個(gè)不相等的正根，即方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個(gè)不同的正根，從而函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的圖像與x軸正半軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故選A.

反思 誤選C，是因?yàn)闆](méi)有認(rèn)識(shí)到題中兩個(gè)二次函數(shù)的聯(lián)系. 本題由一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的情況，再轉(zhuǎn)化為新的二次函數(shù)的圖像信息，蘊(yùn)含了函數(shù)與方程思想. 解題時(shí)要注意認(rèn)真理解題意，充分挖掘隱含信息，不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，建立已知與未知的聯(lián)系. 盲目解題，很容易掉進(jìn)“陷阱”哦！

對(duì)解題涉及知識(shí)的反思

華羅庚先生倡導(dǎo)的“薄——厚——薄”讀書(shū)法啟示我們，必須引導(dǎo)學(xué)生在深刻理解相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，充分揭示它們的邏輯聯(lián)系，舍棄其本質(zhì)的差異，最后形成簡(jiǎn)單明晰的“知識(shí)鏈”，這些經(jīng)過(guò)濃縮的“知識(shí)鏈”，在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)可以釋放出大量的能量，優(yōu)化解題思維過(guò)程. 解題反思能促使“知識(shí)鏈”的形成. 錯(cuò)題可以暴露“知識(shí)鏈”中的不足，需要認(rèn)真反思.

案例2 已知不等式（a+b）x+（2a-3b）<0的解集是x>3，則不等式（a-3b）x+（b-2a）>0的解集是_________.

分析 這是一道關(guān)于一元一次不等式解法的題目. 由條件中不等式的解可知，a+b<0，且=3，從而a=0，b<0. 所求不等式即為-3bx+b>0，解集為x>.

反思 解一元一次不等式時(shí)，一定要注意未知數(shù)的系數(shù)的正負(fù)，這關(guān)系到不等號(hào)的方向是否改變. 特別是含參數(shù)的一元一次不等式，一定要認(rèn)真分析系數(shù)的正負(fù)，不確定符號(hào)時(shí)，別忘了分類(lèi)討論.

教師寄語(yǔ) 要弄清解不等式每一步的依據(jù)，穩(wěn)扎穩(wěn)打，對(duì)于參數(shù)帶來(lái)的不確定性，要進(jìn)行分類(lèi)討論.

對(duì)解題思維策略與方法的反思

對(duì)解題思維策略與方法進(jìn)行反思，就是在解題結(jié)束后回顧自己是如何對(duì)信息進(jìn)行加工、重組與再生的，也就是回憶自己從解題開(kāi)始到解題結(jié)束的每一步思維活動(dòng). 一開(kāi)始是怎么探索的？選擇的是哪一條途徑？走過(guò)哪些彎路？為什么會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤？后來(lái)有沒(méi)有做出調(diào)整？做出了怎樣的調(diào)整？是什么原因做出這樣的調(diào)整的？解題的關(guān)鍵在哪里？自己在探求思路的形成過(guò)程中有哪些成功和失敗的地方？……長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的反思，可以總結(jié)出帶有規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)，有利于學(xué)生思維監(jiān)控能力的提高.

案例3 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D，E分別是AC，BC上的點(diǎn)，且DE=3，若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M，N兩點(diǎn)，則MN的最大值是______.

分析 以DE為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C，且直徑已知，因此，不管直徑（即DE）的位置怎樣變化，DE的中點(diǎn)O到點(diǎn)C的距離是定值. 注意到MN是圓上一條弦，求弦長(zhǎng)的最大值，只需求弦心距OG的最小值. 由垂線(xiàn)段最短可知，CG⊥AB時(shí)CG最短，從而OG最短，此時(shí)OG等于，進(jìn)而可求出MN的最大值為.

反思 求圓的弦長(zhǎng)的最大值就是求弦心距的最小值. 此題“動(dòng)靜結(jié)合”——?jiǎng)狱c(diǎn)O到定點(diǎn)C的距離是定值，動(dòng)線(xiàn)段OG，CO，根據(jù)“垂線(xiàn)段最短”，可求出CO+OG的最小值. 此題還可以由“DE的中點(diǎn)O到點(diǎn)C的距離是定值”得到點(diǎn)O的軌跡是圓C（以點(diǎn)C為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最小值問(wèn)題，得出CG⊥AB時(shí)CG最短，即OG的最小值等于CG-R=-=.

教師寄語(yǔ) 以“靜”制“動(dòng)”、“動(dòng)靜轉(zhuǎn)化”是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的重要方法.

對(duì)解題結(jié)果的反思

培養(yǎng)學(xué)生對(duì)解題結(jié)果進(jìn)行反思的習(xí)慣，就是通常所說(shuō)的檢驗(yàn)習(xí)慣，找到癥結(jié)所在，做出適當(dāng)?shù)乃伎己驼{(diào)整，提高解決問(wèn)題的準(zhǔn)確性. 不僅要對(duì)書(shū)寫(xiě)規(guī)范性和計(jì)算準(zhǔn)確性等表層進(jìn)行檢查，還要對(duì)結(jié)果的可行性進(jìn)行檢驗(yàn). 由錯(cuò)例入手，對(duì)錯(cuò)解產(chǎn)生的原因進(jìn)行評(píng)判，可以引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，從而改進(jìn)和調(diào)整解題策略.

案例4 先化簡(jiǎn)：÷x-，再?gòu)?，0，中選一個(gè)你所喜歡的數(shù)代入求值.

分析 化簡(jiǎn)得，代入的x的值必須使代數(shù)式有意義，由于x≠±1，x≠0，故只能選擇x=.

反思 本題誤選0和，是因?yàn)闆](méi)有注意到化簡(jiǎn)前的代數(shù)式要有意義. 以前做過(guò)類(lèi)似的題目：分式的值為零，則x= -3 . 做完題目，還應(yīng)對(duì)結(jié)果進(jìn)行反思. 下次不能再犯這樣的錯(cuò)誤了！

教師寄語(yǔ) 計(jì)算中的小問(wèn)題有時(shí)會(huì)“釀成大禍”，因此，要把練習(xí)中犯的小錯(cuò)誤進(jìn)行搜集、整理，并經(jīng)常提醒自己.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要解題，解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要環(huán)節(jié). 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還需要反思，只有通過(guò)反思，才能將前人的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化，不斷積累，逐漸提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 反思有很多方面，以錯(cuò)題本為載體，在曾經(jīng)犯過(guò)的錯(cuò)誤中反思，是反思的重要方面. 為了讓班級(jí)形成競(jìng)爭(zhēng)氛圍，以及帶動(dòng)能力較差學(xué)生的積極性，不妨經(jīng)常展示優(yōu)秀學(xué)生的糾錯(cuò)本. 同時(shí)，教師也要對(duì)學(xué)生的錯(cuò)題反思進(jìn)行再反思，不斷優(yōu)化教學(xué)方法與教學(xué)內(nèi)容.