潘明珍

摘 要：掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，形成學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。教學(xué)中，教師要秉持“高觀點(diǎn)”，基于“大視野”，運(yùn)用“關(guān)系思維”，展開“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”。立足于不同視角、原初關(guān)聯(lián)、相關(guān)特性，可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)展開整體感知、探究、感悟，進(jìn)而彰顯數(shù)學(xué)整體系統(tǒng)的教學(xué)力量。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化教學(xué)；高觀點(diǎn)；大視野；關(guān)系論

當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)突出存在兩個(gè)問題：一是教師的教學(xué)依賴于教材的單元編排，缺乏整體的視角。由于備課以課時(shí)的形式展現(xiàn)，因此，許多教師對(duì)課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)精益求精，忽視了對(duì)知識(shí)點(diǎn)在整體知識(shí)鏈中性質(zhì)的研究；二是教師往往要求學(xué)生“從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行思維”，而很少讓學(xué)生“通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)思維”，數(shù)學(xué)的育人價(jià)值沒有得到應(yīng)有體現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)呼喚“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”，以便彰顯數(shù)學(xué)整體系統(tǒng)的教學(xué)力量。通過整體架構(gòu)、有機(jī)滲透、集約經(jīng)營(yíng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、結(jié)構(gòu)化教學(xué)：依據(jù)及其可能

結(jié)構(gòu)化教學(xué)有三重意義：一是高觀點(diǎn)下認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本體性知識(shí)；二是數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化；三是學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化。在教育史上，從列維的“結(jié)構(gòu)主義”到皮亞杰的“認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論”，從布魯納的“學(xué)科基本結(jié)構(gòu)”到奧蘇貝爾的“有意義學(xué)習(xí)理論”，無一不重視“結(jié)構(gòu)”。正如華東師范大學(xué)葉瀾教授所說，“掌握包括知識(shí)的、方法的和過程的多重意義的結(jié)構(gòu)，是最有效地達(dá)到學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的途徑，對(duì)學(xué)生用綜合的眼光去發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)解決問題具有基礎(chǔ)性作用?！?/p>

1. “高觀點(diǎn)”下教知識(shí)

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有許多鮮明的特性，如形象性、描述性、可感性等。這些數(shù)學(xué)知識(shí)由于兒童的年齡和心理特征，沒有采用抽象化、符號(hào)化的定義，因而生動(dòng)、具體。但也因此帶來了許多認(rèn)識(shí)誤區(qū)和實(shí)踐偏差。例如“方程”，小學(xué)教材中的定義是“含有未知數(shù)的等式叫作方程”，致使許多教師教學(xué)時(shí)抓住“等式”“未知數(shù)”等詞讓學(xué)生辨析、判別，以至于學(xué)生認(rèn)為“a+b=b+a”也是方程。華東師范大學(xué)張奠宙先生認(rèn)為，這樣的教學(xué)純屬折騰，對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)方程、學(xué)習(xí)解方程沒有任何實(shí)質(zhì)意義。方程是什么？方程是在已知數(shù)量和未知數(shù)量之間建立一種關(guān)系。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，類似的概念還有許多，如學(xué)生在認(rèn)識(shí)圓的直徑、半徑時(shí)，許多教師往往特別強(qiáng)調(diào)同圓、等圓等。在高觀點(diǎn)下教數(shù)學(xué)，不會(huì)鉆牛角尖，相反會(huì)引導(dǎo)學(xué)生展開深度的數(shù)學(xué)思維，把握數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

2. “大視野”下教結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)的存在不是孤立的、單子形態(tài)的，而是整體系統(tǒng)的有機(jī)組成。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，倡導(dǎo)并踐行“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”，能夠讓學(xué)生“見樹木更見森林”。教學(xué)中，教師要把握數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)之形，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之神。結(jié)構(gòu)之形，即顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系；結(jié)構(gòu)之神，即隱性的脈絡(luò)關(guān)聯(lián)。只有“形神兼?zhèn)洹保拍苄纬蓪W(xué)生的“結(jié)構(gòu)化思維”。例如“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”，在三年級(jí)上冊(cè)直觀認(rèn)識(shí)幾分之一、幾分之幾，在三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)將一些物體組成的整體平均分成幾份，認(rèn)識(shí)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)，而到了五年級(jí)開始建立較為抽象的分?jǐn)?shù)意義，其間的關(guān)系顯而易見，這是一種顯性的知識(shí)聯(lián)系。此外，學(xué)生在計(jì)算領(lǐng)域?qū)W習(xí)“商不變的規(guī)律”，在數(shù)的領(lǐng)域?qū)W習(xí)小數(shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，在認(rèn)識(shí)比中學(xué)習(xí)比的基本性質(zhì)等，其間所蘊(yùn)含的聯(lián)系就是一種隱性關(guān)聯(lián)。再如，整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分?jǐn)?shù)加減法所蘊(yùn)含的“計(jì)數(shù)單位相同才能相加減”也能彰顯隱性結(jié)構(gòu)的力量。教學(xué)中，教師必須秉持大的視野，將數(shù)學(xué)知識(shí)串起來、連起來、合起來，形成意義結(jié)構(gòu)。

3. “關(guān)系論”下教思維

兒童的思維有兩類：一類是“實(shí)體性思維”，即對(duì)知識(shí)本身的思維；二是“關(guān)系性思維”，即對(duì)知識(shí)關(guān)系的思維。數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性、邏輯性特質(zhì)為形成學(xué)生的結(jié)構(gòu)性、關(guān)系性、系統(tǒng)性思維提供了有益的支撐。有了關(guān)系思維，學(xué)生就能從整體、系統(tǒng)、全局的視野展開思考，而不會(huì)拘于一隅，思考就會(huì)均衡、客觀、理性、多元，就不會(huì)眉毛胡子一把抓。例如，教學(xué)“加法交換律”和“加法結(jié)合律”，具有“結(jié)構(gòu)化思維”的學(xué)生會(huì)進(jìn)行聯(lián)動(dòng)串式思考、主動(dòng)問學(xué)，“老師，有沒有減法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律”等。他們會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行塊狀歸類、網(wǎng)狀思維，如學(xué)習(xí)《三角形內(nèi)角和》，學(xué)生會(huì)主動(dòng)思考并探究“四邊形的內(nèi)角和”“五邊形的內(nèi)角和”甚至“多邊形的內(nèi)角和”等。他們會(huì)展開立體性反思，如學(xué)習(xí)了《圓的面積》后，學(xué)生會(huì)對(duì)推導(dǎo)過程進(jìn)行反思，展開咀嚼、反芻，“化曲為直”的圓除了可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形外，還能轉(zhuǎn)化成已學(xué)習(xí)的其他圖形如三角形、梯形嗎？如果能，怎么轉(zhuǎn)化呢？“結(jié)構(gòu)化思維”讓兒童的數(shù)學(xué)思維更有條理、更加深刻。

二、結(jié)構(gòu)化教學(xué)：路徑及舉措

認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)具有結(jié)構(gòu)化特質(zhì)，認(rèn)識(shí)到兒童思維具有結(jié)構(gòu)化必要、結(jié)構(gòu)化可能，就必須展開數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”的研究，探尋結(jié)構(gòu)化教學(xué)的現(xiàn)實(shí)路徑及舉措。教學(xué)中，教師要將數(shù)學(xué)學(xué)科的結(jié)構(gòu)性知識(shí)與兒童的結(jié)構(gòu)性思維進(jìn)行無縫對(duì)接，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的廣度、深度及其厚度，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)尤其是數(shù)學(xué)思維的發(fā)展、提升。

1. 立足不同視角，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體感知

立足于不同的視角，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體感知要讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)知識(shí)就像一串葡萄，是提得起、連得上的。所謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，教學(xué)中要讓學(xué)生多元觀照數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生在頭腦中形成一個(gè)立體、開放、動(dòng)態(tài)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。在這個(gè)結(jié)構(gòu)中，相關(guān)知識(shí)可以納入其中，其中的某些知識(shí)節(jié)點(diǎn)同樣可以迅捷地提取，用來指導(dǎo)相關(guān)數(shù)學(xué)問題的解決。例如：在一年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)立體圖形后，一年級(jí)下冊(cè)的“平面圖形的認(rèn)識(shí)”可以從立體圖形引入，以便讓學(xué)生形成“面是體的面”的意識(shí)；而在二年級(jí)認(rèn)識(shí)角、認(rèn)識(shí)線時(shí)，可以從平面圖形入手，以便讓學(xué)生感受到“線、角”是平面圖形的線、角。這樣的教學(xué)，首先讓圖形立起來。由于有了這樣的立體滲透、啟蒙，在四年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)“三角形的認(rèn)識(shí)”時(shí)，就可以反過來，讓兒童立足于邊、立足于角分別對(duì)三角形、平行四邊形、梯形進(jìn)行研究。例如“三角形”，從角看可分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形等，從邊看可分為等腰三角形、不等邊三角形，其中等腰三角形還有一種特殊的等邊三角形等?；谶@樣系統(tǒng)而多元的視閾，學(xué)生就能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)獲得整體感知、整體感悟。

2. 立足原初關(guān)聯(lián)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體探究

由于學(xué)生的年齡和心理特征，數(shù)學(xué)的整體知識(shí)被分散、割裂在教材之中。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從整體視角把握教材，站在高處，想到深處，要讀懂、讀通、讀透知識(shí)，不僅要找到知識(shí)元素，而且要找到元素的原初關(guān)聯(lián)。例如教學(xué)《年、月、日》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第6冊(cè)），據(jù)筆者觀察，絕大部分教師的教學(xué)都是孤立的，沒有聯(lián)系二年級(jí)下冊(cè)的時(shí)分秒。時(shí)間本身就是一個(gè)整體，是一個(gè)“時(shí)間流”，從秒到分，從分到時(shí)，從時(shí)到日，從日到星期、月、年、世紀(jì)等，原初的時(shí)間是不可分割的。據(jù)此，筆者教學(xué)時(shí)立足于原初關(guān)聯(lián)，用照片引入，照片上顯示的是整體的拍攝時(shí)間，某年某月某日某時(shí)某分某秒，學(xué)生一下子就整體感悟到時(shí)間流。在此基礎(chǔ)上，筆者基于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，展開教學(xué)。

師：關(guān)于時(shí)間，你已經(jīng)知道了什么？

生1：我知道1小時(shí)等于60分，1分等于60秒。

生2：我通過閱讀科普書知道了地球自轉(zhuǎn)一周的時(shí)間為1晝夜，地球圍繞太陽公轉(zhuǎn)一周的時(shí)間為1年。

生3：我知道月球圍繞地球公轉(zhuǎn)一周的時(shí)間是1月。

……

師：關(guān)于時(shí)間，你們有什么疑問嗎？

生1：一年有多少月？一月有多少天？一年有多少天？……

接著，筆者讓學(xué)生圍繞日歷展開探究，學(xué)生紛紛表達(dá)自己的認(rèn)識(shí)，諸如大月、小月、2月。同時(shí)學(xué)生自然生成新的問題，如為什么“2月份既有28天，又有29天？”“為什么前面7個(gè)月中大月都是單月，后5個(gè)月中大月都是雙月”等。是什么決定著2月份天數(shù)的規(guī)律呢？是誰規(guī)定了大月、小月的月份呢？筆者通過地球、月球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)以及愷撒和奧古斯都的故事引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究，深化理解。

3. 立足相關(guān)特性，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體感悟

數(shù)學(xué)知識(shí)是結(jié)構(gòu)性的，如何將結(jié)構(gòu)性的知識(shí)內(nèi)化為兒童的結(jié)構(gòu)性思維？固有的、僵化的知識(shí)是不可以硬生生地塞進(jìn)學(xué)生的頭腦中的，教學(xué)中教師可以對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行比較，采用分類分析和聚類分析的方法，讓學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)遷移。例如教學(xué)《角的度量》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第7冊(cè)），大部分教師就知識(shí)教知識(shí)，至多像著名特級(jí)教師強(qiáng)震球老師那樣，讓學(xué)生經(jīng)歷量角器的誕生歷程。筆者在教學(xué)中，采用結(jié)構(gòu)化比較的策略進(jìn)行教學(xué)，收到良好的教學(xué)效果。首先，和學(xué)生一起復(fù)習(xí)“用厘米尺測(cè)量物體”，這是學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，可以被教師激活、喚醒。測(cè)量時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考：測(cè)量線段用了什么儀器？——直尺。怎樣測(cè)量線段？——既可以從0刻度開始測(cè)量，也可以從其他刻度開始測(cè)量。為什么不同的測(cè)量方法都可以量出長(zhǎng)度？——都是看比較長(zhǎng)度里面有多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度（1厘米）。據(jù)此展開“角的度量”教學(xué)，學(xué)生自然提出了三個(gè)本質(zhì)性的核心問題：測(cè)量角度用什么儀器？——量角器。怎樣測(cè)量？——既可以從0刻度開始測(cè)量，也可以從其他刻度開始測(cè)量。為什么不同的測(cè)量方法都可以度量出角度？——都是看比較角度里面有多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)角度。由于學(xué)生經(jīng)歷了“量角器”的誕生過程，從“單位小角”的認(rèn)識(shí)到“多個(gè)小角的連接”再到形成“量角器”，由于學(xué)生有了測(cè)量線段的經(jīng)驗(yàn)支撐、比較、遷移，學(xué)生很快掌握了量角的要領(lǐng)。他們不再混淆量角器的內(nèi)圈、外圈了。

“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”要求教師基于整體、系統(tǒng)和全局的視野觀照數(shù)學(xué)知識(shí)，形成知識(shí)板塊、結(jié)構(gòu)，將之內(nèi)化成學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維，使結(jié)構(gòu)化知識(shí)成為學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組成。以結(jié)構(gòu)化的方式進(jìn)行教學(xué)，就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)左顧右盼、上下貫通、前延后續(xù)，就是要注重知識(shí)比較、方法點(diǎn)撥和思想滲透。